Sekundärströmungen in viskoelastischen Flüssigkeiten bei stationärer und periodischer Bewegung

Zusammenfassung Verschiedene Typen von Sekundärströmungen in viskoelastischen Flüssigkeiten werden besprochen, und es werden vor allem experimentelle Realisierungen derselben mitgeteilt, wobei als Versuchsflüssigkeit wäßrige Lösungen von Polyacrylamid Verwendung finden.Aus der Klasse der stationären Bewegungen werden Strömungen in geradlinigen Rohren von beliebigem Querschnitt und in gekrümmten Rohren von kreisförmigem Querschnitt unter einem konstanten Druckgradienten, sowie Strömungen um drehsymmetrische Körper, die um ihre Symmetrieachse rotieren, behandelt. Für den letztgenannten Fall wird u. a. das Gegeneinanderwirken von Viskoelastizitäts- und Trägheitseinflüssen aufgezeigt.In der Klasse der periodischen Bewegungen wird zuerst kurz auf die Strömung in einem geradlinigen Rohr von beliebigem Querschnitt unter einem alternierenden Druckgradienten eingegangen. Anschließend wird die Strömung um drehsymmetrische Körper, welche um ihre Symmetrieachse Rotationsschwingungen ausführen, untersucht. Dabei wird nicht nur eine stationäre Sekundärströmung in der Meridianebene, sondern außerdem auch eine solche in azimutaler Richtung nachgewiesen und als Folge der Unsymmetrie der anregenden periodischen Bewegung einsichtig gemacht. Schließlich wird gezeigt, daß im Innern eines Zylinders mit freier Flüssigkeitsoberfläche, der um seine Achse Drehschwingungen vollführt, eine unter Umständen recht komplizierte stationäre Sekundärströmung auftritt, und es wird deren Abhängigkeit von der Frequenz und der Füllhöhe untersucht.Vorgetragen auf der Jahrestagung der Deutschen Rheologen-Vereinigung und der Deutschen Rheologischen Gesellschaft in Bad Nauheim am 8. April 1965.Zum Schluß sei Herrn Prof. Dr.K. Weissenberg (The Royal Institution, London) herzlich für die Mitteilung seiner unveröffentlichten Ergebnisse gedankt, die zur Durchführung der zuletzt beschriebenen Versuche angeregt haben. Herrn Dipl.-Ing.K. Feldkamp (Technische Hochschule Braunschweig) sowie meinen Mitarbeitern HerrnH. Stollorz und HerrnH. Pickelin danke ich für ihre Hilfe bei Planung und Bau der Apparaturen und bei der Durchführung der Versuche, meinem Kollegen Herrn Dr.J. Pawlowski für manche anregende Diskussion sowie für die Messung der Fließkurven. Den Farbenfabriken Bayer AG., insbesondere Herrn Dr.W. Meskat gebührt schließlich mein Dank für die Förderung der vorliegenden Untersuchung.     

Turbulente Vermischung ebener Heißluftstrahlen

Zusammenfassung Auf der Grundlage eines vom Verfasser in einer vorangegangenen Arbeit aufgestellten Gleichungssystem für turbulente Strömungen von Gasen stark veränderlicher Dichte wird die turbulente Vermischung ebener Heißluftstrahlen, die zunächst durch eine Scheidewand getrennt sind und sich dann in einem Winkelraum mischen, berechnet. Die Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems erfolgt mittels eines Iterationsformalismus. Berechnet werden die Verteilungen der Geschwindigkeit und der Temperatur für eine Reihe von Parametern der Geschwindigkeits- und Temperaturdifferenz. Es resultiert, daß der Winkelraum der Mischung sich mit wachsender Temperaturdifferenz zum heißeren Strahl hin dreht. Weiterhin ergibt sich, daß der Zustrom zum Mischungsraum sich beim Überschreiten der Schwelle gleicher Impulsströmungen beider Strahlen in einen Abstrom wandelt. Der Vergleich mit vorliegenden Messungen an Heißluftstrahlen in bewegter Luft ergibt für die Temperaturverteilungen gute Übereinstimmung sowohl hinsichtlich der Mischbreite wie auch des Verhältnisses von Außen- zu Innenwinkel. Hinsichtlich der letztgenannten Charakteristik ist für die Geschwindigkeitsverteilungen befriedigende Übereinstimmung erst bei Einführung eines effektiven Düsenradius, der dem Impulsverlust der Strömung an der Düsenwandung Rechnung trägt, zu erzielen.     

Turbulente Strömungen in divergenten Kanälen

Zusammenfassung Die theoretische Behandlung turbulenter Grenzschichtströmungen mit mittlerem und starkem Druckanstieg erfordert die Berücksichtigung des Einflusses des Druckgradienten bis zur Wand hin. Unter Zugrundelegung des Prandtlschen Schubspannungsansatzes wird als Verallgemeinerung des logarithmischen Geschwindigkeitsgesetzes ein Wandgesetz abgeleitet, das diesem Einfluß in Wandnähe Rechnung trägt. Die empirischen Koeffizienten des Wandgesetzes sind die beiden empirischen Koeffizienten des logarithmischen Gesetzes und vom Druckgradienten der Strömung unabhängig. Das Wandgesetz kann unter Umständen dazu dienen, die Wandschubspannung aus der experimentellen Geschwindigkeitsverteilung in Wandnähe zu bestimmen.Der theoretischen Untersuchung turbulenter Strömungen in ebenen Diffusoren werden die bekannten Messungen Nikuradses zugrunde gelegt. Es zeigt sich, daß bereits mittels des Wandgesetzes Druckgradient, Wandschubspannung und Geschwindigkeitsverteilung für mittleren Druckanstieg in brauchbarer Näherung berechnet werden können. Methodisch wird dabei so vorgegangen, daß die Geschwindigkeitsverteilung über der gesamten Breite der Kanalströmung durch das Wandgesetz approximiert wird. Wandschubspannung und Druckgradient werden dann mittels des Impulssatzes und einer äußeren Randbedingung bestimmt.Eine brauchbare Wiedergabe der experimentellen Werte auch für starken Druckanstieg erzielt man, wenn man als approximierende Funktion eine analytische Weiterentwicklung des Wandgesetzes ins Innere der Grenzschichtströmung hinein benutzt. Diese analytische Weiterentwicklung ist charakterisiert durch Berücksichtigung der Trägheitskräfte in erster Näherung und Berücksichtigung des Vorganges der turbulenten Mischung in zweiter Näherung, d. h. Einbeziehung des zweiten Gliedes der Taylorentwicklung der Mischungswegfunktion in die Rechnung. Der dabei auftretende dritte empirische Koeffizient erweist sich als vom Druckgradienten unabhängig und ist darüber hinaus als universelle Konstante anzusehen.     

Die Spaltströmung an geraden Schaufelgittern

Zusammenfassung In einem Wasserkanal wurde die Spaltströmung an geraden Schaufelgittern mit Druckanstieg untersucht. Es wird eine Methode zur Erzeugung von Schwebeteilchen in Wasser und ein stereographisches Meßverfahren beschrieben.Die Strömungsbilder zeigen, daß sich bei dünnen Schaufelprofilen und kleiner Spaltbreite die durch den Spalt fließende Flüssigkeit zu einem tütenförmigen Wirbel aufrollt. Wenn der Druckanstieg des Gitters größer ist als der Staudruck der Durchsatzgeschwindigkeit, so können die Spaltwirbel diesen Druckanstieg nicht überwinden und enden innerhalb des Gitters in einem Totwassergebiet.Die Untersuchung eines Schaufelgitters mit großer Spaltbreite ergab, daß der Spalt bei starkem Druckanstieg nicht durchströmt wird, daß vielmehr eine Kontraktion des Strömungsquerschnittes stattfindet ähnlich wie bei einer Luftschraube.Herrn Professor Dr. A. Betz, unter dessen Leitung die vorliegende Arbeit im Max-Planck-Institut für Strömungsforschung und in der Aerodynamischen Versuchsanstalt in Göttingen als Diplomarbeit durchgeführt wurde, danke ich für wertvolle Anregungen. Ferner möchte ich auch Herrn Dr. F. W. Riegels meinen Dank aussprechen.Aerodynamische Versuchsanstalt Göttingen.     

