由传统题目展开的研究性学习一例

本文以一道传统题目为例 ,给出组织学生进行研究性学习的方法 .已知a,b>0且a+b=1 ,求证 :a+1a b+1b ≥2 54 ,等号当且仅当a=b =12时成立 .我在教学这道题目时 ,没有直接呈现这一传统题型 ,而是分成以下几个层次逐步展开研究性教学 .一、引导学生进行错解剖析 ,培养学生思维的批判性 .　　在教学时首先出示改编的题目 :若a ,b >0 ,且a+b=1 ,求a+1a b+1b 的最小值 .然后请学生求解 ,其中学生常会得出如下解法 :由a ,b>0 ,得a+1a≥ 2 ,b+1b≥ 2 .故a+1a b+1b ≥ 4,于是得a+1a b+1b 的最小值为 4.对这样的解法启发学生探究其真伪性 .学生经过讨…     

黄金比和银比

黄金比是由于计算正五边形边长和优选法为大家熟知 ,它的应用极广 ,并且和菲波那契数列有紧密联系 .类似地还有另一种比 :银比 ,它与黄金比一样有许多有趣的性质 .笔者为帮助学生进行研究性学习的需要 ,提高他们学习数学的兴趣 ,介绍如下一些有趣性质 .1　定义 (黄金比 )定义 1　设矩形两边长为 a、b( a >b) ,切去一个边长为 b的正方形 ,若剩余部分与原矩形相似 ,则 a∶ b称为黄金比 ,记作φ.为求φ,可由等式 a∶ b =b∶ ( a - b) ,解得　φ =1 52 =1 .6 1 8…定义 2　 (银比 )设矩形两边长为 a、b( a >2 b) ,切去二个边长为 b的正方形 ,…     

一题五解

<正>题目已知a,b为非负数,M=a4+b4,a+b=1,求M的最值.这是2006年清华大学自主招生考试中出现的题目.它有两个特征:(1)题目结构精巧,形式简洁清晰,立意新颖;(2)解题入口宽,能很好地考查学生分析问题、解决问题的能力.下面笔者从解题方法的角度进行研究、评析.方法1(对称引参)     

解题反思中培养思维品质

<正>解题反思是对题目条件、解题过程、解题方法、解题结果进行再认识和检验的过程,在学习中如果对解题的条件、解题的方法、问题的本质和规律等方面加以反思,就可提高认知思维水平,优化思维品质.1.反思题目条件,培养思维的严密性例1在锐角△ABC中,a、b、c分别是内角A、B、C所对的边,若C=2B,求c/b的取值范围.     

例谈充要条件在解题中的应用

在高中数学课本中 ,介绍了“充分条件”和“必要条件”的概念 ,教学上往往是局限于能判断给定命题中条件的充分性或必要性 .但笔者认为学习充要条件的概念更重要的意义在于 ,有许多题目本身并未出现“充分条件”和“必要条件”的字样 ,但在解题思考中 ,自觉应用“充分条件”“必要条件”的概念 ,却成为加深理解 ,避免误入歧途的重要保证 .学生在解题思考中经常会因忽视“充分条件”和“必要条件”的应用从而导致错解 .例 1　已知 :2≤ a +b≤ 4 ,1≤ a- b≤2 ,求 4 a - 2 b的范围 .错解由题设条件 2≤ a +b≤ 4 (1)　　　 1≤ a - b≤ 2 (2 …     

一题五解

题目已知a,b为非负数,M=a4＋b4,a＋b=1,求M的最值.这是2006年清华大学自主招生考试中出现的题目.它有两个特征：（1）题目结构精巧,形式简洁清晰,立意新颖;（2）解题入口宽,能很好地考查学生分析问题、解决问题的能力.下面笔者从解题方法的角度进行研究、评析.     

苏教版必修5的一道开放题的教学

苏教版·必修5 P52有这样一道开放题:设△ABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c.1)若a,b,c成等差数列,由此你得到什么结论?2)若a,b,c成等比数列,由此你得到什么结论?这是一道典型的三角形边角关系与数列整合的题目,具有很好的开放性与综合性,如何通过这道开放题的探究性学习来贯通知识间的联系呢?由于这道题涉及必修5中的解三角形知识、数列知识、基本不等式知识,故而将本节课安排在完成必修5所有基础知识的学习后教学.笔者进行了如下的教学设计.为了更好地体现学生主体性地位,笔者组织学生分组讨论,然后交流.生1:若a,b,c成等差数列,那么有2b=a…     

一题多解话“倍分”

题目已知:如图1,△ABC中,∠B=60°,AD、CE为高,求证:DE=1/2AC.几何中结论形式为a=1/2b的题目称为线段的二倍分问题.通常的思路是通过添加辅助线将线段的二倍分问题转化为线段的相等问题.常用方法有:(1)折半法根据图形,适当作出线段c=1/2b,然后证线段c=a;如果直接取线段b的中     

争鸣

问题问题226一道让人纠结的三角作业题寒假结束,我把学生的寒假作业收上来批阅,其中有一道填空题颇让人纠结,题目如下:在△ABC中,b2=a(a+b),cos(A-B)+cosC=1-cos2C,求a+cb的取值范围.学生主要出现以下两种解答:     

四类平均数的几何模型

新教材中关于两个数的算术平均数与几何平均数的几何解释 ,显示了数与形的完美结合 .在新教材数学第二册 (上 )习题 6 2中 ,有这样一个习题 :已知a、b都是正数 ,求证 :21a + 1b≤ab≤ a+b2 ≤ a2 +b22 ,当且仅当a=b时等号成立 .不等式中的四个式子分别称为两个数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数 .此题描述了这四个平均数之间的关系 ,本文再给出它们的几何模型 .数形结合不仅揭示了数学的内在联系 ,给人以美的享受 ,更能开发学生智力 ,培养学生能力 ,发散学生思维 .1　ab≤ a+b2 的几何模型 .　　如图 1 ,以a+b为直径 (记…     

正确结果下的"危机"--"研究性学习"案例一则

“研究性学习”是指学生在教师指导下 ,从学习生活和社会生活中选择并确定研究专题 ,用类似于科学研究的方式 ,主动地获取知识、应用知识、解决问题的学习活动 ;“研究性学习”实质上是指学生要像科学家从事科学研究那样进行学习 ,其本质是对科学研究的模仿和模拟 ,是“像”而不是“就是”科学研究活动[1] .为增强学生的代数推理能力 ,在高考数学复习教学中我选编了如下问题 :已知二次函数 f ( x) =ax2 + bx + 1 ( b是实数 ,a是正数 ) ,设方程 f ( x) =x的两个实根为 x1、x2 .( 1 )如果 x1<2 相似文献   

巧用“不妨设”解题

当题目中的一些元素之间的关系具有多种可能性,并且不同的可能性并不影响题目结论和多功能解题方法时,我们便可通过“不妨设”选择其中一种可能性解题.请看一些例子.例1求代数式的值.三个数a、b、c的积为负数,和为正数,且x=|aa|+|bb|+|cc|+|aabb|+|aacc|+|bbcc|,求ax3+bx2+cx+1的值.分析:由已知可得a、b、c三数中有两个为正数,一个为负数,在x的表达式中a、b、c三数任意互换其中两个,原式不变,a、b、c具有同等地位,不失一般性,可不妨设a、b为正数,c为负数.解:由abc<0,a+b+c>0,得a、b、c中有两个正数,一个负数.在x的表达式中,不妨设a、b的正数…     

化繁就简是因式分解的关键

虽然对因式分解的学习 ,课本循序渐进地介绍三种方法 ,利于学生理解 .但是在学习过程中 ,因式分解往往包含多种方法 ,需要同时展开 .下面举例说明之 .例 1　将多项式a2 -b2 +4a +4b因式分解 .原式 =(a2 -b2 ) +( 4a +4b)=(a +b) (a -b) +4 (a+b)=(a +b) (a -b+4 ) .第一步先分组 ,第二步运用公式法展开 ,第三步才提取出公因式 .从此例可知 ,学生在复习本章节的过程中务必充分运用三种因式分解方法 ,在复杂的题目中寻找可能相关的部分 ,使用更合适的方法进行 .如果发现其蛛丝马迹 ,再抽茧剥皮 ,就会豁然开朗 .例 2　将 (x +y) 2 +4 (x+y) +4…     

关于一个阅读材料的研究性学习

现行高中数学教材第二册(上)(人教社2003年12月第2版)第六章的阅读材料是“n个正数的算术平均数与几何平均数”,著名不等式“若a,b,c∈R ,则a3 b3 c3≥3abc”(以下记此不等式为*)的证明、应用及其推广是这个阅读材料的核心内容.本文以这个阅读材料中的不等式*为案例,通过不等式*的证明方法、应用、加强等方面的研究,谈谈怎样进行研究性学习.1证明方法的研究众所周知,培养学生学习数学的兴趣,是数学教学的重要任务.实践表明,一题多解的教学有利于提高学生的解题能力,有利于培养学生数学思维的灵活性和深刻性,也有利于培养学生学习数学的兴趣…     

再诡辩--算术平方根也可以是负数

读本刊文[1]题目: 已知a+b=-5, ab=1,求(a/b)~(1/2)+(b/a)~(1/2)的值. 有下列解法. 解法1     

利用启发式培养学生发散思维能力的一道好题

在数学教学中,充分利用教材中已编的题目,挖掘出它们的知识和方法内涵,对于减轻学生学业负担、提高教学质量是很有必要的.笔者曾对《平面解析几何》原教材第126面复习题第24题采用启发思维教学法,从5种不同思维角度引导学生进行分析、观察、思维、联想及解答,体会到这道题是培养学生发散思维能力的一道好题,现将教学中启发思维过程展现出来,仅供参考.题目　过圆外一点P(a,b),引圆x2+y2=R2的两条切线,求经过两个切点的直线方程.图1启发思路1目的:首先引导学生用自然思维程序——即用两点式求直线方程进行翻译、推理、思考.　　T:求解该问题的自然思维是什么?S:求过A、B两点的直线方程.T:大家想一想困难是什么?S:A、B两点的坐标没有给出.T:那么能不能把切点A、B的坐标求出来呢?[提问学生甲]:设切点坐标为A(x0,y0),则由OA⊥AP得　y0-bx0-a.y0x0=-1,即　　　ax0+by0=R2.(1)又　点A适合方程,∴　　　x20+y20=R2.(2)由(1)、(2)消去y0有(a2+b2)x20-2aR2x0+R4-b2R2=0.(3)(教师此时有意停顿片刻,装出惊讶表情,学生窃窃私语——出现了一元二...     

立体几何复习研究性学习浅尝

高三复习的目的是为提高学生的能力服务,而高考设计的问题,思维方向多、角度多、解题途径多、方法多,体现发散性思维的多端性.所以,我们在复习中应使所讲的例题“活”起来,发挥复习课例习题的潜在功能,切实提高学生的思维能力与解题能力. 笔者利用研究性学习的方法,对第九章《直线与平面》的章节性复习作了一点创新尝试,供大家参考.【教学过程】问题分析与探究【问题 1】(03·全国)已知异面直线a与b所在的角为 50°,P为空间一定点,则过点P与a、b所成的角都是 30°的直线有且仅有(　　)A. 1条　B. 2条　C. 3条　D. 4条通过前面的…     

一个不等式的证明——Schur不等式一个特例的应用

<数学通讯>2010年9月上(学生刊)中有如下题目征解问题27 设a,b,c∈R+且a+b+c=3,求证:2(a3+b3+c3)+3abc≥9.     

设计在知识的交汇点,蕴意于思维的开放度——记2008年一道精妙的选择题

题目 2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修Ⅱ)第10题 　　若直线x/a+y/b=1通过点M(cosa,sina),则 　　A.a+b2≤1 B.a2+b2≥1 　　C.1/a2+1/b2≤1 D.1/a2+1/b2≥1 　　评析 本题是在解析几何、三角函数、不等式三方面知识的交汇点上进行设计的,立意新颖,毫无赘言,此谓之精.与考生交流讨论,发现该题思维开放度很高,解法多样,巧夺天工.此谓之妙.下面择其有代表性的解法进行讨论.……     

浅谈数学上的推广

可以说没有推广就没有数学的发展 ,想把数学应用到更广的领域 ,就要把现有的结果进行推广 .但怎样推广现有的数学问题确是令很多人感到棘手的问题 .下面我们就介绍推广的一点小技术 ,供大家参考 .在文献 [1]中有这样一个关于几何不等式的题目 :例 1　设△ABC的三边长为 a,b,c,面积为S,则a2 b2 c2≥ 43 S.且等号成立的充要条件是△ABC为正三角形 .要推广一个题目 ,首先需要我们有丰富的数学知识 ,或至少在题目所涉及的领域要比较熟悉 .这就需要我们平时加强学习 .例如要推广上述不等式 ,我们要知道下面结论 :( 1)余弦定理 ;( 2 )三角形…