A note on gravity waves in a viscous liquid with surface tension

Summary The linear theory by Reid [1] on gravity waves in a viscous liquid with surface tension is extended. Asymptotic formulae for the dispersion relation are derived. A critical Morton number equal to 0.044789 is found. Only in liquids with smaller Morton numbers, travelling ripples may exist with group velocity exceeding phase velocity.

---

Zusammenfassung Reid's lineare Theorie über Gravitationswellen in einer viskosen Flüssigkeit mit Oberflächenspannung wird erweitert. Abgeleitet werden asymptotische Formeln für das Verteilungsverhältnis und eine kritische Morton-Zahl gleich 0.044789 wird gefunden. Nur in Flüssigkeiten mit geringeren Morton-Zahlen existieren wandernde kleine Wellen mit einer Gruppengeschwindigkeit, die die Phasengeschwindigkeit überschreitet.

     

Numerische Lösung eines ebenen Kavitationsproblems

Zusammenfassung Die Bewegung einer zylinderförmigen Gasblase, die durch Schwerkraft und Oberflächenspannung verursacht wird, ist mit einer exakt nichtlinearen mathematischen Methode berechnet worden.

---

Summary The movement of a cylindrical bubble, which is caused by gravity and surface tension, has been computed by an exact nonlinear mathematical method.

     

Surface tension of water droplets at the critical radius

Zusammenfassung In die Theorie der homogenen Keimbildung wird für die Oberflächenspannung kleiner Tröpfchen eine vonTolman vorgeschlagene Korrektur eingeführt, die kleinere kritische Keimradien ergibt. Diese Verkleinerung ist zwar abhängig von Temperatur und Übersättigung, jedoch praktisch konstant oberhalb vierfacher Übersättigung. Die hier berechneten Werte kritischer Keimradien, der Molekülzahlen pro kritischen Keim, der Anzahl kritischer Keime sowie der Keimbildungsrate mit und ohne Korrektur sind in den Tabellen 1 und 2 dargestellt; Keimzahl und Keimbildungsrate sind zudem in Figur 1 für die Temperatur 283,2° K graphisch dargestellt. Um Vergleiche mit den Ergebnissen von Wolkenkammer-Versuchen anstellen zu können, wird der «Schwellenwert der Kondensation» neu definiert unter Einschluss des Korrekturterms; die so erhaltenen Werte sind in Tabelle 3 aufgeführt. Die Übereinstimmung mit dem Experiment ist besser als im Fall, in dem lediglich die Oberflächenspannung der ebenen Oberfläche in Rechnung gesetzt wird.

---

---

This research was supported by Grant G-22292 (Cloud Physics Research) from the National Science Foundation.     

Reciprocity principles associated with the general linear gravity wave problem

Summary Reziprocity principles are presented which hold for the general problem of small amplitude wave motion on the surface of an incompressible liquid. The effects of viscosity, surface tension, irrotationality, free surface sources and solid boundary geometry at liquid-solid intersections are discussed.

---

Zusammenfassung Reziprozitätsprinzipien, die für das allgemeine Problem der Wellenbewegung mit kleinen Amplituden auf der Oberfläche einer inkompressiblem Flüssigkeit gelten, werden angegeben. Die Einflüsse von Viskosität, Oberflächenspannung, Wirbelfreiheit, Quellen an der freien Oberfläche un die Geometrie fester Ränder bei flüssig-festen Übergängen werden diskutiert.

     

Thermal stresses in an elastic sphere containing a penny-shaped crack

Zusammenfassung Es wird der Spannungszustand in einer elastischen Kugel untersucht, die im Zentrum einen münzenförmigen Riss mit konstanter Oberflächentemperatur besitzt, während die sphärische Oberfläche auf der Temperatur null gehalten wird. Dabei wird angenommen, dass an der Oberfläche a) die Schubspannung und die radiale Verschiebung, b) die Normalspannung und die Schubspannung null sind.

---

---

This work was supported by a C.S.I.R. grant No. 3(277)/69-GAU-II.     

