余弦定理的三角式

设A、B、C为△ABC的三内角,依正弦定理有a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,代入余弦定理公式可得: sin~2A=sin~2B+sin~2C-2sinBsinCcosA。特称为余弦定理三角式。对一些三角函数化简,求值、证明等问题可考虑用此三角式求解,举例如下: 例1 求sin~210°+cos~240°+sin10°cos40°之值。解 sin~210°+COS~240°+sin10°cos40° =sin~210°+sin~250°-2sin10°sin50°COS120° =sin~2 120° =3/4 例2 求sin20°cos70°+sin10°sin50°之值。解 sin20°cos70°+sin10°sin50° =sin~220°+sin10°sin(110°-60°) =sin~220°+sin10°sin110°cos60°-sin10°。     

一组等式的发现与推广

在一堂习题课中，我看到了“cosA cos3A cos5A/sinA sin3A sin5A=tg3A;sin3A sin5A sin7A/sinA sin3A sin5A=sin5A/sin3A”     

角元塞瓦定理及其应用

<正>一、角元塞瓦定理设P是△ABC内任意一点(如图1),则sin∠BAP/sin∠PAC·sin∠CBP/sin∠PBA·sin∠ACP/sin∠PCB=1.     

再解八七年高考理科第三题

对1987年高考理科第三题给出一种简单解法。原题是:求sin10°sin30°sin50°sin70°的值。解:设x=sin10°sin30°sin50°sin70°, 又设y=cos10°cos30°cos50°cos70°。则有xy=1/16sin20°sin60°sin100°sin140° =1/16cos10°cos30°cos50°cos70°=1/16y, ∵y≠0,∴x=1/16 于是sin10°sin30°sin50°sin70°=1/16。     

数学问题解答

1993年8月号问题解答(解答由问题提供人给出) 846 在△ABC中,求证: (1) sin A·sin B·sin C≤cos A/2 cos B/2 cos C/2 (2) cos A·cos B·cos C≤sin A/2 sin B/2 sin C/2 证(1)     

构造函数巧证不等式题两例

例1在△ABC中三内角分别为α,β,γ,求证：sinα sinβ sinγ≤(33~(1/2))/2．证明在△ABC中有α β γ=π,要证的不等式可化为(sinα sinβ sinγ)/3≤(3~(1/2))/2=sinπ/3,即证(sinα sinβ sinγ)/3≤sin(α β γ)/3．构造函数y= sinx(0＜x＜π)其图像如图所示．     

一类三角函数式求值问题的解法与判别

先看一例例一,求sin78°sin66°sind2°sin6°的值, 解设A=sin78°sin66°sin42°sin6°, B=cos78°cos66°cos42°cos6°则A·B=(1/16)sin156°sin132°sin84°six12° =(1/16)cos66°cos42°cos6°cos78°即A·B=1/16B,     

对一道课本习题的多种证法探究

<正>试题(北师大版高中数学必修5第57页第1题)如图1,一条直线上有三点A,B,C,点C在点A与点B之间,点P是此直线外一点.设∠APC=α,∠BPC=β.求证:sin(α+β)/PC=sinα/PB+sinβ/PA.证法1正弦定理记PB=a,PA=b,PC=l,AC=m,BC=n.在△PAC中,sinα/m=sinA/ l,在△PBC中,sinβ/n=sinB/l.所以sinα=msinA/l,sinβ=nsinB/l.所以sinα/a+sinβ/b=msinA/la+nsinB/lb=m/l·sin(α+β)/m+n+n/l·sin(α+β)/m+n=sin(α+β)/m+n·m+n/l=sin(α+β)/l,     

例析高中数学研究型问题

根据近年教学实践,选出研究型问题一组,似对高中数学总复习、特别对教师的备课有好处.现整理如下:例1在△ABC中计算:sin2A sin2B sinA·sinB的值.(1)若A=30°,B=30°(2)若A=45°,B=15°(3)若A=40°,B=20°(4)从上述(1)、(2)、(3)中能否得出一个一般性规律?请给予证明.解(1)sin230° sin230° sin30°·sin30°=43(2)sin245° sin215° sin45°·sin15°=43(3)sin240° sin220° sin40°·sin20°=1-c2os80° 1-c2os40° 21(cos20°-cos60°)=1-21(cos80° cos40°) 21cos20°-41=1-21·2cos60°cos20° 21cos20°-41=43(4)猜测:在△AB…     

