左零化子具升链条件环的一个定理的简单证明

1955年谢邦杰给出一个定理:左零化子具升链条件的诣零环为Baer根环。Herstein,I.N.于1964年得到类似结果。本文给出此定理的一个短证。 设R为一环,α∈R,L(α)={r|r∈R, rα=0}是α的在R内的左零化子。R是Baer根环,当且仅当R的任意非零同态像含有非零的幂零理想。 定理 左零化子具升链条件的诣零环R为Baer根环。     

Γ-环与广义Γ-环的强幂零根与拟强幂零根

陈维新在[1]中讨论了什么条件下的Г-环的任一强诣零子环一定是强幂零子环?本文将利用这些结果进一步讨论,什么条件下的Г-环必有强幂零根?也就是:什么条件下的Г-环的所有强幂零理想之和仍是强幂零理想?回答是,具下列条件之一即可:① Noether条件,②Goldie条件,③左、右零化子升链条件,④左、右零化子降链条件,⑤左(或右)零化子升链和降链条件,⑥强幂零理想极大条件,⑦强幂零子环极大条件,⑧左(或右)零因子极大条件,⑨强诣零左(或右)理想极小条件,⑩Artin条件。本文还针对Г-环的所有强幂零理想之和未必     

关于左A—内射环

本文主要证明了：（1）适合右零化子升链条件的左A－内射环为QF环。（2）适合左零化子升链条件的左f-内射环为QF环。（3）若对环R的任意左理想A，B和右理想I满足r(A∩B）=r(A) r(B),rι(I)=I，则R为半完全环且有本质左基座，特别地，右CF的左A－内射环（或E(RR)为投射左R－模）为QF环。     

M_k(R)的幂零指标

若 R 为幂零有界的环,记其幂零指标为 i(R),本文证明了:若 R 为诣零的且幂零有界,则 M_k(R)亦为诣零的且幂零有界,并证明了:i(M_k(R))≤(k~2+1)(3k~2+1)·multiply from j=0 to m-4 [(m-j+1)~(k-1)·(2m-2j+1)-(m-j+1)],这里 m=i(R),本文最后推广上述结论而证明了:若 R 为 PI—环,且幂零有界,则 M~k(R)亦为幂零有界的环。     

强拟诣零clean环（英文）

环R中元素a称为强拟诣零clean元,若存在幂等元e∈R和拟幂零元q∈R使得eq=qe且a=e+q;称环R为强拟诣零clean环,如果R中每一个元素均是强拟诣零clean元.强拟诣零clean环介于强诣零clean环和强clean环之间,并且每一个强拟诣零clean元是强clean元.本文介绍了强拟诣零clean环的基本性质和结构,并研究了局部环R上广义矩阵环K_s(R)的强拟诣零clean性.     

p-内射性与Artin半单环

P-内射性在环论研究中有独特的作用,并且越来越被人们所重视.本文的目的是利用p-内射性来刻化Artin半单环,我们得到如下主要结果:(1)环R是Artin半单的当且仅当R是p-内射的,R的左奇异理想是闭右理想,且R满足特殊左零化子升链条件;(2)环R是Artin半单的当且仅当R的每个极大本质左理想是左零化子,并且任意奇异单左R-模是p-内射的;(3)素环R是Artin单的当且仅当R的右基层S≠0是左p-内射的,并且R满足特殊左零化子升链条件.这些结果不仅加深了对Artin半单环的认识,而且建立了半单环与某     

满足R—左模同态链归纳条件之环

环的链条件已得到深入的研究,其成果相当丰富。许永华曾提出过一种新的链条件,即R—左模同态链归纳条件。此条件完全脱离了以往的链条件的有限性,且是著名的Kthe猜测成立的充分必要条件。本文的目的是要指出:此条件不仅能使Kthe猜想成立,而且还可以得出另一些有意义的结果。我们引进了一个环的Levitzki子集的概念。从而证明了:环R的Levitzki根包含R的任何诣零单侧理想的充分必要条件是R满足每个Levitzki子集上R—左模同态链归纳条件。 本文同时还讨论了Kegel猜测:环R的两个局部幂零子环之和仍为局部幂零的。我们得到的结果是:如果环R=A B,A为R的诣零左理想,B为R的谐零子环,则R是局部幂零的。当且仅当R满足R-L(R)的每一子集上R-左模同态链归纳条件。此处L(R)为R的Levitzki根。 本文所讨论的环都是结合环(不要求有单位元)。没有给出明确定义的术语其意义与[1]相同。     

满足右零化子特殊升链条件的环

本文讨论了满足右零化子特殊升链条件的环的性质以及与左、右完备环，ＱＦ－环的关系；给出了满足右零化子特殊升链条件的环中素理想是完全素理想的条件，从而给出了Ｇｏｌｄｉｅ定理的一个应用．     

