一個循環公式和它的應用

下面介紹一個從简單的幾何圖形討論推出的循環公式,並應用於三角圖中n角和的公式及一些代數恒等式的證明。     

秦九韶三斜求积公式和海伦公式

我国宋代数学家秦九韶,字道古,自称鲁郡人,其实他本人生于四川。其生卒年代大约是公元1202——1261年。他所发明的“三斜求积术”,实际上是由已知三角形的三条边求其面积的方法。此术见于秦九韶所著《数书九章》第五卷第二题:     

秦九韶三斜求积公式及其应用

当已知三角形的三边,求面积时,常用公式△=(s(s-a)(s-b)(s-c))~(1/2)来算,但也有不便之处.例如,“在△ABC中,已知a=(41)~(1/2),b=(34)~(1/2),c=5求面积”用这个公式来算,就殊感困难. 我国南宋时的大数学家秦九韶著有《数书九章》一书(1247年).在该书的第五卷中,     

秦九韶“三斜求积”公式的来历

南宋的秦九韶(1202—1261)是一位数学大家,有著作《数书九章》(1247)传世.“三斜求积”是该书中的一题.这个“三斜求积”术是怎样发明的,他在该题中没有说明;但从书中“斜荡求积”题的解题过程中,可以知道“三斜求积”术的来历.如图,设h为a边上的高,则三角形的面积S=1/2ah.     

表大偶數為一個不超過三個素數的乘積及一個不超過四個素數的乘積之和

<正> V.Brun最初在1920年證明了:每一充分大的偶數可表為兩個各不超過9個素數的乘積之和.簡記之為(9,9).後來,不少數學家改進與簡化了Brun方法,因此,Brun的結果也得到相應的改進,     

用三面角公式求二面角大小

先介绍三面角公式：如图1,设O-ABC为一个三面角,∠AOB＝α,∠AOC＝β,∠BOC＝γ,二面角B-OA—C的大小为θ,则有cosθ=（cosγ-cos αcosβ）/sin αsinβ。     

組合算法中的一對互逆公式及其應用

在這裹我們來介紹一對異常簡單的互逆公式(或稱反轉公式),就其性質來講,甚至此初等數論中的(?)公式還要简單些。公式的證明亦只用到初等代數裏的一些组合算法的知識。 設f(k),g(k)都代表任意的函數,其中的變數k只取非負整數值:k=0,1,2,3,…。又以(n/k)表示二項展開式的係數,當k>n時,共值規定為零,我們所要介紹的互逆公式便是:     

一個多元函數的內插公式

本文介绍一个新型多元函数结构.它在一定条件下: 1)可根据一定的已知数值决定函数的其他近似值, 2)可作为构成经验公式的骨架.     

在閉共形黎曼面的一個基本位函數及其應用

<正> 在目下的二維位函數理論裹,通常是將複平面既看作是開流形,同時又看作是閉流形。就這樣參用兩種看法,使得處理問題時可以簡單些,但它的內容似乎未能深入。例如,基本位函數取的是對數函數,表示它的時候忽略了無窮遠點的座標;也就因為這個綠因二維的理論,可以逕直推廣到三維去。一方面,處理在     

用BASIC程序实现求高次方程实根的斯特姆秦九韶方法

读过《数学通报》1986年第6期登载的《利用微型机求高次方程实数解》一文后,觉得文中所述方法虽易懂,但不大适合于程序使用。因为程序运行时间要由高次方程的次数来决定,求导层太次多,不仅费时,而且影响计算精度。 我们在老师的帮助下,根据斯特姆—秦九韶方法,编制成了求高次方程实根的程序。下面简单介绍一下这个程序及其原理。     

三倍角公式一用

平面三角中三倍角公式是 sin3α=3sinα-4sin~3α。 cos3α=4cos~3α-3cosα。三倍角公式应用较广,它可以解决一些证明、求值、三角方程、应用题等问题。三倍角公式可以变化成如下形式: sin3α=4sinαsin(60°-α)sin(60°+α) 〈S〉 cos3α=4cosαcos(60°-α)cos(60°+α) 〈C〉 tg3α=tgα·tg(60°-α)tg(60°+α) 〈T〉证明:sin3α=3sin-4sin~3α=4sinα(3/4-sin~2α)=4sinα(sin60°-sina)(sin60°+sinα)=4sinαsin(60°-α)sin(60°+α)。     

談一個求極限的問題

<正> 中國科學二卷四期有華羅庚先生的一篇文章,題為“一個求極限的問題”,其結果如下: 命ω(u)為u的實變函數,當u≥1時其定義如次:     

用公式法求二面角的平面角

１　问题的提出大家知道,当一个三面角的三个面角都固定时,则它们任意两个面的平面角的大小也就确定;它们之间一定存在着某种必然的内在联系;事实上,我们有如下的定理;图１ＢαＣ２θ１θＯＡ定理　设Ｏ－ＡＢＣ为一个三面角,∠ＡＯＢ＝φ,∠ＡＯＣ＝θ１,∠ＢＯＣ＝θ２,二面角Ａ－ＯＣ－Ｂ的平面角为α,则有ｃｏｓφ＝ｃｏｓθ１ｃｏｓθ２＋ｓｉｎθ１ｓｉｎθ２ｃｏｓα;略证：如图１,ＡＣ⊥ＯＣ,ＢＣ⊥ＯＣ,则∠ＡＣＢ＝α;令ＯＡ＝ａ,ＯＢ＝ｂ;在Ｒｔ△ＡＣＯ中,ＡＣ＝ａｓｉｎθ１,ＯＣ＝ａｃｏｓθ１;同理,Ｂ…     

“三斜求积”公式的一种新证法

本文另辟蹊径,利用勾股定理的空间推广形式给出“三斜求积”公式的一种新颖的证法．     

幾個公式和序列的作图

這篇文章所給出的材料可以作爲中學數學小組的作業,在這篇文章裹總共給出了24個問題。問题1.試用兩脚張開的距離等於a的圓规和直尺作線段a/2,a/3,…,a/n。我們作半徑爲a的圆周並且在這個圓周上從任意一點A_1起截取兩點A_2和A_3:A_1A_2=a和A_2A_3=a,再作直線A_1OA_4,A_2OA_5及A_3OA_6。點A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_6,是一個正六角形     

應用正二次微分形式的理論於映照半徑之乘積

<正> §1.設G是z平面上的一個區域,a_1,a_2,…,a_n是G中的n個不同的有限點.G_1,…,G_n是G中的一組不相重叠的單連區域,a_ν∈G_ν(ν=1,2,…,n).又設x_1,x_2,…,x_n是一組正數.設R(a_ν,G_ν)是區域G_ν在a_ν的映照半徑,則R(a_ν,G_ν)≤≤4|a_ν—a_ν′|,(ν’≠ν).因此,當n>1時G_1,G_2,…,G_n儘管變動,     

用乘法公式求勾股数组

初二《几何》教材中规定:能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数(或勾股弦数).换句话说,若正整数a、b、c具有关系a2+b2=c2,我们就称(a,b,c)为一组勾股数.在勾股数组(a,b,c)的三个数中,已知其中二个求剩余的一个,利用勾股定理可很快求出(知二求一);若只知三数中的一个,求出另两个则较为困难(知一求二).知一求二的方法很多,本文利用乘法公式介绍一种简单而又易于操作的方法,供学习与参考.     

斜截三棱柱的一个体积公式

用与底面不平行的平面去截三棱柱,截面与底面间的几何体,称之为斜截三棱柱.如图1的斜截三棱柱记作斜截三棱柱ＥＦＡＢＣＤ,并约定平面ＡＢＣＤ为底面,ＥＦ到底面ＡＢＣＤ的距离为高.引理　设三棱柱的一个侧面面积为Ｓ,与相对侧棱之间的距离为ｈ,则三棱柱的体积为Ｖ=12Ｓ·ｈ.该引理的证明见文[1],从略.定理　设斜截三棱柱ＥＦＡＢＣＤ中,ＥＦＡＢ=λ,ＤＣＡＢ=ｍ,底面ＡＢＣＤ的面积为Ｓ,ＥＦ与面ＡＢＣＤ的距离为ｈ(如图2),则斜截三棱柱的体积为Ｖ=图2　定理图ｍ λ 13(ｍ 1)Ｓ·ｈ.证　如图2,过Ｆ作面ＦＭＮ∥面ＡＤＥ,由引理知ＶＡＤＥＭ…     

秦九韶—海伦公式的两种新证

设△ABC三边长度BC=a,CA=b,AB=c,面积为△,并记s=1/2(a b c),则△=s(s-a)(s-b)(s-c)/~(1/2) (1)式就是众所周知的秦九韶—海伦公式.至于秦九韶一海伦公式的证明已有种种,这里再给出两种证法.其证法1,回避了一般考参书上所用的三角方法,连初二同学都能看懂的代数证法.其证法2乃是一种构思独特的解析证法. 证法1:如图所示,设∠B,∠C为锐角,作BC边上的高     

表大偶數為一個素數及一個不超過四個素數的乘積之和——廣義Riemann猜測下之結果

<正> 引言 本文之目的是在證明作者在[1]內所提及的若干結果,本文所有的結果,均在廣義的Riemann猜測之下,而獲得的. 現在,先將廣義的Riemann猜測述於下: