谈谈多元函数中可导与可微的关系

大家熟悉,在一元函数中,可导必可微,可微必可导.但对于多元函数,偏导数存在与可微却是两个不等价的概念.本文以二元函数为例,谈谈二者之间的关系.     

多元函数可微性的几个充分性定理

<正> 现行《数学分析》和《高等数学》各本教材中,都有二元函数的可微性充分条件的定理:如果函数z=f(x,y)的编导数在点P(x,y)连续,则函数在该点的全微分存在.由于此定理要求两个偏导数在点(x_0,y_0)都连续.这对函数f(x,y)的要求是比较苛刻的,可是我们经常会遇到函数u=f(z,y)在点(x_0,y_0)的某一个偏导数存在而不连续,而另一个偏导数存在且连续.遇到这类函数就无法用可微性充分条件定理去判定函数u=f(x,y)在点(x_0,y_0)是否可微.     

二元函数四条性质之间的关系

二元函数的连续性,偏导数存在性,偏导数连续性以及可微性是二元函数的四条经典性质,它们之间的关系一直是学生的疑惑点,本文结合严格的证明和典型的反例给出四条性质之间关系的详尽阐释.     

谈多元微分学中几个概念间的关系

学习多元函数微分学,一定要弄清连续、偏导数、全微分、方向导数之间的关系,并与一元函数中连续、可导、可微之间的关系比较,看看有何类似.有何区别,才能更好地掌握和使用这些基本概念.从教材中我们知道这几个基本概念间的关系(以二元函数为例)由下面定理给出:     

关于二元函数可微性的判定

欲判定二元函数f（x，y）在一点处的可做性，首先要搞清可微性以及可微与连续、偏导数存在及偏导数连续等特性之间的相互关系，可用框图表示如下：其中记号“A一B”表示“A可以推出B”或“A蕴涵B”；记号“A～B”表示“由A不能推出B”或“A不蕴涵B”。因此，通常检查一个函数是否可微，先看它是否连续，如不连续，则不可做。例1讨论函数在（0，0）处的可微性。＿＿I，工y卜天又是、。。，。。。，，。、、。，。。解：因h平上六一timdri一／七，其值因k而异，极限limf（，y）不存在，所—”一；GH“＋v‘二二台（十人旬又‘1十月’，…     

关于多元函数可微性的几个充分性定理

<正> 现行《数学分析》和《高等数学》各本教材中,都有二元函数的可微性充分条件的定理为:如果函数z=f(x,y)的偏导数?z/?x,?z/?y在点P(x,y)连续,则函数在该点的全微分存在。由于此定理要求两个偏导数在点(x_0,y_0)都连续,所以对函数f(x,y)的要求就比较苛刻,可是我们经常会遇到函数u=f(x,y)在点(x_0,y_0)的某一个偏导数存在但这个偏导数不连续,而     

一个关于多元函数可微的定理

大家知道,多元函数的可微与可导是两个概念,但如果一个多元函数的所有偏导数在某一点都存在并连续,则它一定在该点可微.本文给出了一个在较弱条件下关于多元函数可微的定理.     

广义二阶导数和二阶混合偏导数之间的关系

给出并证明了函数在一点处广义二阶可导的一个充分条件,分析了二元函数在一点的广义二阶导数和二阶混合偏导数之间的关系.     

二元无穷可微函数类的若干性质

对于一元无穷可微函数类C_I{M_n},利用一元n阶可微函数逐阶导数的模的关系,H.Cartan研究了两个类经复合后保持不变的条件以及有限区间上两个类等价的问题;A.Gorny研究了C_I{M_n}中元素的运算,给出了C_I{M_N}中任两个元素仍属此类的条件;S.Mandelbrojit系统地研究了三角类与可微类,得到了一些重要结果。本文先得出二元n阶可微函数的逐阶导数的模的关系,然后将上述所有主要结果推广到两个变量的情形,其条件仍与一元情形时相同。     

多元函数极值的求法及其应用

在实际问题中,往往会遇到多元函数的最大值、最小值问题.多元函数的最大值、最小值问题与极大值、极小值有密切联系.求多元函数极值,一般可以利用偏导数来解决.与一元函数相类似,可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.但是由于自变量个数的增加,应特别注意概念中的一些变化和计算复杂性.这里主要讨论二元函数,对于二元以上的函数极值可以类似加以解决.     