左零因子理想具升链条件之环是左Noether环

谢邦杰〔1〕中引入了“左零因子理想具升链条件”的环这一概念,继而证明了这种环的诣零单边理想是幂零的,本文证明这种环若含有非零零因子,它就是左 Noether 环,因此〔1〕中结论就是 Levitzki 定理〔2〕,本文采用〔1〕中的定义.定义 设 R 是一环,L 是 R 的一个左理想,如果 S 是 R 的一个子集合而由非零元素     

一般环之因子幂零理想

本文称环Ω的左(右)理想A为因子幂零的,如果对于任意元素r∈Ω,均有正整数m=m(r),使得A^mr={0}.称Ω的一个左理想L为关于元素b∈Ω的左因子,如果Lb≠{0}.定理4 设R是环Ω的因子幂零右理想,那么R+ΩR是Ω的一个因子幂零理想.定理7 设Ω具有局部左因子极小条件,那么Ω的任意诣零左理想必是因子幂零左理想.本文指出因子幂零性是介于幂零性与诣零性之间的一种性质,更接近幂零性。     

零化子素理想和半素环

本文给出了一类满足零化子升链条件的环是半素环的一些充要条件 证明了:一个有右Krull维数(或是右非奇异)的满足右零化子升键条件的环R,若R有右Artin右分式环,则R是半素环的充要条件是R的任一极小素理想不是本质右理想。     

Morita Context环的幂零性

设(A,B,V,W,(),[])是一个Morita Context,C=A VW B是对应的Morita Context环.用基本环论方法,给出了C与A,B,V,W之间关于环的诣零性,幂零性,局部幂零性,N—诣零性,P—性等性质的关系.     

多项式环的单位和稳定度的注记

称环R为广义2-素环,如果R的幂零元集与上诣零根一致.证明了R上的多项式为单位当且仅当它的常数项是R中的单位而其它系数是幂零的.因此,广义2-素环上的多项式环的稳定度大于一.     

关于F-环

如果环R含有一有限非零元集X,使得任意非零αR与X相交不空,则称R为F-环。本文证明了:一个不含非零幂零元的F-环为有限个除环的直和。 我们推广傅昶林一文[1]中的概念如下: 定义 如果环R含有一有限非零元集X,使得任意非零αR与X相交不空,则称R为F-环。如果有一个这样的集合XZ(R),称R为FZ-环(Z(R)表示R的中心)。 本文将证明:一个不含有非零幂零元素的F-环R为有限个除环的直和。以下R_1表示R的左零化子,P(R)表示R的质根,J(R)表示R的Jacobson根,(0:A)表示集合{x∈R|Ax=0},这里AR。     

《关于Kothe问题及幂零性问题》一文的注记

许永华在文〔1〕中引进了Kothe子集及R-左模同态链 归纳条件,分别给出了环成立Kothe猜测及环的任一诣零单侧理想是幂零的充要条件。 陈维新在文〔2〕中指出,可把R-左模同态链是归纳的定义本身予以减弱,而保持结论不变。     

格序环的根

讨论格序环中诣零单侧l-理想的幂零性,证明了许多满足特殊格序环等式的环的所有根相同．     

Von Neumann正则环和SF-环

环R称为左SF-环,如果每个单左R-模是平坦的。众所周知,Von Neumann正则环是SF-环,但SF-环是否是正则环的问题至今仍是公开的。本文研究左SF-环是正则环的条件,证明了,如果下列之一成立,那么左SF-环是正则的:(1)循环模的每个极大子模是平坦的;(2)不可分解的商环是左quasi-duo;(3)极大左理想的左零化子是本质的;(4)满足主左理想的升链条件。     

诣零MHR-环的有限生成右理想极小条件

称适合主右理想极小条件的结合环为MHR-环。本文证明了诣零MHR-环适合有限生成右理想极小条件,从而对F.A.Szász问题31给出了否定的回答。此外,还证明了诣零MHR-环上的n阶矩阵环和n元多项式环都是诣零MHR-环。     

Von Neumann正则环和SF—环

环 R 称为左 SF-环,如果每个单左 R-模是平坦的.众所周知,Von Neumann 正则环是SF-环,但 SF-环是否是正则环的问题至今仍是公开的.本文研究左 SF-环是正则环的条件,证明了,如果下列之一成立,那么左 SF-环是正则的:(1)循环模的每个极大子模是平坦的;(2)不可分解的商环是左 quasi-duo;(3)极大左理想的左零化子是本质的;(4)满足主左理想的升链条件.     

幂零元生成的子代数是幂零吗?

零代数在什么条件下是幂零的?这是一个重要问题。类似地,我们提出另一问题,对于幂零元生成的子代数在什么条件下是幂零的?一个幂零元生成的子代数显然是幂零的,两个幂零元生成的子代数一般不是诣零的。本文得到一个肯定结果: