一个与一元二次方程有关的递推式及其应用

因为。、b是一元二次方程护一(。十b):十动~0的两个根,设S。一a0十b0,S,一。 b,则 吕2二。2 乙2,月2一(a b)51 ab月。~0 名。=a3十乙3,53一(a 乙)82 汕S,~0 5.~a’十b’,S。一(a b)S.一‘十动价一:二0即有当、)2时,有递推式S一(a b)S一, ab^9一2一0(,) 因为递推式由一元二次方程推出,结果又与一元二次方程极其类似,所以它与一元二次方程同样有较大用途,下举数例说明. 例l若,,‘,=,,‘ l,。’一。 l、且,,‘共、,则1,l” 沪一(江苏省第四届初中数学竞赛试题). 解由,,‘,~,,‘ l,、,=n l,且,,‘护n知:1。,、是一元二次方程二,一二一1一0的…     

化简i~n的小改进

l, 大家知道f4二l,化简f.(n>4)只要求出k、P、使。=4k+P(k〔N,P=o,z,2,s)即可。但当。较大时要做除法,我将原法改进,可以使运算量大为减少,现介绍如下,供参考. 定理设正整数n的十位数字为a:,个位数字为a:,则化简:fn粤一tg罕二一:‘n普气一,,内乙例解 (l)当。:为偶数时,有,三。,(。。d4), (2)当。:为奇数时,有。二10十a,(仇补d4). 证(l)n=1 00水+10q:+a,=100勿++10(Zn,)+a,=10Om+20。,+a:三a:(优。试4); (2)”=100阴+10a2+a一=100优++IQ(2nl+1)+a;=100仇+Zon;+10+a; 兰10+a,(机0d4). 例1化简‘”吕3;‘”‘66几,’. 解““吕3一￡3二一￡…     

2003年“通讯杯”高中数学综合应用能力竞赛试题答案

(试皿见第10期) 一、选择题:C BCBD A. 1.解设人口增长率为a,则40(1+a)“=50,(1+a)‘,=1.25从而2020年的世界人口数为50(1+a)33二soK(1 25)3=97 .65625(亿). 不难估算2020年的世界人口数最接近98亿. .应填(C). 2解由已知xZ十ax一3。一9)0对一切xeR成立,…△=aZ一4(一3a一9)簇0,即aZ+12a+36(0,(a+6)2簇0,a=一6,j(1)=l一6一3X(一6)一9=4,故选5.解设之A,乙B,乙C所对的边长分别为a,b,“(a,b,。均为有理数). 匕C“aZ+bZ一eZ Zab二一5口,由余弦定理知。C=为有理数,…。055口=一。os(,一5的=一cosC为有理数.同理可证。0520,。。530)为有…     

喜迎2006新年

在公元2006年到来之际，谨拟有关“2006” 五题，喜庆新年，以飨读者. 题1 .口2006. a，!2二，。。+1一兰(，任N+)，试求二1 口” 解由题意有内 l2 一一，a3一一一乙x， X a2 l 2一内 反4= l 一一，“.‘，a2006- j X 倪z .aZoo6一Zx· X 题2 +a3+a;+ {a。}是公差为l …+a:。。 =3962 的等差数列，al+自 ，试证:a:十a、+吼 +…十a 100 证明 =2006. 由题意有a。一a，+l，a、~a3+i …，al。。=aog+1， :’(al十1)+aZ十(a3+1)十a、十 …+(a99十1)+a，。。 =3962+50=4012. a:+a、+a6+…+al。。一2006. 题3已知a，b，。是不为。的实数，且a+ b…     

三角形不等式浅析

三角形不等式是指 !}。一1乙】!成!a+b{镇】al一卜!儿!,a,b任C 在中学数学教学中,人们对不等式中等号成立的条件颇为注意,而对不等号(即}!。}一}川!相似文献   

一元二次方程的根在某区间内外的讨论

设一元二次方程a二“+b二十c=0(a,b,c为实数,且。今0)的根为二:,二2且、:》二,. ~、设m为实常数 10.翔,丸均大于烧的充要条件,易见为 l乙》。,‘ (一占/a一2二>o,(l) {c/a一(一乙/a)。十。2>。 例1已知方程,2一11二+30+。二。的实根均大于5,求。的范围. 例4二为何值时,方程2二2+4。‘+3川一1=0有两负根.1602一8(3。一)>o,一2巾0.得、J矛2了‘、由解解:由(1)得{11“一4(30+。)》o,(30+。)一5·11+25>0. 解此不等式组,得0<饥《1邝. 例2已知戈的二次方程a二2一(a+1)2戈+4a“=o有二正实根,(l)求实数、a的范围;(2)求两根和的最小…     

问题与解答

一、本期问题 1若f(二+1)=!万一1:,求f(1987)=? 2对之1 im(1.+2“+3“+…+1985t)笼In 3求函爹刀二(x一1):十(x一2广+…十 (x一3969)忍取得最小值时的x值. 大悟县三中郭炳坤提供 4己知,为任意实数,求二次方程二名+二x+(”*1)〔”+2)(”+3)(”+4)+5/4=0恒有实根时佗的取值范围. 5已知△ABC的三边为a、b、e,且a,+b,+C,二ab+西c+ca,问△A刀c是怎样的三角形? 6在△ABC中,已知乙A二600,a=1,求证b十‘(2. 江西泰和中学凌全华提供 7已知AD、BE、CF是△ABC的三条高,AD》BC,BE》AC,求证CF二AB/2。 8等腰三角形的面积和周长被平行于底边的…     

一类五阶线性周期缓变系统周期解的存在唯一性

考虑5阶线性方程 x(5)+a,(t)戈(屯)+a:(t)x(3)+a:(t)x(2)+a‘(t)劣(‘)+as(t)x=e(t)将方程(1)化为等价方程组(1)一.、J,自-(勒dX_,,‘、。.,,。—=月、‘户了飞一I、‘夕dt这里X=(二,,…,戈5)’,A(t)=(a‘,(t)),f(t)=(o,o,o,o,e(t)),=a一。=1,aol二一a。,a。:=一a4,a。,=一a3,a。‘=一az,a。。=一al,,j=1,2,“·,5.我们得到如下的 定理.假设方程(1)满足如下条件 1 .a‘(t)连续可微,e(t)连续,且a‘(t+T)=a‘(t),e(t+T)=<月,{e(t)}相似文献   

1993年高考试题解法集锦 理科第(29)题别证

题 :已知关于:的实系一数方程:,十‘I:十b二0的两实数根a、刀,证明: ①若}司<2,}川<2,则2}a}<4+b且!b,<4, ②若2 la}0,即(」+吞)2>4a2, 4+b)O,.’.2!a}(4+吞,即2!。}’<4+‘且}川<4成立. ②’.’2}u】<刁+6且1乙}(4,则(4+6)2一礴‘:,=(a,一4)(声2一d))0且1 al·}刀{(4, aZ(d,刀Z<刁…     

算术平均—几何平均不等式的一个证明

设a:、 a盆、al+aZ 怜a。是正数,则有不等式~习可可不瓦一 一bK+‘)+…十bK+‘(戈一b)〕设￡‘一b‘=(,一b)(%‘+‘+x‘+“b千…+b‘+1)=(戈一b)Pi1=式中等号当且仅当a,二a:二…二a。时成立。证明用数学归纳法,n=2结论显然成立。 假定n=K时成立,则 月二(a:+a:+…+a尤)+a尤+l 一(K+1)K+‘侧瓦瓦二花订万 )K大访瓦瓦下砰而瓦 一(K十l)K+’了面瓦不石石万…(1) 设K+‘亿面万丁=、 K!K十’V而二ha二b,(1)式右(P‘>0了 i=(%)2,一,K),乡}}}(戈一b)2(P尺+P万*:b十 卜P工石K+l) 户K+夕K*声+….’.f(二)>O,A) ‘.。十…(2)+P tbK+‘>00即a…     

递归方程组给出的数列的通项

(xl+灰功)叮一”一1一(xz+k2夕z)宁2月一1奋1一kl(11)、.子、.,119曰‘r飞了叮、本文介绍由递归方程组 fx,=ax,一l+bg,一1 ,夕,=cx二一:+内,一1 (a、b、‘、J为常数)给出的数列{x二}、{夕,}的通项的求法. (一)基本理论 如果b、。同时为O,则易得 x,=a’一’x,,夕。=己一’夕1(3) 如果b、。不同时为0,不妨设;。手O,则 (l)+乏x(2)得 x。+kv,=(a+c走)。,一1+(b+dk)夕。- (IQ)、(川即是数列{x,}、{g。}的通项公式.但它们形式过繁,.有必要将其化简.注意到x:、gl为初值(常数),而k:、棍可由a、b、.。、d唯一确定,因而也为常数.由此可知,数列{x,}、…     

自我检查练习题

一、初中自我检查练习题①填空(用适当的数、式或符号填到横线上)z)若a(b乙B>艺C.那末匕月_60’,乙B_45。,乙C_60’. 9)口A厅CD的对角线的交点为。,在较长的对…     

用直线和圆的位置关系证不等式

设直线l:Ax+By+C~0(A、B不同时为 零),圆C:(x一a)“十(y一b)“一尸,则直线l与 ,。*一、__}Aa+Bb+C}一~~、.、‘~ 坦引L-户钊)二‘呀氏、二币,一目下军二二;花二育一,女:尧r·工光月今岁期劝乙.刃 了A‘十B‘ 螂卿孝 这一结论在条件不等式证明中的巧用. 例l已知a)O,b)O,a+b~1,求证: 祷不百+沂万(2. 。一。一合时等号成立,· 例2已知a,b任R,且a+b+1~O,求证 (a一2)2+(b一3)“妻18. 证明令(a一2)’+(b一3)2~尸, 则点(a,b)在直线l:x十y十1一。以及圆 C:(x一2)2十(y一3)’一尸上. 即直线l与圆C有交点. 证明令。~,沂弓呻+沂万, }2+3+11一~,…     

问题征解

本期问题征解__一a+bL匕知石二乙 b+e一b一c (2)e十aC-a,求证:《1)a+b+e=0;aZ+bZ+eZ=0;、3)告十言+告“。. 2.△ABC内接于半径为1的圆,则此三角形必有一边不大于侧3. 3.若。〔N,且eo:na,sfona都不为0,又(eo:a+xsfoa)“+aeo:。a+bxs玄。。a能被二么+1整除,求a,b的值. 4.求证12,2122,111222,11rl2222,…中任一项都是两个相邻整数之积. 安徽淮南基建七中谢志文提供 5.设二、y、二为三个互不相等的非零实数,且同时满足方程:x”+,x十,=。,y“+。y+”二0,二3+,二+一。.试求令+会+合的值·6.已知x十刀+‘=5,x夕+夕‘+之劣二3,44且二、夕为实数,…     

柯西不等式的证明及应用

<正>高中数学学习中,不等式变形巧妙神奇,尤其是柯西不等式的应用.我梳理了一下有关柯西不等式的证明及应用,方便同学们使用.柯西不等式:(a1b1+a2b2+…+an bn)2≤(a21+a22+…+a2n)(b21+b22+…+b2n)(ai bi∈R,i=1,2…n).等号当且仅当a1=a2=…=an=0或bi=tai时成立(t为常数,i=1,2…n).柯西不等式的证明方法很多,下面的方法比较深刻且具通性.为简便,设ai不全为0.证法一(构造二次函数)f(x)=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+…+(an x+bn)2=(a21+a22+…+a2n)x2+2(a1b1+a2b2+…+an bn)x+(b21+b22+…+b2n).     

公式(a+b/2)~2≤a~2+b~2/2的一个证法及其应用

公式〔蝉、“簇丝兰早兰兰(:)弓}自统编数学课 一’一’、2/一2’一’、·~?一”~,一本第三册尸66.5(3),一般是利用基本不等式a“+吞,》Za西(a、乙〔尺,当且仅当。=乙时取“=,,号)证明的。在此我们为了推广这一不等式而采用另一种证法。 证明:令f(x)=(x一a忿)+(x一的“(a拍〔R),则f(x)对任何实数x恒有厂(x)》0。故方程(x一a)“+(x一b)“二0当a沪b时只能有虚恨当‘=b时则二根相等。因而其判别式△(0. 方程的判别式 △=4(a+b)2一4 02·(aZ一卜西“)(0。即(e+舌)“(2(a:+乙“).(色华、么、21《趁土兰 2(当且仅当a=b时取“=”号)。公式(幻可以…     

一个递推关系及其推论

设以任意三复数。、尸、护为很的一元三次方程zs十产.+F+,=O,则由根与系数的关系知: ,=一(a+声+护),q=a声+抑+帅,,”一a夕护 由于a、夕、护分别为:,+尸+笋+r二0的三根,故 砂+尸+,+,=0._尸十护,+护十,=。, 尹十尸+qy+r二0 将以上三式分别乘以矿、夕、犷并相加得 矿+.+尸+.+犷+,二(a+夕+y)(矿+2+少+,+r+之)一(a尹+脚+”)(矿+’+夕十’+犷+’)+a夕袱矿十产十犷)(其中:=0.1,2,…) 定理a、声、下为三复数.则矿+,+产+,+r+.二(a+声+v)(a’+,+夕+,+尹+2)一(a尹+声护+”)(a.+’+夕+’+犷+’)+a夕,(‘+夕+扩)① 利用递推关系①及初始条件:a0十尸+v0=3…     

一道习题引起的思考

而中作琳第二册77页第17题是一道证明题:已知如臼·布。、i的项满足}‘少- “,t十 b,l=阳,,十d,其中。手l。证明这个数列的通项公式是 八”+(d-b)厂一1一d u,,=‘、一1(编者按:有读者指出,课文中应加上条件‘半0.因若不然,在n二l时,公式失去意义今 这道题用数学归纳法并不难证明。然而,引起我们思考和兴趣的是,这个通项公式究竟是怎样得到的 呢? 问题的实质是已知数列的线性递推关系如何导出 通项公式。下面介绍几种常用的推求思路和方法。 解法一用递推(逐次代入)的方法: t‘l=b a:=cal十d=cb一十d a:l二ca矛十d二c(。b+d)+d =产b+(。+l)d…     

一类条件最小值问题的统一解法

本文给出一类条件最小值问题及其统一的解法,这类问题是:已知a,b,c为正实数,且a+b+c=1,k(k≠0,1)为整数,求(a+b)k+(b+c)k+(c+a)k的最小值.统一解法使用的工具是n(n≥2)元均值不等式:a1+a2+…+an≥nna1a2…槡an(ai>0,i=     

平均值法的应用

如采用平均位决,就不存在这个问题了!如何取千均仙、?从条件a十Zb+加二招素成。十乙+b一{一。十。十““丁2,12/6=20显燕丹 实际上可均泣应取‘解、狡口二x+2,乙二夕十e,c=:+2,则(x十幻十以犷十助+以之十幻=12, :.x十2刀十3万=O。故砂十2乙艺」一乳之=(x+幻“一卜2(y魂一幻2十十3(:+幻“二相似文献