广义的洛必达法则

众所周知 ,洛必达法则是高等数学里导数在求不定型极限中的重要应用 ,然而许多同学利用它求极限时 ,一看符合洛必达法则的条件 ,就马上利用洛必达法则分子分母同时求导计算 ,不会结合极限的运算法则 ,显得死板教条 ,有时尽管也把极限求出来 ,但是计算过程相当麻烦 .对此 ,本文结合通常的洛必达法则 ,特给出下面的广义法则 .定理 1　设 f (x) =f1(x) f2 (x) ,g(x) =g1(x) g2 (x)在 x=a的某个去心邻域内处处可导 ,且g′2 (x)≠ 0 ,如果 :(1 ) limx→ af (x) =0 ,limx→ ag(x) =0 ;(2 ) limx→ af2 (x) =0 ,limx→ ag2 (x) =0 ;(3 ) limx→ af1…     

抛物线的一个重要特征——不存在渐近线

曲线的渐近线能说明曲线的发展趋势 ,它在画图和解决有关问题时起着重要的作用 .例如正切曲线 y =tanx的渐近线为x =kπ + π2 (k∈Z) .如图 1 ,当x→kπ + π2 时 ,正切曲线越来越与渐近线靠近 ,但永不相交 .又如双典线 x2a2 - y2b2 =1 ,当 |x|增大时 ,曲线逐渐靠近它的渐近线 y =± bax ,而且永远不与之相交 ,如图 2 .有了渐近线 ,曲线的发展趋势就可有效地显示 ,图形就容易画准确 .图 1　正切曲线　　　　　图 2　双曲线对于抛物线 ,不难证明它没有渐近线 .图 3　抛物线事实上 ,x =0显然不是抛物线的渐近线 .设M (x ,y)为抛物线 y2 =2 p…     

函数在一点可导的等价形式

通过对一道考研试题的推广,得到函数在某点的可导的一个等价形式,即若函数 f （x）在 x ＝0处连续,且 f （0）＝0,limx f （x）- af （bx）→0 x＝ K ,其中0＜｜ ab｜≠1,0＜｜ b｜≤1,且 f （x）在 x ＝0处满足Lipschitz条件,则有 f′（0）＝ K 1＋ ab 。     

三个极限公式的注记

设limx-x0f（x）=0,ak〉0,k=1,2,…,n.则三个极限公式limx→0∑k=1^nak^f（x）-n/f（x）=1n（∏k=1^nak）,limx→x-x0[∑k=1^nak^f（x）-（n-x）]^1/f（x）=∏k=1^nak和limx→x0（1/n∑k=1^nak^f（x））^1/f（x）-^n√∏ k=1^nak中的无穷小量f（x）均可用其等价无穷小fk（x）（k=1，2,…，n）代替，以扩大公式的使用范围．实例说明推广后极限公式的一些应用．     

利用等轴双曲线的一个变换简解一道高考题

我们知道，反比例函数y=k/x（k≠0）的图象是双曲线，由它的两条渐近线x轴、y轴互相垂直可知．方程xy=k（k≠0）表示的曲线是等轴双曲线．     

极限lim x→＋∞f（x）=0的一个充分条件的探讨

从无穷积分∫＋∞ a f（x）dx收敛与无穷远极限lim x→＋∞f（x）=0之间的关系展开论述,研究在广义积分∫＋∞ a f（x）dx收敛的前提下,无穷远极限lim x→＋∞f（x）=0的一个充分条件．在此基础上,适当减弱条件得到该条件的推广形式,为更好的解决无穷远极限lim x→＋∞f（x）=0的问题提供更一般的方法．     

函数的右导数与导函数的右极限的关系

通过例子和定理讨论了函数f（x）在点x0处的右导数f′＋（x0）与导函数当x→x0^＋时的右极限f′（x0^＋）=limx→x0^＋f′（x）之间的关系．     

What is The Squeeze （or Sandwich） Theorem？

Let＇s do an exercise as warming up.Ex：Find lim x→0sin1/x.lim x→0sin1/x=lim1/x→∞sin1/x=lim t→∞sint（Let t=1/x）.We know lim t→∞sint does not exist,so lim x→0sin1/x DNE.We can use graphing calculator to show the result is DNE（from figure 1to figure 8）.     