Turbulente Reibungsschichten mit Sekundärströmung

Zusammenfassung Es werden Messungen mit einer Versuchsanordnung beschrieben, die zur Untersuchung der Reibungsschicht an einer ebenen Wand dient, längs der eine Strömung vorhanden ist, deren Potentialstromlinien in zur Wand parallelen Ebenen gekrümmt sind. Entsprechend der auf Reibungsschichten in ebener Strömung häufig angewandten Gleichung, die man dort durch Anwendung des Impulssatzes zu gewinnen pflegt, wird eine Verallgemeinerung hergeleitet, die für Reibungsschichten mit räumlicher Strömung gilt. Mit Hilfe dieser Gleichung werden die Wandschubspannungen berechnet.Herrn Prof.Prandtl habe ich für die Veranlassung zu dieser Arbeit zu danken und der Notgemeinschaft der Deutschen Wissenschaft dafür, daß sie sie ermöglicht hat.     

Flow enhancement mechanisms of a pulsating flow of non-Newtonian liquids

Summary The pipe flow of non-Newtonian liquids under a fluctuating pressure gradient is considered. Adopting a generalized Maxwell model with full relaxation spectrum and considering only weak-sense stationary pressure-gradient noises, it is shown that there are two mechanisms involved in the flow enhancement: an inelastic and a dynamic mechanism. Both depend on the shear-thinning properties of the liquid in steady and oscillatory flows. For one-frequency pressuregradient noises, the flow enhancement increases with increasing frequency of fluctuation if the modulus of the complex viscosity is a decreasing function of the frequency. Since almost all polymeric liquids are shear-thinning in oscillatory shear flows, this investigation serves as a possible explanation for the data collected byBarnes, Townsend andWalters (1971). This, however, does not necessarily ensure that the constitutive model adopted in this study is free of defect in a general flow field.

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Zusammenfassung Es wird die Rohrströmung einer nicht-newtonschen Flüssigkeit bei fluktuierendem Druckgefälle betrachtet. Für ein verallgemeinertes Maxwell-Modell mit beliebigem Relaxations-Spektrum wird bei Beschränkung auf kleine Schwankungen des Druckgradienten um einen stationären Mittelwert gezeigt, daß zwei Mechanismen zur Steigerung des Durchflusses beitragen, ein unelastischer und ein dynamischer Mechanismus. Beide hängen von den Scherentzähungs-Eigenschaften der Flüssigkeit bei stationären und oszillierenden Beanspruchungen ab. Für eine harmonisch-periodische Druckstörung nimmt die Durchflußsteigerung mit wachsender Schwankungsfrequenz zu, wenn der Betrag der komplexen Viskosität eine mit der Frequenz abnehmende Funktion darstellt. Da nahezu alle Polymerflüssigkeiten bei oszillierenden Scherströmungen Scherentzähung aufweisen, liefert diese Untersuchung eine mögliche Erklärung für die vonBarnes, Townsend undWalters (1971) zusammengestellten Ergebnisse. Dies bedeutet aber nicht notwendigerweise, daß das hier angenommene Modell auch für die Beschreibung allgemeinerer Strömungsfelder angemessen ist.

     

Ein Quadraturverfahren zur Berechnung der Reibungsschicht an axial angeströmten rotierenden Drehkörpern

Zusammenfassung Als Abschluß eines umfangreichen Programmes zur Berechnung der Strömung an angeblasenen rotierenden Rotationskörpern wird der bisher noch fehlende Fall turbulenter Strömung behandelt.Für die Berechnung der Impulsverlustaicken sowie des Drehmomentes konnten einfache Quadraturformeln erhalten werden, die für den laminaren Fall ebenfalls eine recht brauchbare Näherung darstellen. In den Formeln kommen nur die Verteilung des Körperhalbmessers und des Körperhalbmessers und die Geschwindigkeitsverteilung um den Körper vor. Es wird eine Abschätzung zur Bestimmung der Lage des Ablösungspunktes infolge der Drehbewegung des Körpers angegeben.Das Verfahren wurde erprobt an den Beispielen der rotierenden Scheibe, der Kugel, der Rotationsellipsoide und des räumlichen Halbkörpers. In allen Fällen wurde der Momentenbeiwert bei laminarer und turbulenter Strömung berechnet. Allgemein kann man zeigen, daß sich das Drehmoment bei konstant gehaltener Anströmungsgeschwindigkeit linear mit der Umfangsgeschwindigkeit ändert.Die vorliegende Arbeit stellt den zweiten Teil einer von der Fakultät für Maschinenwesen der Technischen Hochschule Braunschweig angenommenen Habilitationsschrift mit dem Titel Die Strömung um rotierende Drehkörper bei axialer Anströmung dar. (Berichter Prof. Dr. H. Schlichting, Mitberichter Prof. Dr. H. Blenk.) Der erste Teil mit dem Titel Die turbulente Strömung an einer angeblasenen rotierenden Scheibe wird in der Zeitschrift für angewandte Mathematik und Mechanik erscheinen.Diese Untersuchungen wurden mit Unterstützung der Deutschen Forschungsgemeinschaft im Institut für Strömungsmechanik der T. H. Braunschweig ausgeführt.     

Strömungen mit konstantem Geschwindigkeitsgradienten und die Bewegung von darin suspendierten Teilchen

Zusammenfassung Im Rahmen einer statistischen Rheologie der Suspensionen, Emulsionen und Lösungen ist es von Bedeutung, einen Überblick über die Gesamtmenge der Strömungen mit konstantem Geschwindigkeitsgradienten zu gewinnen. Deshalb werden die Lösungen der Differentialgleichung solcher Strömungen angegeben und diskutiert, insbesondere bezüglich des Einflusses des Deformations- und des Rotationsanteils des Geschwindigkeitsgradienten. Im Anschluß daran wird die Bewegung von starren Teilchen in diesen Strömungen analysiert. Sowohl die Strömungsformen selbst als auch die Bewegungsformen der suspendierten Teilchen lassen sich in zwei große Klassen einteilen: Bei überwiegendem Deformationseinfluß haben wir hyperbolisch-parabolische Strömungen sowie eine Einstellung der Teilchen in feste Richtungen, bei überwiegendem Rotationseinfluß dagegen elliptisch-spiralige Strömungen sowie eine ungleichmäßige Umlaufbewegung der Teilchen. Der Umschlag von der einen Bewegungsart in die andere ist hier indessen nicht nur von der Strömungsform, sondern ebenso von der Gestalt der Teilchen abhängig; der Deformationsanteil kommt um so stärker zur Geltung, je größer die Formanisotropie der Teilchen ist.     

The effect of a solid wall for the flow of dilute macromolecular solutions

Summary In the vicinity of a wall the behavior of the molecules of a fluid is not only influenced by neighboring molecules but also by the wall. For a macromolecular solution this implies that the constitutive equations cannot be employed in any finite system except for the calculation of average quantities if, in addition, one accounts for a velocity slip at the solid wall. For planeCouette flow of a dilute solution of flexible macromolecules idealized asHookean dumbbells the slip velocity,u _s , is evaluated under the assumption that the interaction between the solute molecules and the wall is a hard core repulsion. This furnishes a slip velocity in the direction of the flow so that the apparent viscosity goes down by increasing the ratio of the length of the molecules to the distance between the plates. Increasing the intrinsic viscosity and/or the concentration will enhance that effect.

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Zusammenfassung In der Nähe einer Wand wird das Verhalten der Moleküle einer Flüssigkeit nicht nur von Nachbarmolekülen, sondern auch von der Wand beeinflußt. Für eine makromolekulare Lösung bedeutet das, daß die rheologischen Stoffgleichungen in einem endlichen System nicht anwendbar sind. Zur Berechnung gemittelter Größen kann sie jedoch noch verwendet werden, vorausgesetzt, man zieht eine Geschwindigkeitsgleitung mit in die Betrachtung ein. Für die ebeneCouette-Strömung einer verdünnten Lösung flexibler Makromoleküle, die man durchHookesche Hanteln idealisiert, läßt sich die Gleitungsgeschwindigkeitu _s berechnen unter der Annahme, daß die Wechselwirkung mit der Wand rein abstoßend ist. Es zeigt sich, daß dies eine Gleitungsgeschwindigkeit in Strömungsrichtung nach sich zieht, so daß sich die scheinbare Viskosität der Strömung bei größer werdendem Verhältnis von Länge der Moleküle zum Plattenabstand erniedrigt. Eine Vergrößerung desStaudinger-Index und/oder der Konzentration vergrößert den Effekt.

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Paper presented at the Annual Conference of German Rheologists in Berlin, April 28–30, 1975.

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With 2 figures     

Unsteady flows of a third-order viscoelastic fluid

Summary Unsteady third-order viscoelastic flow is examined for the purpose of determining a method by which certain material constants in theRivlin-Ericksen theory can be measured. The concept of an intrinsic pressure hole error is used, and an expression for this error is derived for third-order flow. It is also shown that the velocity field for unsteady creeping motion of a third-order fluid is identical at any time to a corresponding steady third-order flow. The pressure field, however, depends upon the rate of change of the flow with time.

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Zusammenfassung Es wird die instationäre Strömung dritter Ordnung einer viskoelastischen Flüssigkeit untersucht zu dem Zweck, eine Methode anzugeben, mit deren Hilfe gewisse Stoffkonstanten in der Theorie vonRivlin undEricksen gemessen werden können. Dazu wird das Konzept des intrinsic pressure hole error verwendet, und es wird für diesen Fehler im Rahmen der Theorie dritter Ordnung ein Ausdruck abgeleitet. Weiter wird gezeigt, daß das Geschwindigkeitsfeld für die instationäre schleichende Strömung einer Flüssigkeit dritter Ordnung zu jeder Zeit mit der zugeordneten stationären Strömung dritter Ordnung identisch ist. Im Gegensatz dazu hängt das Druckfeld jedoch von der zeitlichen Änderung der Strömungsgeschwindigkeit ab.

     

Ausbildung eines Wirbels an der Kante einer Platte

Zusammenfassung Die Strömung um die unendlich breite Platte kann man darstellen als eine Potentialströmung mit Unstetigkeitsflächen, die von den Plattenkanten ausgehen. Durch eine konforme Abbildung läßt sich bei gegebener Form und Wirbelbelegung der Unstetigkeitsflächen das Geschwindigkeitsfeld berechnen. Eine Bedingung ist die, daß die Geschwindigkeit an den Plattenkanten endlich sein muß. Sie ist aber nicht ausreichend zur Bestimmung der Form und Wirbelbelegung der Fläche. Auf Grund einer Ähnlichkeitsforderung gelingt es aber, eine Lösung dieser Aufgabe für die unendlich breite Platte zu finden, die für den frühesten Beginn der Flüssigkeitsbewegung richtig ist. Ausgehend von dieser Lösung wird die weitere Entwicklung der Wirbelbelegung und Gestalt der Fläche bei einer endlich breiten Platte verfolgt.Zum Schluß möchte ich Herrn ProfessorBetz für die Anregung zu dieser Arbeit und seine rege Unterstützung bei der Durchführung meinen besonderen Dank aussprechen.Göttinger Dissertation.     

Über eine Analogie zwischen den Instabilitäten laminarer Grenzschichtströmungen an konkaven Wänden und an erwärmten Wänden

Zusammenfassung Es wird gezeigt, daß die von Idrac (1921) und Terada (1928) unabhängig voneinander entdeckten Längswirbel in Strömungen über erwärmten Platten, für die bisher eine befriedigende Theorie fehlte, das thermokonvektive Analogen zu der dynamischen Instabilitäts-erscheinung der longitudinalen Wirbel in Grenzschichtströmungen an konkaven Wänden darstellen. Für das Bestehen dieser Wirbel an erwärmten Wänden ist die Erreichung einer gewissen kritischen Grashof-Zahl. notwendig und hinreichend. — Bei Zusammenwirken von Wandkrümmung und Wandeiwärmung bzw. -kühlung kann die stabilisierende Wirkung des einen Effektes durch die instabilisierende Wirkung des anderen überboten werden oder umgekehrt. Die Erfassung der beiden Einflüsse in ihrer gegenseitigen Relation ist einfach und im Rahmen der Linearisierung der vorliegenden Störungstheorie in aller mathematischen Strenge angebbar. Diese Störungstheorie setzt schwache Wandkrümmung und relativ kleine Temperaturunterschiede voraus.Diese Untersuchung wurde gefördert durch das Wirtschaftsministerium des Landes Baden-Württemberg.     

Fluides viscoélastiques non linéaires satisfaisant à un principe de superposition étude théorique et experimentale

Summary This study is devoted to incompressible viscoelastic fluids in which a superposition principle for stress is assumed. In order to respect the material objectivity, this summation of incremental stress, with corresponding memory factor, is operated in a rheological (corotational) frame. Theoretical study for these fluids in viscometric flows was conducted up to explicit solutions. This study shows some impossibility ranges for such flows. The determination of the memory functions from this type of flow involvesFourier transform and so, would need the knowledge of all the kinematic range, and this is impossible.The study in relaxation tests permits the determination of the memory functions. So, we performed these experiments, to get memory functions which were independent of the kinematics.Using the function so obtained, we can compute and predict some experimental results in steady flows; and the comparison between these two results was quite good.

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Zusammenfassung Wir untersuchen inkompressible viskoelastische Fluide, die einem Superpositionsprinzip für die Spannungen genügen. Um dem Prinzip der Bezugsindifferenz zu entsprechen, wird die Summation der Spannungs-inkremente in einem korotationalen Bezugssystem vorgenommen. Die theoretische Untersuchung wird für viskosimetrische Strömungen mit kreisförmigen oder geradlinigen Stromlinien für einfache Randwertprobleme bis zu expliziten Lösungen durchgeführt. Dabei findet man, daß es Bereiche gibt, für die solche Strömungen nicht existieren. Die Bestimmung der Gedächtnisfunktion aus diesen Strömungsformen würde eineFourier-Transformation erfordern und darum die Kenntnis des gesamten kinematischen Bereichs voraussetzen, was nach vorstehendem Ergebnis unmöglich ist.Mit Hilfe von Relaxationsversuchen kann man die Gedächtnisfunktion unmittelbar erschließen. Durch solche Experimente erhalten wir Gedächtnisfunktionen, die von der Kinematik unabhängig sind. Unter Verwendung dieser Funktionen lassen sich einige theoretische Aussagen über stationäre Strömungen erhalten, die mit dem Experiment verglichen werden können. Es ergibt sich eine recht gute Übereinstimmung.

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Avec 6 figures     

Die ebene Strömung um ein geknicktes Profil mit Spalt

Zusammenfassung Die Strömung um ein geknicktes Profil mit Spalt wird mit Hilfe der konformen Abbildung berechnet. Zuerst wird die Abbildungsfunktion der geknickten Platte mit Spalt so dargestellt, daß die numerische Auswertung für kleine Spalte besonders einfach wird. Durch Hinzunahme weiterer Abbildungen kann man schrittweise von der Strömung um Skelette übergehen zur Strömung um dünne Flosse und profiliertes Ruder und um Flosse und Ruder mit Wölbung und Dicke. Für alle diese Kombinationen wurden die Druckverteilungen berechnet. Es zeigt sich, daß die Rechnungen für Skelette schon recht gute Werte für die Gesamtkräfte liefern. Jeder Schritt in dem Annäherungsprozeß an Formen, wie sie der Wirklichkeit entsprechen, wurde wenn möglich einer entsprechenden Messung gegenübergestellt, um so den Einfluß der Form auf die Druckverteilung klar erkennen zu können. Zum Schluß ergibt sich, daß die Potentialtheorie alle wesentlichen Eigenschaften der Strömung um das geknickte Profil mit Spalt gut wiedergibt.     