用向量方法证明和差化积公式

公式1/2（sinα＋sinβ）=sinα＋β/2 cosα-β/2 1/2（cosα＋cosβ）=cosα＋β/2cosα-β/2     

一个不等式的证明及其应用

“设A、B、C为△ABC三内角,则sinA/2·sin(B/2)sin(C/2)≤1/8”。这是一个重要的三角不等式,它的证法多,应用广。本文就其常见的几种典型证法及其应用,简介如下: 证法一 (配方法):sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) =1/2(cos((A-B)/2)-cos     

一个三角题设的充分性之辨

题目已知sinα＋sinaβ=sinαsinaβ,求sinα＋β/2的值．     

斯坦纳定理的又一个证明

<数学通报2005年第3期数学问题解答栏1539题为:"已知:α、β为锐角,且sin2α/sin(2α+β)=sin2β/sin(2β+α).求证:α=β".……     

借助于向量代数知識証明几个平面三角公式

1.試証正弦定理 a/sin A=b/sin B=c/sin C。 証。如图1作AB的垂綫DC,因为封閉綫段在任意軸上的投影的代数和为零,又因为AB垂直于DC,其在DC上的投影为零;而AC在DC上的投影为b sin A,CB在DC上的投影为-a sin B,     

张角公式的若干应用

张角公式如图1，设点C在线段AB上，AB外一点P对线段AC、BC的张角分别为γ、β，则sin（γ，β）/PC=sinγ/PB＋sinβ/PA。     

二倍角正弦、宗弦、正切公式的几何解释

注：①由计算△MCB面积得：1/2×1×1×sin（π-2α）=1/2×（cosα＋cosα）×sinα→sin2α=2sinα·cosα．     

三边成等差数列的三角形的一个性质及应用

三边成等差数列的三角形有下列性质定理设△ABC中a、b、c是角A、B、C的对边,则a、b、c成等差数列的充要条件是tg(A/2)tg(C/2)=1/3。证明△ABC的三边a、b、c成等差数列(?)2b=a+c(?)2sinB=sinA+sinC(?)4sin(B/2)cos(B/2)=2sin[(A+C)/2]cos[(A-C)/2](?)2sin(B/2)cos(B/2)=cos(B/2)cos[(A-C)/2](?)2sin(B/2)=Cos[(A-C)/2](?)2Cos[(A+C)/2]=cos[(A-C)/2](?)2cos(A/2)cos(C/2)-2sin(A/2)sin(C/2)=cos(A/2)cos(C/2)+sin(A/2)sin(C/2)(?)cos(A/2)cos(C/2)=3sin(A/2)sin(C/2)(?)tg(A/2)tg(C/2)=1/3 由于上述箭头都是可逆的,因此定理得证。应用这个性质来解决三边成等差数列的三角形的有关问题,往往是奏效的。     

数学问题1652的证明瑕疵及补救

《数学通报》2007年第一期数学问题1652是:△ABC中,求证:sin A/2 cos B/2+sin B/2 cos C/2+sin C/2 cos A/2≤(3 3~(1/2))/4命题者给出了如下     

提高学生解题能力与运算能力的一些做法

最近我校担任高三数學的教师全面地检查了同学們对基本概念和基本运算掌握的情况,通过測驗发現有些学生对概念很模糊,对运算也很不熟练。 (1)概念模糊的例子: ① ((ag8)~2)~(1/2)=a-8; ②如果a~n=b~n,则必有a=b; ③ lgx~2=lgx~2; ④ i 3~(1/2)的共軛复数为i-3~(1/2); ⑤ lg(A B)=lgA lgB; ⑥如果有3x-1/2x-2>1,則有3x-1>2x-2成立; ⑦不等式組的解为:1相似文献   

What is The Squeeze （or Sandwich） Theorem？

Let＇s do an exercise as warming up.Ex：Find lim x→0sin1/x.lim x→0sin1/x=lim1/x→∞sin1/x=lim t→∞sint（Let t=1/x）.We know lim t→∞sint does not exist,so lim x→0sin1/x DNE.We can use graphing calculator to show the result is DNE（from figure 1to figure 8）.