具有Heyting结构的Ockham代数

引入一个具有Heyting结构Ockham代数,简称HO-代数．所谓HO-代数,是指具有（2,2,2,1,0,0）类型的代数（L;∧,∨,→,f,0,1）．其中（L;f）是Ockham代数,（L;→）是Heyting代数,且运算f和→由恒等式f（x→y）=f^2（x）∧f（y）与f（x）→y=f^2（x）∨y所连结．主要讨论了HO-代数的同余关系的性质．并刻画了其次直不可约代数的某些性质．     

利用向量求一类无理函数的值域

设向量^→a=（x1＋y1）,^→b=（x2,y2）,则称cos（^→→a,b）=x1x2＋y1y2/√x1^2＋y1^2√x2^2＋y2^2为向量^→a与^→b的坐标形式的夹角公式．有一类无理函数,它本身就是根据这一公式编制出来的．其函数表达式的结构与坐标形式的向量夹角公式的结构相似,     

关于一类奇异两点边值问题的 Chawla样条方法

1、引言 本文考虑如下的奇异两点边值问题。-1/w（x）（p（x）y＇（x））＇ = f（x,y（x））, x ∈ （0, 1）（1）limx→0＋ p（x）y＇（x） = 0,y（1）=A（2）。     

陕西省第五次大学生高等数学竞赛

本科组　复赛试题及答案本试卷共 1 2题 ,满分 1 50分。1 (1 5分 ) 计算 3 13×3· 913×9· 2 713×2 7· 81 13×81 ·…　　　答案 :(3 14 )2 (1 5分 ) 求 y =x3x2 -1 的单调区间、极值、凹凸区间、拐点和渐近线。答案 :(单调增区间有 (-∞ ,-3 ) ,(3 ,+∞ ) ,单调减区间有 (-3 ,-1 ) ,(-1 ,1 ) ,(1 ,3 ) ;极大值为 y x=- 3=-3 32 ,极小值为 yx =3=3 32 ;凹区间有 (-1 ,0 ) ,(1 ,+∞ ) ,凸区间有(-∞ ,-1 ) ,(0 ,1 ) ;渐近线有 :铅直渐近线x=-1 ,x=1 ,斜渐近线有 y=x)3 (1 5分 ) 设 f(x)在[a,b]上连续 ,证明 :limh→ 0 +1h∫xa[f(t+h)…     

从L’Hospital法则失效想到的

大家都很熟悉L’Hospital法则，其叙述和证明如下：设f（x）和F（x）满足如下条件：（2）在点的某空心邻域O＜|x－a|＜σ内，f（x）与F’（x）存在，且f’（x）≠0．证明因为x→a时，f（x），F（x）的极限与在x=a处的值没有关系，因此我们定义f（a）=F（a）=O，则应用Cauchy中值定理，可得：当x→a时，由于介于x和a之间，所以，故由条件（3）得从这个证明过程中，我们不容易发现在不存在（不包括无穷大）时，为什么L’Hospital法则就不能用？定义设x→a，5介于x和a之间，则称liing（Z）为x、a时g（x）的子极限。从I，Uospital法则的证…     

The second important Limit

Example 4 lim△r→0 ln（1＋△x/x）/△x/x =？     

无正则性条件下的一个信赖域方法的全局收敛性

1.引 言考虑下列等式约束最优化问题:min f(x)x∈Rn (1.1)s.t.C(x)=0其中f:Rn→R,C（x）=（c1（x）,C2（x）,…,Cm（x））T,Ci:Rn→R,（i=1,…,m）.我们假设f（x）,Ci（x）（i=1,2,…,m）是连续可微函数.令g（x）=　f（x）,A（x）=　C（x）T.为了方便,我们通常用 Ck,fk,gk,Ak分别表示 C（xk）,f（xk）,g（xk）A（xk）. SQP方法是一迭代方法.在 xk点,通过解下列子问题来得到搜索方向 dk     

渐近线中几个“不变”的结论

问题已知双曲线方程x^2/a^2-y^2.b^2=1（a〉0,b〉0）,其渐近线方程为y=±b/a x．则我们能得到以下“不变”的结论。     

标准算子代数上的Jordan映射

Let A be a standard operator algebra on a Banach space of dimension 〉 1 and B be an arbitrary algebra over Q the field of rational numbers. Suppose that M ： A → B and M^＊ ： B → A are surjective maps such that {M（r（aM^＊（x）＋M^＊（x）a））=r（M（a）x＋xM（a））, M^＊（r（M（a）x＋xM（a）））=r（aM^＊（x）＋M^＊（x）a） for all a ∈ A, x ∈ B, where r is a fixed nonzero rational number. Then both M and M^＊ are additive.     

Boundedness of semilinear Duffing equations with singularity

We prove the boundedness of all solutions for the equation x＂ ＋ V＇（x） = DxG（x,t）, where V（x） is of singular potential, i.e., limx→-1 Y（x） = ∞, and G（x, t） is bounded and periodic in t. We give sufficient conditions on V（x） and G（x, t） to ensure that all solutions are bounded.     

Multiple positive solutions for superlinear second order singular boundary value problems with derivative dependence

The existence of at least two positive solutions is presented for the singular second-order boundary value problem
{1/p（t）（ p（t）x′（t））′＋Φ（t）f（t,x（t）,p（t）x′（t））=0,0〈t〈1,
limt→0 p（t）x′（t）=0,x（1）=0
by using the fixed point index, where f may be singular at x = 0 and px ′= 0.     

世界各地数学奥林匹克试题选登

1 找到所有映射f：R→R，满足，f（f（x）＋y）=f（x^2-y）＋4f（x）y。