与抛物线焦点有关的四组直线的垂直关系

与抛物线焦点有关的四组直线的垂直关系浙江省黄岩中学王一仁在解（证）题时，凡涉及抛物线的焦半径。焦点弦的有关的问题，用参数方程比较简便．下面先推导抛物线的参数方程．若Ａ为抛物线上任意一点，Ｆ为焦点，设为ＦＸ绕Ｆ逆时针旋转到ＦＡ所成的角，则抛物线的参数方...     

与拋物线焦点有关的四组直线的垂直关系

抛物线焦点是其对称轴上的特定点,焦半径、焦点弦以及过焦点的其它直线,连同抛物线的准线、轴线及切线、法线等,在位置上存在着一定的制约关系。为叙述方便且不失一般性,将有关点和线的表示符号作如下约定:抛物线方程为y~2=     

与焦点有关的一组圆锥曲线结论

<正>性质1如图1,已知椭圆C:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的右焦点为F,点M是C上异于左、右顶点A,B的一点,直线AM与直线x=a交于点N,线段BN的中点为E,则(1)∠EFB=∠EFM;(2)EM是C的切线.证明(1)由已知,得A(-a,0),B(a,0),F(c,0),设M(x_0,y_0),直线AM的方程为y=k(x+a),     

椭圆与双曲线焦点三角形角平分线的一组性质

本文借助于椭圆焦点三角形角平分线的方程,通过探究得到了椭圆焦点三角形角平分线的一组性质,并将此性质推广到双曲线中.     

椭圆与双曲线焦点的完美统一

在椭圆双曲线中通常会遇到这样一类题目：求与某椭圆（或双曲线）同焦点且过某一点的椭圆（或双曲线）的标准方程．常规方法通常要求出焦点,根据焦点位置设出所求圆锥曲线方程的类型,然后联立方程组求解．本文介绍一个有关椭圆与双曲线焦点的结论,使椭圆与双曲线的统一更加完美．     

椭圆、双曲线焦点与切线的一个关联结论

定理椭圆(或双曲线)两焦点到其任意一条切线的距离的乘积为定值.图1证明不妨设椭圆方程为x2a2 y2b2=1(a>b>0),如图1,左、右焦点分别为F1(-c,0)、F2(c,0),点P(acosθ,bsinθ)(其中0≤θ<2π)为椭圆上任意一点,则过点P的切线l的方程为cosθax sinθby=1,即bcosθ.x asinθ.y-ab=0     

直线与椭圆、双曲线位置关系的一种新的判定方法

我们知道 ,针对圆的特殊几何性质 ,可以用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系来判定直线和圆的位置关系 .实际上 ,结合椭圆和双曲线的第一定义 ,直线和椭圆、双曲线的位置关系的判定也有类似的结论 .引理 1　平面上 ,两点 F1 、F2 在直线 l的同侧 ,点 F′1 和点 F1 关于直线 l成轴对称 ,点 P在直线 l上 ,则 | PF1 | + | PF2 |≥ | F′1 F2 | (如图 1) .(证明略 )图 1　　　　图 2定理 1　直线上一点到椭圆两焦点的距离的和的最小值( 1)小于长轴长 ,则直线与椭圆相交 ;( 2 )等于长轴长 ,则直线与椭圆相切 ;( 3 )大于长轴长 ,则直线与…     

椭圆、双曲线焦点弦三角形的若干性质

椭圆、双曲线有许多优美有趣的性质，本文拟给出焦点弦三角形——焦点弦的两个端点A，B与椭圆（双曲线）的中心O所构成的△OAB为直角三角形的几条性质，同时给出其几点应用．     

椭圆双曲线焦点三角形的若干性质

文[1]介绍了椭圆x^2/a^2 y^2/b^2=1焦点三角形的7个个性质，笔者读后深受启发，经过研究，笔者也得到了椭圆焦点三角形的若干性质，作为对文[1]的补充．     

椭圆、双曲线的切线与圆的关系

图１是高中《平面解析几何》参数方程一章中一例题的图形，我们发现：如果过Ａ，Ｂ两点分别作大圆和小圆的切线，交ｘ轴于Ｐ，Ｐ１，交ｙ轴于Ｑ，Ｑ１，则Ｐ，Ｍ，Ｑ１三点共线，且为椭圆的切线．于是得到下面两个命题．图２命题１过圆ｘ２＋ｙ２＝ａ２上一点Ａ（ｘ１，ｙ...     

椭圆、双曲线过焦点的弦长公式及其应用

椭圆、双曲线过焦点的弦长问题是解析几何在高考、竞赛中的热点之一,解决这类问题,传统的做法一般是将弦所在的直线方程与椭圆或双曲线方程进行联立,利用焦半径公式或弦长公式｜AB｜＝｜x1-x2｜·√1+k2=｜y1-y2 ｜·√1+1/k2求解,这样求解运算量往往较大,若我们利用椭圆、双曲线过焦点的弦长公式处理此类问题会省时省力,同时也能大大提高解题的准确率.现阐述如下,供同仁参考.     

椭圆与双曲线

1　本单元重、难点分析1)重点 :椭圆与双曲线的定义及相关概念 ;椭圆与双曲线的标准方程及其推导 ;椭圆与双曲线的几何性质及应用 .2 )难点 :利用椭圆与双曲线的第一定义和第二定义解题 ;椭圆与双曲线的几何性质的应用 ;直线与椭圆、双曲线的位置关系及与弦有关的问题 .2　典型例题选讲例 1　已知Ｆ1,Ｆ2 是椭圆 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ >0 )的左、右焦点 ,Ｐ为椭圆上的一点 ,∠Ｆ1ＰＦ2 =π3.1)求椭圆离心率的取值范围 ;2 )求证 :Ｓ△Ｆ1ＰＦ2 =33ｂ2 .图 1　例 1图讲解　由椭圆的第一定义 :|ＰＦ1| + |ＰＦ2 | =2ａ ,而 |ＰＦ1| ,|ＰＦ…     

椭圆与双曲线

1　本单元重、难点分析重点 :1)椭圆的两种定义 ,两种标准方程 ,几何性质 (包括 :范围、长轴、短轴、顶点、对称性、焦点、离心率、准线 ) .2 )双曲线的两种定义 ,两种标准方程 ,几何性质(包括 :范围、实轴、虚轴、顶点、对称性、焦点、离心率、准线、渐近线 ) ,等轴双曲线 .3)直线与椭圆或双曲线相交所成弦的中点轨迹问题 .4 )待定系数法、运动变化的思想 ,数形结合的思想的应用 .难点 :曲线方程的探求过程 ,利用定义解题 ,几何性质及应用 ,已知方程画曲线 ,讨论对称性和曲线中参数的范围 ,与渐近线有关的双曲线问题的讨论等 .典型的方法与…     

椭圆双曲线的一组有趣性质

在对椭圆、双曲线的研究中 ,笔者发现一组有趣性质 .为便于结论统一 ,我们先引入一个概念 :定义　在二次曲线方程Ａｘ2 +Ｂｙ2 +Ｃ=0 (其中Ａ、Ｂ、Ｃ是常数且Ａ·Ｂ·Ｃ≠ 0 )中 ,称比值 - ＡＢ 为此二次曲线的斜心率 ,记为Ｋ ,即Ｋ =- ＡＢ.例如圆ｘ2 +ｙ2 =ｒ2 的斜心率Ｋ =- 1 .于是 ,我们有如下有趣性质 .定理 1　椭圆 (或双曲线 )的中心在原点Ｏ ,焦点在坐标轴上 ,其斜心率为Ｋ .点Ｐ为椭圆 (或双曲线 )上任意点 ,Ｐ1 Ｐ2 为椭圆 (或双曲线 )上任意弦 ,设直线ＰＰ1 、ＰＰ2 的斜率分别为ｋ1 、ｋ2 .若弦Ｐ1 Ｐ2 过中心Ｏ ,则ｋ1 ·ｋ2…     

椭圆、双曲线和抛物线

知识点及重要方法1)两种定义的核心　第一定义 :“距离和”为常量是椭圆 ( 2ａ >|Ｆ1 Ｆ2 |) ;“距离差”的绝对值为常量是双曲线 ( 2ａ <|Ｆ1 Ｆ2 |) .第二定义 :“距离比 (ｅ)”为常量 ,具有统一性 ( 0 <ｅ <1为椭圆 ,ｅ >1为双曲线 ,ｅ =1为抛物线 ) .2 )两个 (或四个 )标准方程的关键 :椭圆中焦点与长轴“同位” ;双曲线中焦点与实轴“同位” ;抛物线中焦点与对称轴“同位” .3)四种常见距离的表示 .如椭圆中①顶点与焦点间的距离 :ａ -ｃ或ａ ｃ,②两准线间的距离 :2ａ2ｃ ,③焦点到相应准线的距离 :ｐ =ａ2ｃ -ｃ =ｂ2ｃ ,④中心到准…     

圆、椭圆与双曲线之间的相关性

圆、椭圆与双曲线是高中平面解析几何研究的重要对象．众所周知,利用一个同胚映射可以将椭圆变换成圆,那么是否存在一个同胚映射将双曲线变换成圆呢？     

椭圆、双曲线另一组离心率公式及其应用

求椭圆、双曲线离心率一般涉及到解析几何、平面几何、代数等多个知识点,综合性强方法灵活,解题关键是挖掘题中的隐含条件,可先找出含a,b,c的等式关系,再求离心率.在教学过程中,笔者发现椭圆、双曲线另一组离心率公式给我们解决某一类离心率问题会带来意想不到的"神奇"效果!现用定理的形式叙述并证明.……     

椭圆、双曲线另一组离心率公式及其应用

求椭圆、双曲线离心率一般涉及到解析几何、平面几何、代数等多个知识点,综合性强方法灵活,解题关键是挖掘题中的隐含条件,可先找出含a,b,c的等式关系,再求离心率·在教学过程中,笔者发现椭圆、双曲线另一组离心率公式给我们解决某一类离心率问题会带来意想不到的“神奇”效果!现用定理的形式叙述并证明·1离心率公式定理1(如图1)设椭圆x2a2+yb22=1(a>b>0)的两个焦点为F1、F2,P是椭圆上异于长轴端点的任意一点,在△PF1F2中,记∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,∠F1PF2=γ,e是椭圆的离心率,则有sinαsin+γsinβ=e·图1图2证明在△PF1F2中,|sPinFα2|=|sPinFβ1|=|Fsi1nFγ2|,则|PF2|+|PF1|sinα+sinβ=|Fsi1nFγ2|,∴sinα2+asinβ=si2ncγsinαsin+γsinβ=22ac=e·定理2(如图2)设双曲线ax22-by22=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,P是双曲线上异于实轴端点的任意一点,在△PF1F2中,记∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,∠F1PF2=γ,e是双曲线的离心率,则有|sinαsin...