含有三角函数的几个积分公式

本文给出含有三角函数的几个积分公式 ,使有关的运算变为更简捷 .一、有关公式定理　设 f ( x)在 [l,l +2 a]上可积 ,( a >0 ) ,则∫l+2 alf ( x) dx =∫l+al[f ( 2 l +2 a -x) +f ( x) ]dx. ( 1 )　　证明 ∫l+2 al f ( x) dx =∫l+al f ( x) dx +∫l+2 al+a f ( x) dx,∫l+2 al+af ( x) dx 令 x =2 l +2 a - tt[l,l +a]-∫la+lf ( 2 l +2 a -t) dt=∫l+al f ( 2 l +2 a -x) dx故∫l+2 al f ( x) dx =∫l+al [f ( 2 l +2 a -x) +f ( x) ]dx.合理地选择 2 a及 2 l,可使公式 ( 1 )在应用上极为方便 .我们给出公式 ( 1 )的一些特殊情况 (定…     

应用分部积分法计算某些累次积分

例 1　计算 I =∫10 dx∫xxsinyy dy.解　通常改变积分次序 ,计算这个累次积分 .今用另一方法计算之 .因为∫xxsinyy dy是关于 x的函数 ,所以 ,试用分部积分法 ,得I=∫10 dx∫xxsinyy dy=[x∫xxsinyy dy]10 -∫10 x(ddx∫xxsinyy dy) dx=-∫10x(sin xx . 12 x -sinxx ) dx=∫10 (sinx -12 sin x ) dx=-cosx| 10 -(-ucosu sinu) | 10 　　 (u =x )=1 -sin1 .　　这里 ,用分部积分法计算这个累次积分 ,避免了通常用交换积分次序计算它所必须的画图、确定上、下限的麻烦 .下面给出用分部积分法计算某些累次积分的一个一般结论 .引理　若函数…     

利用对称性计算定积分之方法解析

本文讨论了利用积分区间的对称性和被积函数的奇偶性简化定积分计算的方法,总结归纳了不同情形下的具体思路.     

用拆分法证明一些三角有理式积分公式

本文以最基本的积分方法为基础 ,从被积函数的结构特征出发 ,讨论了一些常见的三角有理式积分公式的简单证明方法——拆分法 .根据此种方法可求一些三角有理式的积分 .对于形如∫a1sinx +b1cosxasinx +bcosxdx积分 ,Б.П吉米多维奇在《数学分析习题集》中给出了积分公式 :例 1　∫a1sinx +b1cosxasinx +bcosxdx =Ax +Bln|asinx +bcosx|+C,其中A =aa1+bb1a2 +b2 　　 B =ab1-ba1a2 +b2 　　 a2 +b2 ≠ 0　　证　令 I1=∫ sinxasinx +bcosxdx　　 I2 =∫ cosxasinx +bcosxdx则 a I1+b I2 =∫dx =x (常数之差不计 ) ( 1 )a I2 -b I1=∫ac…     

一类曲线积分的计算方法

对坐标的空间曲线积分的计算通常采用参数法或利用 Stokes公式 ,但对某些特定的空间曲线积分也可以将其转化为平面曲线的积分 ,因而也就简化了计算步骤。考虑如下曲线积分I =∫c P( x,y,z) dx +Q( x,y,z) dy +R( x,y,z) dz ( 1 )其中 c:F( x,y,z) =0z =φ( x,y) ,而 P,Q,R,F,φ对其各变元均具有一阶连续的偏导数。利用曲线积分的定义可以得到　　　　 I =∫c′{ P[x,y,φ( x,y) ]+R[x,y,φ( x,y) ]φ′x( x,y) } dx +{ Q[x,y,φ( x,y) ]+R[x,y,φ( x,y) ]φ′y( x,y) ]} dy ( 2 )其中 c′为 c在 xoy平面上的投影曲线 ,c′的方向与 c的…     

对称性在积分学中的应用

如果能充分利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性,高等数学中许多积分的计算过程将得到简化.总结并借助实例说明对称性在高等数学定积分、重积分以及曲线与曲面积分计算中的应用.     

二重积分与二次积分

大家知道 ,计算二重积分 ,主要是将二重积分化为二次积分。一般教科书上的二次积分也伴随二重积分出现 ,使不少读者误以为二重积分与二次积分是一回事 ,对一些问题的解答出现了错误或迷惑。例 1 :计算积分∫10 dx∫x1e- y2 dy。有的同学用交换积分顺序方法作 ,为此他将此二次积分错误地视为二重积分。画域得在 0≤ x≤ 1上由 y =1和 y =x所围成的积分域 D(如图 )。于是∫10 dx∫x1e- y2 dy =∫10 dy∫y0 e- y2 dx =∫10ye- y2 dy =-12 e- y2 10=12 ( 1 -e- 1)细心的同学在得到二重积分 De- y2 dxdy后 ,将它再化为二次积分得 De- y2 dxdy …     

关于瑕积分的一个极限等式

本文证明如果区间(a,b]上以a为瑕点的收敛的瑕积分∫baf(x)dx中,被积函数f(x)在(a,b]上连续,则成立极限等式∫baf(x)dx=limn→∞∑ni=1f(a+i(b-a)/n)(b-a)/n.利用这一等式可计算一类数列的极限.     

关于对称性在积分计算中的应用补遗

《高等数学研究》杂志第 4卷第 1期介绍了对称性在二重积分、三重积分、第一型曲线积分和第一型曲面积分计算中的应用 ,其方法可参见该期杂志 P2 4-2 7。除以上应用外 ,本文还要介绍对称性在第二型曲线积分和第二型曲面积分计算中的应用。一、对称性在第二型曲线积分计算中的应用定理 1　设分段光滑的平面曲线 L关于 x轴对称 ,且 L在上半平面的部分 L1与在下半平面的部分 L2 的方向相反 ,则( 1 )若 P( x,y)关于变量 y是偶函数 ,则∫LP( x,y) dx =0( 2 )若 P( x,y)关于变量 y是奇函数 ,则∫LP( x,y) dx =2 ∫L1P( x,y) dx图 1证 :由 L …     

有理函数积分的一些方法

对有理函数积分 ,教材中主要讲了部分分式法 ,但做具体题时 ,我体会还有凑微分法、待定系数法、换元法。一、凑微分法例 1　∫ dxx(x8+ 1 )解　x8+ 1分解因式复杂 ,采用对被积函数分子分母同乘x7,则在分子上易凑出dx8:∫ dxx(x8+ 1 ) =∫ x7dxx8(x8+ 1 ) =18∫ dx8x8(x8+ 1 ) =18∫(1x8-1x8+ 1 )dx8=18∫1x8dx8-18∫ 1x8+ 1 d(x8+ 1 ) =18ln x8x8+ 1 +C　　例 2　∫ 1x4+ 1 dx解　将x4+ 1拆为部分因式也比较困难 ,该题可采用如下解法∫ 1x4+ 1 dx=12 ∫x2 + 1x4+ 1 dx-12 ∫x2 -1x4+ 1 dxx≠ 0时 ,同除以x2原式 =12 ∫1 + 1x2x2 + 1x2dx-12…     

递推序列在一些定积分计算中的巧妙应用

本文举例说明 ,如何通过构造递推序列的方法 ,对被积函数是与自然数 n有关的一些定积分进行计算 .读者从中可以看出此方法的简捷和优越 ,用以抛砖引玉 .1　计算问题上的应用在某些定积分计算问题中 ,若被积函数是与自然数 n有关 ,则可把整个积分看成一个序列的一般项 ,然后根据其积分的结构特点 ,恰当地找出它的递推公式 .通常首先考虑 In± In- 1,In± In- 2 ,In/In- 1等型 ,这样再经过递推 ,问题往往就可简捷而巧妙地得到解决 .例 1　计算著名的狄利克莱 (Dirichlet)积分∫π0sin(n 12 ) xsin x2dx,n =0 ,1 ,2 ,…解　令 In =∫π0s…     

