一個作圖題的另外解法

本通報1953年1-2月號發表的“東北敬部編譯「平面幾何」中的三個作圖題”一文中第一題“求作一圓,切於已知角的一邊上的已知點,而於另一邊上截取一弦等於已知綫段”,現有文成宜和王麗庭兩位同志提出另外的解法,但兩位同志的解法賞大致相類,為省篇幅,我們經過改寫合併發表於下。 設P是已知角XOY的OX邊上的一個已知點,l為已知綫段,假定所求圓已經作出,它切OX於P點,截OY得AB弦,有AB=l(這裹AB與OY同向)。今將P點依OY的方向平移至Q點,使PQ=l,於是PQBA為平行四邊形;再以直綫OY為軸將Q點反射得Q′點,則有     

“勾股容圓”問題的解法

“設直角三角形的勾为a,股为b,弦为c,使切圓的直徑为d,求証:d=(2ab)/(a+b+c)是我国有名的勾股容圓問题,記載在“九章算术”内。这个問題的解法很多,一般用延長斜边c或一条直角边(a或b),使之等于此直角三角形三边之和;然后用相似三角形來解。現在我提出另一种解法:因为od为此直角形的內切圓,所以斜边c和內切圓直徑d之和一定等于二直角边a与b之和;用代数的恒等变形和勾股定理即可解出如下:     

圆锥曲线中定点分弦所得两线段乘积的最值问题

本文记录的是作者在一次数学兴趣活动中的内容．在这次活动中从国的相交弦定理出发，利用特殊化、一般化、类比等手段，广泛联想，探求一般圆锥曲线的弦被定点所分两线段乘积的最值问题，收到了良好的效果．现整理如下．1问题的提出设点P是op内任一定点，AB是op的过点P的任一弦．平面几何告诉我们：弦AB被点P所分两线段的乘积不随弦AB的变化而变化，即PAlPBI为定值．这就是所谓相交弦定理．回可以看成是椭圆的特殊情形，（利用特殊与一般的关系提出问题）那么一般地，在椭圆中弦AB被椭圆内定点P所分两线段的乘积PAPB还是定值吗？显…     

約当定理的初等証明

1.和通常一样,在这里所謂封閉的約当曲綫是指圓周的拓扑映象,所謂簡单弧是指綫段的拓扑映象。 約当定理。一平面封閉的約当曲綫将平面分成两个区域,而它自己就是这两个区域的公共边界。下面将敍述此定理的一个初等証明,这个証明是建立在从約当曲綫的定义所推出的几个性貭之上的。同时也将敍述一个与它有关的定理的証明: 在平面上的一段簡单弧不能把平面分开。 1.1 記号。以下我們都这样假定,如果給定了一簡单弧,那末也就給定了一个从綫段到它上面的,而且是完全确定的拓扑映象。因此在弧上也就确定了点的順序关系如下:設X与Y为簡单弧上的二点,X′与Y′是綫段上与之相对应的二点,要是X′相似文献   

数学教学中的实驗、直觉与邏輯

§ 1 在黑板上画一个半径为15cm的圆,过离圆心10cm的一点作一条直綫。显然,这条直綫交圓于两个点。这一知識是由实驗方法得到的。 設想在平面上画一个半径为15,000,000公里的圆,过离圓心10,000,000公里的一点作一条直綫。当然,你們会說,这条直綫也是与圆相交于两个点。你們并沒有看見这个圆,这条直綫也沒有真正作出来,你們这个信念的根据是什么呢?不可能实际地証实这样的直綫与圆相交。即使要証明这个定理也并非易事,而在中学阶段是不可能証明的。你們这个信念是一定的經驗与直觉所给与的。中学数学課不是、也不可能是具有严密邏輯系统的課程。許多数学事实是由实驗方法得到的,而只有一部分才經过了邏輯证明。为了改进数学教学,必須正确地理解在学生获得知識的过程中,实驗、直觉与邏輯的相互关系的意义。     

圓內接五角星的一种作圖法

圓內接五角星的作圖題应用很廣,我們的國旗就是其中的一例,怎样用圓規直尺作已知圓(假定已給圆心O及半徑r)的內接五角星,一般的中学幾何教本裹都講的,而且大都採取如下步驟:將半徑r作中外比分割,証明割下的大段 ((5~(1/2)-1)/2)r (1)是圓內接正十边形的一边長,利用这个長將圓周十等分,再自任一分點開始,順序每隔三个分點作弦,即可得出所求的五角星。有人对这个作法的道理,觉得不易領会,这裹試給出另一种作法,或許对一些同志們有點帮助。这个作法係根据下面的定理: “圓內接正五边形的一边、正十边形的一边和該圓的半徑作成一直角三角形,首者是弦,次者是勾     

一种有趣的作圖

遇到这种情况怎么办? 假如你將来是一个测量工作者,你可能碰到这样的情形的:有兩条直綫a,b,兩者相交于A。作∠A的平分綫。但A点处于河的另一边,不可到达(圖1),这时你怎样作这个角的平分綫呢?     

初中代数上册“習題四”中的两个近似公式

我們新編初級中学課本代数上册“習題四”中有下面兩个題目: 第9題:如果桶腰(圖1)的直徑是D厘米,兩个底的直徑都是d厘米,高是h厘米,那末桶的体积的近似值是: V=π/4(2D+d/3)~2h(立方厘米),这里π≈3.14。如果桶腰的直徑是90厘米,兩个底的直徑都是60厘米,高是110厘米,求它的体积的近似值。第10題:要近似地計算干草堆(圖2)的体积,可以用下面的公式:     

关于解析几何教学的几点注意(續)

本文叙述解析几何教学中的几个問題。內容包括:(一)关于常态圓錐曲綫的两个定理;(二)关于圓周方程的一个定理;(三)关于极坐标方程图形的描繪。可作平面解析几何課的教学参考材料。 (一)关于常态圓錐曲綫的两个定理众所周知,实常态圓錐曲綫乃指椭圓、双曲綫、拋物綫和圓(圓可看作椭圆的极端情况)。常見的定义蘊涵在下述命題之中。命题.一个曲綫具有下述三属性之一,則必然具有另二属性。Ⅰ.平面π上具有下述性貭之一的动点的軌迹: (1)到π上的两个定点的距离之和为一个大于此二点間距离的常数; (2)到π上的两个定点的距离之差为一个小于此二点間距离的正常数; (3)到π上的一个定点及一条不通过它的定直綫     

再談圓內接五角星的作法

在已知圓內作內接五角星的方法,据我所知有兩种:一为將圓半徑分成中外比,用其中項將圓十等分,然后从任一分点起每隔三分点連結之,即得所求的五角星形(見吉西略夫著之高中平面几何教科書第二章正多边形和圓)。其二法是根据下面的定理:“圆內接正五边形一边的平方,等于其內接正十边形的一边与該圓半     

空間幾何作圖的基礎

在平面幾何中,所有幾何作圖皆是實際的,也就是說,它們可以利用適當的工具,在平展的圖上得以實現,並且,這些工具本身包含了所對應的幾何圖形:直線(直尺)、圓(圓規)、垂直直線(帶直角的尺)等等作圖的可能性。利用適當工具的幾何作圖可能性的理論基礎,在各種情况下,是被關係於幾何圖形作圖的可作元素類的定義系統所规定。這樣,如果考慮到作為作圖工具的圓規和直尺,那么,這些作圖的形式被下述之定義系統所實观。如下元素是可作的:一 1)在作圖題中的所有已知元素;以及對於平面上的任意點(這些點對於作圖是必要的輔助元素)。 2)直線,如果它是由兩個可作點所確定的。 3)圓,如果它是由可作的半徑和中心所確定的。 4)兩個可作直線的交點。 (定義系統是引自(?)契特維茹痕((?))教授的論文《在中學立體幾何學中,幾     

圆錐曲线(續)

§4.直圆錐面的平截线现在我們研究在第二种定义下直圓錐面平截綫的各种形状。 設有以O为頂,OA为軸,a(0相似文献   

圓錐曲线

本文共分六节,概述圓錐曲縷綜合讲法及代数讲法的要点,并闡明三个定义的等价性。一般书中常見的証明及推导概行略去。最后述及它們的一些应用及共发展略史。 51.直圆錐面的平截綫 設有两条相交直綫。如果固定其中一条并交点,而使另一条在空間围繞这条定綫旋轉,則所产生的曲面叫做直圓錐面。該定点和定綫分別叫做它的頂和轉。当动綫固定在某一位置时叫做它的元綫。由于頂把每条元綫分成两条半綫,故錐面也被頂分成两部分,其中每一部分都叫做半錐面。每一个半錐面上任意半元綫与軸所成的角永远相等叫做半頂角。     

中学平面解析几何課中“直綫”部分的教学

在中学平面解析几何課中,“直线”这部分的具体内容主要包含“直綫的傾斜角和斜率”、“直綫方程的一般形式”、“直綫方程的点斜式、两点式、斜截式、截距式”、“点与直线的位置关系”、“直綫与直綫的位置关系”等五部分。其中直綫的傾斜角和斜率这一部分,有些課本是放在第一章直角坐标系中讲的。在这五部分的教材中,一般常是这样編排的: 1.直綫的傾斜角和斜率; 2.直綫方程的点斜式、斜截式,两点式、截距式; 3.直綫方程的一般形式;     

多边形和多面体的分割相等和拼补相等

一我們先来回忆中学几何里面积一章大致是怎样講的。建立了矩形的面积(此处及以后面积指面积的度量)以后,其他直綫形,如三角形、平行四边形、梯形以及一般簡單的多边形的面积一概用簡單的办法—分割法和拼补法—間接算出,而極限法只用来求曲綫形—圓—的面积。例如,欲求三角形的面积,可以“割”下兩个三角形而拼成一矩形,再来計算。欲求平行     

高一几何第一章复習提綱

第Ⅰ單元线段的度量的复習提綱 (甲) 关于阿基米德公理 1)阿基米德公理的內容是什么? 2)用数学式子怎样將它表出? 3)我們用它解决了什么問題? (乙) 公度 1)什么样的綫段叫做兩条已知綫段的公度? 2)兩条线段如果有公度,它有最小的嗎? 为什么? 3)怎样说明当兩条已知綫段有公度时一定有最大公度,並且还只有一个? 4)当兩条已知綫段有公度时用什么方     

中学平面解析几何课中“直角坐标系”部分的教学

在中学平面解析几何課中,一般都从标题为“直角坐标系”的一章开始,其具体內容主要包含“有向綫段”、“平面直角坐标系”、“两点间的距离”、“綫段的定比分点”、“三角形的面积”等五部分。不言而喻,这一章的教材是这門課的最基础部分,学生只有将这一章学好了,才算是掌握了研究解析几何的最基本的工具,才有可能学好以后的各章教材。但是,如果将上述五部分联系起来,则又不难看出:由于“有向綫段”部分主要的是解决有向綫的概念、直綫上点的坐标、計算有向綫段的数量公式等問題,因此它是“平面直角坐标系”部分的理論基础。而对于“两点间的距离公式”、“綫段的定比分点”、“三角形的面积”这三部分说来,由于它們都是利用有向綫段的数量公式,根据“平面直角坐标系”中的知識来解决的,因     

关于三分角問題的近似作图法問題

目前为止,还有相当多的朋友,虽然已經承认了用圓規直尺去三等分任意一角是不可能的了(其理由詳見[1],[2]及[3]),但是,他們却在致力于三分角的近似作图法的研究。我們在本文中将要指出,用圆規直尺可以作近似的三等分角,其精确的程度为:誤差可达任意小。如此看来,一切制造一个步署來作三分角的近似作图法的研究,是沒有新的創造意义的。希望还在致力于近似作三分角的朋友們不要再因为在已經彻底終結了的这类古典几何作图題上浪費时間和精力。我們的結論是: 定理.对任意給定的角φ,則对于任意的一小角ε>0,一定可以用圓規和直尺作得一角品(?)*,可使滿足 |(?)*-φ/3|<ε,(*) 其中φ,(?)*,ε的讀数是弧度的数值。 証.显然可以不妨假設0<φ<π/2。用圓規和直尺作两条相交的直綫OA和OB,它們相交子O点的夹角∠AOB=φ,再以O为圓心,以半径为1=OA的长作圓交OA及OB于A及B点,A和B連成綫段AB,其长度記作L。由三角学的知識,得     

复数及其在几何中的应用(續)

4.作为平面的定向直綫的对偶数。以下我們将几乎只跟定向直綫打交道,所以常略去“定向”两字。我們把定向直綫a和b間的定向角/{a,b}叫作直綫a和b間的角(参見本刊7月号P.45);把直綫l上的綫段AB的定向长叫作点A和B間的距离,記作{A,B},它是通常的长度加上一个“正”或“負”的符号,这个符号看由A到B的方向是否与     

論一类蛻縮椭圆型方程的Dirichlet問題

<正> 考虑蛻縮椭圓型方程其定义域D位于上半平面(y≥0),边界由一条逐段光滑的連續曲綫σ和蛻型线y=0上的一段AB所組成.在系数a,b,c解析的假設下,証明了:若