Theorie und Beispiele unsymmetrischer Totwasserströmungen mit beliebigem Totwasserdruck

Zusammenfassung Es wurde eine Theorie für Strömungen mit endlichem Totwasser entwickelt, die sowohl für symmetrische als auch für unsymmetrische Konturen gilt. Sie stellt eine Erweiterung der Epplerschen. Theorie der symmetrischen Strömungen dar, die ihrerseits aus der Helmholtzschen Theorie des unendlich ausgedehnten Totwassers hervorgegangen ist. Das bestimmte Problem, d. h. die Strömung um vorgegebene Konturen wurde auch numerisch erfaßt. Um die ebene Platte und um den Kreiszylinder wurden verschiedene unsymmetrische Strömungen gewonnen.Das Verfahren wurde für die Siemens-Datenverarbeitungsanlage 2002 programmiert. Während für die ebene Platte systematische Untersuchungen bei vorgegebenen physikalischen Bedingungen für alle möglichen Totwasserdrücke durchgeführt und auch mit experimentellen Ergebnissen verglichen wurden, wurden beim Kreiszylinder der langen Iterationszeit wegen nur einzelne spezielle, hauptsächlich von der Ablösung abhängige Beispiele berechnet.Auszug aus der von der Fakultät für Allgemeine Wissenschaften der Technischen Hochschule München genehmigten Dissertation bzw. aus dem Bericht FM 238 der Firma Bölkow GmbH, Ottobrunn.     

Wandnahe Geschwindigkeitsverteilung turbulenter Grenzschichtströmungen mit Druckanstieg

Zusammenfassung Unter Vernachlässigung der Trägheitsglieder wird aus der Differentialgleichung turbulenter Grenzschichtströmungen bei Zugrundelegung desPrandtlschen Mischungswegansatzes, wobei der Mischungsweg dem Wandabstand proportional gesetzt wird, die wandnahe Geschwindigkeitsverteilung für Strömungen mit Druckanstieg bis einschließlich der Ablösung in geschlossener analytischer Form approximativ berechnet. Die Fehlerabschätzung, welche auf die Approximation eines elliptischen Integrals hinauskommt, ergibt einen für technische Strömungen vernachlässigbaren Fehler. Dem als Verallgemeinerung des logarithmischen Gesetzes erhaltenen Wandgesetz kann bei Einführung einer verallgemeinerten Schubspannungsgeschwindigkeit eine die universelle Form des logarithmischen Gesetzes enthaltende Formulierung gegeben werden. Die empirischen Koeffizienten des Wandgesetzes sind die des logarithmischen Gesetzes. Der Vergleich mit denNikuradseschen Messungen divergenter Kanalströmungen ergibt befriedigende Übereinstimmung.     

Flow of a power law fluid in an annulus with porous walls

Summary The steady flow of a power law fluid in annuli with porous walls is investigated. The solution for the axial velocity component is obtained as a power series in terms of the cross flowReynolds number, the first term of the series giving the solution for the case of the solid wall annulus. The cross flow is restricted to be such that the rate of injection of fluid at one wall of the annulus is equal to the rate of suction at the other wall and also we have considered only very small values of the cross flow velocity. The velocity profiles are drawn for different values ofn and for different gaps and the results are discussed in detail. The behaviour of the average flux, in different eases is also discussed.

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Zusammenfassung Das stationäre Strömen einer dem Potenzgesetz gehorchenden Flüssigkeit in Ringkanälen mit porösen Wänden wird untersucht. Die Lösung für die axiale Geschwindigkeitskomponente ergibt sich als eine Potenzreihe in der Form derReynolds-Zahl für die Querströmung, wobei der erste Term der Reihe die Lösung für den Fall eines Ringkanals mit undurchlässiger Wand ergibt. Die Querströmung ist dadurch beschränkt, daß die Injektionsgeschwindigkeit der Flüssigkeit an der einen Wand des Kanals genau so groß ist wie die Absaugungsgeschwindigkeit an der anderen Wand. Ebenso werden nur sehr kleine Werte der Querströmungsgeschwindigkeit untersucht. Die Geschwindigkeitsprofile werden für verschiedene Werte vonn und für verschiedene Spaltweiten angegeben. Die Ergebnisse werden ausführlich diskutiert. Ebenso wird das Verhalten der mittleren Strömung für die verschiedenen Fälle diskutiert.