二元函数微分中值定理中值点的分析性质

讨论二元函数微分中值定理中值点的连续性及可导性问题,给出二元函数微分中值定理中值点连续及偏导数存在的充分务停,同时给出计算其偏导数的公式。     

定义在闭区域上的二元函数求值域问题

若给定的目标函数是线性目标函数或者具有斜率、距离等几何意义,求闭区域上的二元函数的值域或最值,可以考虑利用线性规划知识解决.若给定的二元函数无明显的几何意义,上述方法不再奏效.高等数学中可以采用偏导数知识求解二元函     

二元函数极值的一种新判别方法

通常都是利用二阶偏导数来判别二元函数 z =f (x,y)的极值存在性 .本文将讨论如何利用一阶偏导数来判别二元函数的极值存在性 .我们知道 ,在利用二阶偏导数判别 z =f (x,y)的极值时存在着两方面的不便 :1°要计算三个二阶偏导数值 ;2°当 [fxx .fyy -f2xy]( x0 ,y0 ) =0时 ,不能确定极值是否存在 .下面我们受一元函数极值判别的启发 ,利用一元函数的性质 ,研究如何用一阶偏导数判别二元函数的极值 .设二元函数 z =f (x,y)在点 (x0 ,y0 )的 δ-邻域 B| ( x0 ,y0 ) ={ (x,y) | 0 <(x -x0 ) 2 (y -y0 ) 2 <δ}内有连续偏导数 ,(x,y)是该邻域…     

多元函数微分学中的反例构造技巧

文中给出了多元函数微分学的四个定义"连续、可偏导、可微、偏导数连续"之间关系的反例及其构造思路.     

利用偏反函数求解多元隐函数的偏导数

本文利用类比联想给出了一种类似于一元函数利用反函数求导法则的新方法来求解多元隐函数的偏导数,并在此基础上利用多元函数的一阶微分形式不变性得出了以二元函数为例6个偏导数中的某三个满足特殊的链式法则,并将此法则推广到任意n元函数.     

Mathematica数学软件的图形功能在微积分中的应用问题

讨论如何正确使用Math.的图形功能,对微积分中二元函数在一点极限不存在的情形及二元函数在点不连续但偏导数存在的情形给出几何解释。     

一类二元函数连续与可微条件的归纳与推广

多元函数的可导性、连续性、可微性是多元函数微分学的重要内容.本文基于多元微分学教学实践,归纳了一类二元函数的可偏导、连续、可微的充分条件,并对此类二元函数做一般性推广,得到了推广函数连续与可微的充分条件.     

稳定逼近Laplace算子与二阶混合偏导数的Lanczos方法

考虑由未知二元函数的近似值计算其Laplace算子与二阶混合偏导数的问题,给出稳定逼近Laplace算子与二阶混合偏导数的两类Lanczos方法,其逼近精度分别为O(δ~(1/2))和O(δ~(2/3)),其中δ是近似函数的误差水平.     

混合偏导数fyx(x,y)与fxy(x,y)相等的条件

对二元函数的两个混合偏导数fyx(x,y)及fxy(x,y)进行了进一步研究,并得出了它们相等的一个充分条件,该条件比[1]中给出的条件更弱.     

二元函数的全微分与复函数的微分

我们知道,两个二元实函数,对应着一个一元复函数.本文讨论:作为实、虚部的二个二元函数的可微性,与对应的复函数的可微性之间的关系.本文涉及的可微范围均指单连通区域内.