极点极线视角下的圆锥曲线试题

<正>高考数学试题许多都具有高等数学的背景,通常是高等数学中某些命题或结论的特殊情形.其中,高等几何中的调和点列、极点与极线就是圆锥曲线试题命制的一个主要来源.若同学们能知晓其中原理,便可打通答案的捷径.下面我们一起通过归纳高等几何中的一些结论,以2020年高考理科数学全国一卷20题为例,对圆锥曲线的相关性质和推论进行证明,进一步基于极点、极线视角来研究近年高考圆锥曲线试题.     

圆锥曲线的极点、极线及其应用

所谓圆锥曲线的极点极线就是:已知圆锥曲线Γ:Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0,则称点P(x0,y0)和直线l:Ax0x+Cy0y+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0是该圆锥曲线的一对极点和极线.这一概念性质深深地隐含在高中数学教材中,并多次在高考试题中直接或间接地表现出来.1极点、极线和该圆锥曲线的位置关系极点、极线和该圆锥曲线反映的是平面上的点、     

极点极线背景下的高考试题

极点极线是高等几何中的概念,在二次曲线理论中十分重要,二次曲线的大部分重要性质均与之有关．在近几年的高考中,许多省市在极点极线背景下设计出了新颖的试题,考查学生对数学知识内涵的理解．本文中的二次曲线均指非退化的曲线．     

射影几何背景下的解析几何——以2022全国高考乙卷的解析几何试题为例

随着2022年高考的落幕,基于浙江高考于明年将进入全国卷的范围中,本文对2022年全国乙卷的解析几何试题进行推广,同时借助射影几何中极点极线,调和点列相关性质对试题作了变式及方法迁移.     

一道奥数题的新证及推广

在几何中证明三点共线,基本思路是先由两点确定一条直线,然后证明第三点具有直线上点的性质,从而第三点也在直线上.在圆锥曲线中证明三点共线,那条定直线一般都是极线.关于极点和极线,有以下的定理:定理1在给定配极变换下,ξ为点x的极线的充要条件是x是直线ξ的极点.定理2(配极原理)如果点x的极线通过点y,则点y的极线必通过点x.定理3二次曲线的内接完全四点形的对角三角形是曲线的自极三点形.关于二次曲线,可以有:定理4[2]点不在二次曲线上,若存在两条切线,则两切点的连线就是该点的极线;若不     

对一道三点共线模考试题的探究

将一道三点共线模考试题推广到一般椭圆和双曲线、抛物线中,经过探究得到圆锥曲线的一个与极点、极线有关的统一性质.     

与圆锥曲线极点和极线有关的一个等角定理

文[1]提到了圆锥曲线的极点和极线,文[2]研究了与圆锥曲线极点和极线有关的几个性质,笔者受此启发,在解题中发现了一个与圆锥曲线极点和极线有关的一个等角性质,现叙述如下．     

貌似差异质不同 实乃同根并蒂莲

通过对2020年全国高考数学Ⅰ卷理科20题和北京卷20题的探究,发现两道试题同根同源.实乃逆向考查,蕴涵着极点与极线的相关性质,并将它们拓展到椭圆的一般情形及其他圆锥曲线.     

二次曲线中极点与极线性质的初等证法

<正>一、问题提出大约自2010年起,在全国各地高考与模考的解析几何试题中,许多题目都蕴含高等几何中"极点与极线"背景.从研究角度讲,这类问题的解决将涉及下面的背景问题:如图1,点P(x₀,y₀)不在二次曲线Γ:F(x,y)=0上,其中F(x,y)=ax²+&b;y+cy²+dx+ey+f.经过点P的两条直线分别交曲线Γ于点A,B,     

点和它的对偶直线在解题中的妙用

<正>1问题的提出极点极线(特殊的点和直线的对偶关系)是高等几何的概念,二次曲线的好多性质都与它有关,许多考题的设计也都来源于此,虽然以前也有好多论述,但好多师生并不熟悉,本文再次加以总结,希望对读者有所帮助.文[1]论证了圆锥曲线内的点和它的对偶直线的存在性和对应关系,得到了关于对偶点     

二次曲线的极线

“极点”和“极线”原是射影几何学中的概念 ,本文旨在概略地介绍它们的一些初步性质及在平面解析几何中的应用 .我们知道 ,在射影几何里 ,常把直线 p: 1- 3i,j aijpixj=0称为点 P( p1,p2 ,p3)关于二阶曲线S: 1- 3i,j aijxixj=0的极线 ,点 P被称为直线 p关于二阶曲线 S的极点 .在这样的定义下 ,每个不在二阶曲线上的点总有极线 .回到解析几何 ,设 S:Ax2 2 Bxy Cy2 2 Dx 2 Ey F=0为常态二次曲线 ,P( x0 ,y0 )为不在S上的点 (有心二次曲线的中心也除外 ,下同 ) .点P关于 S的极线就可定义为直线 p:Ax0 x B( x0 y y0 x) Cy0 y…     

与圆锥曲线极点和极线有关的几个性质

文[1]提到了圆锥曲线的极点和极线,文[2]研究了圆锥曲线极线上任一点的一个有趣性质,笔者受此启发,经过研究,发现了几个与圆锥曲线的极点和极线有关的性质,并根据这些性质的推论可得到用尺规法作过圆锥曲线上一点的切线的一种方法,现叙述如下,供同行参考．     

点的极径在圆锥曲线中的运用──从一道高考题谈起

点的极径在圆锥曲线中的运用──从一道高考题谈起梁克强（湖北京山一中）１９９１年高考数学试题中，有这样一道选择题：例１如果圆锥曲线的极坐标方程为ｐ分析：圆锥曲线统一的极坐标方程，是建立在以一个焦点为极点的极坐标系中，因此有一个焦点就是极点（０，０），可...     

一类二元最值问题的极坐标解法

我们知道,以直角坐标系中的坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.那么,点P的直角坐标(x,y)与它的极坐标(ρ,θ)之间有一组互化公式x=ρcosθ,y=ρsinθ(ρ≠0,θ∈R).利用这一组互化公式我们可以将点的直角坐标化为极坐标,将曲线的直角坐标方程化为极坐标方程,近年来此类问题在新课改区的高考试卷中屡屡出现,其重要性不言而喻.     

立体几何中有关动点轨迹的求解策略

<正>高考中常考查以立体几何体为载体,求有关动点的轨迹问题.它体现了在解析几何与立体几何的知识交汇处设计命题,不仅能考查立体几何中点、线、面之间的位置关系,又能很好地考查解析几何的基本方法.这类题目因背景新颖、思考方法独特等原因,同学们常常无从下手.下面举例说明此类问题的几种求解策略.一、利用已知平面去截动点形成的几何图形得交线求解例1平面α的斜线AB交α于点B,过定点A的动直线l与AB垂直,且交α于点C,则     

四类对称问题的解法

解析几何第一章内容的对称问题在高考中频频出现.而对称问题由于解法多,同学们难以择其善者而从之,故就显得较难.以下是笔者对对称问题的归类及解法分析. 对称问题大致上有以下四类:点关于点对称;点关于线对称;线关于点对称;线关于线对称.     

一道2020年四川省预赛题的推广

<正>一、试题解析题1 (2020年全国高中数学联赛四川赛区预赛9)过点P(0,1)作一直线l,与抛物线y=x²交于A、B不同两点,过点A、B分别作抛物线y=x²的切线,两切线交于点Q,求点Q到直线AB的距离的最小值.题1以抛物线的弦和过弦两端的切线为背景命制,考查解析几何中点、线等基本元素的刻画及几何关系的代数表达,重点考查学生的逻辑推理能力、运算求解能力、综合应用数学知识分析问题和解决问题的能力,具有一定的区分度和选拔功能.类似的问题在2014年全国高中数学联赛和2019年高考全国卷中都有呈现,     

点线角——高考题中不可或缺的元素

点、线、角是平面图形中的支点与基本量,近几年高考中对解析几何中圆锥曲线的考查侧重于用代数的方法解决几何问题．考查的形式常结合中点、角平分线、中垂线、角度等几何量,运用方程思想、向量工具及平面几何性质,综合考查考生的逻辑思维能力、化归能力、运算能力等．     

深度剖析集合中的易错问题

集合是高中数学中的基础内容,也是高考的必考点,考查内容主要涉及集合的概念、元素的性质、元素与集合的关系、集合与集合的关系,以及集合的运算等.与集合有关的题目存在不少易错点,本文对易错问题进行归类.     

立体图中点线面的计数问题

在近几年的高考试题中出现了以立体几何中的点、线、面的位置关系为背景的排列、组合、概率问题．这类问题情景新颖,多个知识点交汇在一起,综合性强,能力要求高,往往作为高考选择填空题的压轴题．