A generalized stefan condition

Summary In this paper we apply the theory of surface thermodynamics to find the jump condition on heat flux across a melting-surface. We distinguish between the effects of surface tension and of surface energy and describe relations between the two which may ensure enhancement or diminution of the curvature of the surface.

---

Zussamenfassung In dieser Arbeit wenden wir die Theorie der Oberflächen-Thermodynamik auf die Bestimmung der Sprungbedingung für den Wärmefluss an einer Schmelzfläche an. Wir trennen die Oberflächenspannungs-Effekte von den Oberflächenenergie-Effekten und beschreiben Beziehungen zwischen den beiden, die eine Vergrösserung oder Verkleinerung der Oberflächenkrümmung bedingen können.

     

Load-displacement relations for elastic bodies

Zusammenfassung Es wird gezeigt, dass bei statischen Eigenwertproblemen der infinitesimalen Elastizitätstheorie die an einem Teil der Oberfläche, an welchem die Verschiebungen vorgeschrieben sind, angreifende Dyname in den vorgeschriebenen Grössen ausgedrückt werden kann. Das Verfahren verlangt die Kenntnis der Oberflächenverschiebungen und Oberflächenspannungen unter gewissen behelfsmässig definierten Gleichgewichtszuständen. Es wird auf einen Zylinder mit vorgeschriebenen Endverschiebungen und auf den Halbraum unter einem reibungsfreien starren Stempel angewandt.     

Some properties associated with a class of gravity wave problems

Summary Variational and reciprocity principles are established together with a uniqueness theorem for a class of transient two dimensional gravity wave problems which includes the effects of viscosity, surface tension and inhomogeneity.

---

Zusammenfassung Für eine Klasse von Übergangsproblemen für zweidimensionale Schwerewellen, welche die Effekte von Viskosität, Oberflächenspannung und Inhomogenität einschließen, werden Variationsund Reziprozitätsprinzipien zusammen mit einem Eindeutigkeitssatz aufgestellt.

     

Approximate solution of boundary layer problems with injection or suction

Zusammenfassung Der grundlegende linearisierte Ansatz zur Näherungslösung von Grenzschichtproblemen wird auf neue Anwendungen erweitert, um die Behandlung von Problemen mit Massenaustausch durch die Oberfläche zu ermöglichen und die Beschränkung auf die Prandtl-Zahl 1 zu mildern. Das klassische Problem der konstanten, d. h. nicht ähnlichen Geschwindigkeitsverteilung an der Oberfläche wird behandelt, und die Ergebnisse werden mit der exakten numerischen Lösung verglichen. Es ergibt sich eine ausgezeichnete Übereinstimmung. Sodann wird eine Lösung des schwierigen und praktisch wichtigen Problems einer Stufenfunktion für die Oberflächengeschwindigkeit gegeben. Die freie Konvektion über einer vertikalen Platte mit konstanter Temperatur und Oberflächengeschwindigkeit wird erstmalig gelöst. Schliesslich wird das der Schlitzeinspritzung entsprechende Anfangswertproblem unter Milderung der bisherigen AnnahmeP _r =1 behandelt.

---

---

This work was supported by the National Science Foundation, Grant No. GK-310,     

On the development of packets of surface gravity waves moving over an uneven bottom

A nonlinear Schrödinger equation with varying coefficients describing the evolution of onedimensional packets of surface gravity waves moving over an uneven bottom is derived in the paper and the disintegration of both an envelope soliton and an envelope-hole soliton as they propagate onto a shelf is studied.

---

Zusammenfassung Eine nichtlineare Schrödinger Differentialgleichung mit veränderlichen Koeffizienten wird aufgestellt, welche die Entwicklung eindimensionaler Pakete von Oberflächenwellen beschreibt, die sich über einen unebenen Boden bewegen. Das Problem der Spaltung an der Schwelle wird für eine umhüllende solitäre Welle und eine konkave umhüllende solitäre Welle untersucht.