     

Charakteristikenverfahren für die eindimensionale instationäre Gasströmung

Zusammenfassung Die Potentialgleichung der eindimensionalen instationären Gasströmung wurde durch eine Legendre-Transformation auf eine lineare Differentialgleichung zurückgeführt. Dadurch ergab sich ein dem Verfahren von Prandtl und Busemann für zweidimensionale stationäre überschallströmungen analoges Charakteristikenverfahren zur Konstruktion eindimensionaler instationärer Gasströmungen bei vorgegebenen Randbedingunge. Es ist sowohl im über- wie im Unterschallbereich brauchbar und wurde teils auf bekannte Strömungen mit einer Wellenschar, teils auf Strömungen mit zwei sich überschneidenden Wellenscharen angewandt, für die man bisher noch kein einfaches Konstruktionsverfahren hatte.     

Pulsierende Druckströmung hochpolymerer Schmelzen im kreisförmigen Kanal

Zusammenfassung Es werden theoretische und experimentelle Untersuchungen pulsierender Strömungen viskoelastischer Flüssigkeiten in einem kreisförmigen Kanal durchgeführt. Unter Voraussetzung einer eindimensionalen, isothermen und vollentwickelten Strömung in Anwesenheit sinusförmiger Druckgradientenschwankungen wird für die rheologische Zustandsgleichung von Bird-Carreau eine asymptotische Lösung erzielt. Die Ergebnisse weisen darauf hin, daß sowohl die relative Amplitude der Ausstoßschwankungen als auch die relative Änderung des mittleren Ausstoßes sich in einer allgemeinen Form darstellen läßt, die bezüglich der Temperatur und der relativen Amplitude der Druckgradientenschwankungen invariant ist. Die theoretischen Ergebnisse werden mit experimentellen Daten für ein Polyethylen niederer Dichte verglichen. Dabei wird eine gute Übereinstimmung der Theorie mit dem Experiment festgestellt.

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Theoretical and experimental studies were carried out on the pulsating flow of viscoelastic liquids through a circular channel. By assuming the flow to be one-dimensional, isothermal, and fully developed and the Bird-Carreau constitutive equation to be applicable, an asymptotic solution was found. The results obtained indicate that both the relative amplitude of pulsation of the output and the relative change in the average output may be presented in a generalized form that is independent of the relative amplitude of the pressure pulsations and temperature. The theoretical results were verified experimentally for a low-density polyethylene. Good agreement was found between the theory and the experimental data.

     

Zur Strömung wandgleitender Flüssigkeiten zwischen zwei Platten

Zusammenfassung Von den Navier-Stokesschen Gleichungen ausgehend wird am Zwei-Platten-Modell für vereinfachte Bedingungen der Einfluß von Wandgleiten auf die Geschwindigkeitsprofile von Schlepp- und Druckströmung untersucht. Bei der Kombination dieser Strömungen zeigt sich, daß die für die Praxis des Extrudierens wichtigen Verweilzeiten und Geschwindigkeitsgradienten (Mischen) durch eine endliche Wandgleitgeschwindigkeit beeinflußt werden. Die Überlegungen gelten für Gleitgeschwindigkeiten, die deutlich kleiner sind als die Relativgeschwindigkeit der Platten.

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Summary For the simple case of an incompressible Newtonian fluid between parallel plates the influence of wall slip on drag flow and pressure flow has been studied (steady isothermal flow). It can be shown that for the combination of drag and pressure flow the velocity at the wall influences the residence time as well as the velocity gradient, both being of importance in extrusion. The theoretical considerations are valid for comparatively small slip velocities only.

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Mit 7 Abbildungen und 1 Tabelle