利用二重积分证明积分不等式

有时将一元函数的积分问题转化为二元函数的二重积分问题 ,会给解题带来方便 .本文通过几个范例说明利用二重积分证明积分不等式的方法 .例 1　设函数 f (x)与 g(x)在 [a,b]上连续 ,证明 Cauchy-Schwarz积分不等式(∫baf (x) g(x) dx) 2≤∫baf 2 (x) dx∫bag2 (x) dx　　证明　记积分区域 D =[a,b]× [a,b],利用定积分与积分变量符号无关的性质等 ,有(∫baf (x) g(x) dx) 2 =∫baf (x) g(x) dx∫baf (y) g(y) dy = Df (x) g(x) f (y) g(y) dxdy≤ D12 [f2 (x) g2 (y) f2 (y) g2 (x) ]dxdy=12 ∫baf 2 (x) dx∫bag2 (y) dy 12 ∫baf …     

分割积分区间计算定积分

在定积分的计算中,当积分区间关于坐标原点对称且被积函数为奇函数或偶函数时很容易计算．当被积函数为非奇非偶函数时的计算方法是先分割积分区间再作变量替换,进一步给出任意区间上的定积分的计算有相同的计算方法．     

黎卡提方程可积的一个充分条件

dy╱dx+Py=Qy~2+R其中P、Q、R为某区间内x的连续函数,(1)叫黎卡提方程,它的解一般是不能用初等积分求出的。本文给出(1)可积的一个充分条件,即以下定理如果(?)与R线性相关,則(1)的解可以用初等积分求出。证令(?)的解;其中u是待定的可微函数,将y及y′的表达式代入(1)并整理,得     

第二类曲面积分的计算方法

针对第二类曲面积分的计算进行探讨,指出计算时可以把曲面方程代入到被积函数中,且可以利用轮换对称性及奇偶性来简化计算,并提出可以利用公式法、高斯公式、两类曲面积分之间的关系及合一投影法四种方法来计算第二类曲面积分.     

一组变上限定积分命题的推广

探讨一类变上限定积分函数F（x）=∫0^x[h（x）＋g（t）]f（t）dt的奇偶性和单词性问题．根据函数奇偶性的定义证明F（x）是奇函数，利用积分第一中值定理和F＇（x）的符号给出满足一定条件下的F（x）的单调性，将已有文献中的结论进行推广．     

对称区域上的重积分

在定积分中,如果积分区间是对称的,被积函数具有奇偶性,那么有(?) 在二重积分中也有类似性质。定理1.若一二重积分(?)满足(1) 区域D可分为对称的两部分D_1和D_2,对称点p(x,y)∈D_1,p′∈D_2。     

函数奇偶性求解辨析

<正>函数奇偶性已为大家所熟知,其有着较多的性质,在解题中有着广泛灵活的运用,不加注意,便容易陷入求解误区.例1判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=x²+1(x≥0);(2)f(x)=(4-x2+1(x≥0);(2)f(x)=(4-x²)2)¹/2/|x+3|-3.解析(1)乍一看,函数似偶函数,然而,由于函数定义域为[0,+∞),没有关于原点对称,故该函数既不是奇函数也不是偶函数.     

一道概率中常用积分的妙证

+∞∫-∞e-x22dx=2π(1)式(1)是概率论中常用的积分,常见的证法是利用了极坐标变换[1],或利用Γ函数的性质[2].笔者给出一种利用旋转体体积公式的新证法.设I=+∞∫-∞12πe-x22dx,则(1)式等价于I=1.由于I2=(+∞∫-∞12πe-x22dx)2=+∞∫-∞12πe-x22dx+∞∫-∞12πe-y22dy=+∞∫-∞∫+∞-∞12πe-x2+2y2dxdy被积函数z=f(x,y)=12πe-x22+y2,-∞相似文献   

多元函数积分的简化计算

利用多元函数积分区域的对称性,可通过对被积函数以及积分区域的变换来简化多元函数积分的计算.