     

The Diffraction of an obliquely incident surface wave by a submerged plane barrier

Zusammenfassung Das Problem der Beugung einer Oberflächenwelle, die schief auf ein völlig versenktes, ebenes Hindernis stösst, wobei das ebene Hindernis senkrecht zur ruhenden Oberfläche steht, wird auf die Lösung der Helmholtz-Gleichung reduziert. Die Lösung wird nach dem Wiener-Hopf-Verfahren durchgeführt und ergibt die Reflexionsbeiwerte.     

Heat conduction with nonlinear boundary condition

The paper is concerned with determination of the solution of the one-dimensional heat equation in a semi-infinite region subject to a nonlinear boundary condition at the surface. The exact solution is obtained and is expressed in infinite series. It is shown that the series is absolutely and uniformly convergent. Two special cases of Newton's cooling and of Stefan-Boltzmann's radiation at the boundary are discussed.

---

Zusammenfassung Diese Arbeit befaßt sich mit der Lösung der Gleichung der eindimensionalen Wärmeleitung in einem Halbraum mit nicht-linearen Randbedingungen an der Oberfläche. Es wird eine genaue Lösung gefunden, die die Form einer unendlichen Reihe besitzt. Es wird gezeigt, daß die Reihe absolut und gleichmäßig konvergiert. Als zwei Spezialfälle werden Newton-Kühlung und Stefan-Boltzmann-Strahlung behandelt.

     

Laminar-film condensation on a flat plate in the absence of a body force

Zusammenfassung Die laminare Strömung von gesättigtem Dampf über eine gekühlte ebene Fläche wird untersucht für den Fall der Kondensation eines Films an der Oberfläche. Es wird angenommen, dass keine Gravitationskraft vorliegt und dass die Bewegung des Kondensats lediglich durch die Reibung am strömenden Dampf hervorgerufen wird. Ergebnisse für die Scherkraft und die Wärmeübertragung an der Oberfläche werden mitgeteilt. Die wesentlichen Rechenergebnisse konnten in zwei Diagrammen zusammengefasst werden: Figur 2 gibt die zu erwartenden Schubspannungen wieder, Figur 3 den Wärmeübergang.     

Shape of the surface of a rotating electrically conducting liquid

Zusammenfassung Es wird die Strömung einer elektrisch leitenden Flüssigkeit in einem um seine Achse rotierenden vertikalen Kreiszylinder in einem Magnetfeld untersucht. Die Form der Oberfläche der Flüssigkeit wird unter dem Einfluss eines axialen sowie auch eines radialen Magnetfeldes diskutiert.Die freie Oberfläche, die beim Fehlen eines magnetischen Feldes ein Rotationsparaboloid ist, wird beim Anwachsen des Feldes immer mehr verzerrt und abgeflacht. Qualitativ haben beide Felder dieselbe Auswirkung, aber quantitativ ist der Einfluss des radialen Feldes grösser.     

Time-dependent radiative transfer in a semi-infinite medium with a reflecting boundary

An exact solution for the intensity due to a pulse radiation on the free surface of a semiinfinite medium with a known surface reflectivity is obtained via the multiple collision method. The time-dependent scalar intensity at the free surface is evaluated for several reflectivities and albedos using the corresponding steady state solution.

---

Zusammenfassung Die exakte Lösung für die von einem Strahlungspuls erzeugte Intensität auf der freien Oberfläche eines halb-unendlichen Mediums mit bekannter Oberflächen-Reflektivität wird bestimmt mit Hilfe der Methode der mehrfachen Zusammenstöße. Die zeitabhängige skalare Intensität auf der freien Oberfläche wurde berechnet für verschiedene Reflektivitäten und Albedos, mit Benützung der entsprechenden stationären Lösung.

---

---

Consiglio Nazionale Delle Ricerche (CNR) Visiting Professor at the University of Bologna.     

Flow past a stretching plate

Zusammenfassung Eine Platte aus plastischem Material fliesst aus einem Spalt mit einer Geschwindigkeit, die proportional zum Abstand vom Spalt ist. Eine exakte Lösung der Grenzschichtgleichungen für die von der Platte erzeugte Luftbewegung wird gegeben. Oberflächenreibung und Wärmeleitungskoeffizient werden berechnet.     

A note on the effect of submerged obstacles on water waves in a channel

Summary By combining the results due to Jeffrey and Mvungi [1], with the work of Jeffrey and Saw Tin [2, 3], the transmission and reflection properties of an acceleration wave propagating on the surface of water at rest in a vertical walled channel of arbitrary continuously varying width and piecewise continuously varying depth are determined. An explicit expression derived for the amplitude of the transmitted wave as a function of position by Jeffrey and Mvungi is used to find the effect of a discontinuous change of depth on the wave amplitude and to derive a criterion for the breaking of the wave.

---

Zusammenfassung Durch Kombination der Resultate von Jeffrey und Mvungi [1] mit denen von Jeffrey and Saw Tin [2, 3] wird die Transmission und die Reflexion einer Beschleunigungswelle an der Oberfläche von ruhendem Wasser berechnet, in einem Kanal mit vertikalen Wänden, dessen Weite beliebig kontinuierlich und dessen Tiefe abschnittsweise kontinuierlich variiert. Ein expliziter Ausdruck für die Amplitude der durchgelassenen Welle in Funktion der Lage nach Jeffrey und Mvungi wird dazu benützt, um den Effekt einer Diskontinuität in der Tiefe zu finden und ein Kriterium für das Brechen der Welle herzuleiten.

     

A note on non-uniqueness in linear elasticity theory

Zusammenfassung Es wird mit Hilfe von Gegenbeispielen gezeigt, dass die Annahme eines stark elliptischen Tensors der Elastizitätsmoduln für Spannungsaufgaben und gemischte Probleme der linearen Elastizität und sogar für das Verschiebungsproblem im Fall eines inhomogenen Körpers keine Eindeutigkeit garantiert. Für den Spezialfall eines isotropen Materials mit verschwindender Kompressibilität wird ein Ausdruck für die allgemeinste (nicht-eindeutige) Lösung des Spannungsproblems bei verschwindenden Oberflächenspannungen gegeben.     

Stresses in a transversely isotropic elastic cone under an asymmetric force at its vertex

Zusammenfassung Behandelt wird das Problem eines transversal isotropischen Körpers, der durch zwei konzentrische Kegelflächen begrenzt ist und durch eine asymmetrische Kraft an der Spitze belastet wird. Geschlossene Ausdrücke werden gegeben für den Spannungszustand und die Verformung. Ein interessanter Spezialfall ist das Cerruti-Problem, wo eine konzentrierte Kraft tangential an der Oberfläche eines elastischen Halbraumes wirkt. Die Lösung ist exakt im Rahmen der linearen Elastizitätstheorie.     

General axisymmetric solution of the creeping motion equations in the presence of free surfaces and gravitational forces

The Navier Stokes equations for slow motion of an incompressible viscous flow in an axisymmetric tube under gravity are solved in terms of a pair of potential functions. Their gauge transformations and scaling properties are discussed and the velocity field of a fluid with a free upper surface at constant position is calculated from tube geometry and the outlet pressure. For numerical solution a polynomial approximation is given which is stable against the uncertainties of the boundary conditions as is demonstrated for a simple example.

---

Zusammenfassung Die linearisierten Navier-Stokes Gleichungen für eine imkompressible zähe Flüssigkeit im Schwerefeld werden für den axialsymmetrischen Fall mit Hilfe zweier Potentialfunktionen gelöst. Ihre Eichtransformationen und Skalierungseigenschaften werden angegeben. Die Lösung wird dazu benutzt um das Geschwindigkeitsfeld einer Flüssigkeit mit ortsfester freier Oberfläche in einem axialsymmetrischen Gefäß aus der Geometrie und dem Auslaßdruck zu berechnen. Zur numerischen Lösung wird eine polynomiale Näherung angegeben. An einem Beispiel wird gezeigt, daß die Methode gegen die Unsicherheiten der Randbedingungen stabil ist.