用换元法分解因式举例

<正>在代数变形中,我们常把某一个整体看成一个数参加运算,实际上就是换元法,它是数学的重要思想方法,应用十分广泛,在分解因式中也占有相当重要的地位,本文巧用换元法分解因式,供同学们参考。那么,在分解因式中怎样换元呢?一、和、积双换元例1分解因式(a+b-2ab)(a+b-2)+(1-ab)².     

初二代数第一学期期中自测题

A组一、填空题1.(x-y)n(n为偶数)=.2.(a-b)2-(a+b)2=.3.x2-5x-14=.4.x2+x+m=(x+n)2,则m=,n=.5.()2+12xy+9y2=()2.6.a+b-ab-1=(a-1)().7.x2-2xy+y2-z2=()().8.a4+a2-20=()()().9.32002-5×32001+6×32000=.10.4(1-b2+ab)-a2=.二、选择题1.把多项式4x-x2-4分解因式,结果正确的是().A.-x(4-x)-4B.-(x-2)2C.4x-(x+2)(x-2)D.-(x+2)22.x2+mx+16是一个完全平方式,则m的值是().A.±8B.±16C.±4D.163.x4-k=(x2+9)(x+3)(x-3),则k=().A.9B.-9C.81D.-814.下列分解因式错误的是().A.4a2-1=(2a+1)(2a-1)B.a4-64=(a2+8)(a+22)(a-22)C.x4+1=(x2-1)(x…     

高次方程(或方程组)的巧解

<正>一、利用分解因式去解题例1 (上海市竞赛题)已知关于x的方程x~4+2x~3+(3+k)x~2+(2+k)x+2k=0有实数根,若所有实根的积为-2,则所有实根的平方和为______.简析将方程左边分解因式,可将高次方程转化为一元二次方程.     

“十字相乘法分解因式”解析

<正>同学们都知道,x~2+(p+q)x+pq型的二次三项式是分解因式中的常见题型,那么此类多项式该如何分解呢?观察(x+p)(x+q)=x~2+(p+q)x+pq,可知x~2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).这就是说,对于二次三项式x~2+ax+b,如果常数项b可以分解为p、q的积,并且有p+q=a,那么x~2+ax+b=(x+p)(x+q).这就是分解因式的十字相乘法.下面举例具体说明怎样进行分解因式.     

一道求值赛题的多种解法

<正>试题(2016年四川省初中数学竞赛(初二)初赛)已知实数a,b,c满足abc≠0,且(a-c)²-4(b-c)(a-b)=0,求(a+c)/b的值.解法1(因式分解法)由(a-c)2-4(b-c)(a-b)=0,求(a+c)/b的值.解法1(因式分解法)由(a-c)²-4(b-c)(a-b)=0得,a2-4(b-c)(a-b)=0得,a²-2ac+c2-2ac+c²-4(ab-ac+bc-b2-4(ab-ac+bc-b²)=0,所以a2)=0,所以a²+2ac+c2+2ac+c²-4(ab+bc)+4b2-4(ab+bc)+4b²=0,即(a+c)2=0,即(a+c)²-4b(a+c)+4b2-4b(a+c)+4b²=0.分解因式,得(a+c-2b)2=0.分解因式,得(a+c-2b)²=0.     

分解因式前的基本变形

初中数学教材中关于分解因式有四种基本方法:提公因式法、公式法、分组分解法及式子ｘ2+(ａ+ｂ)ｘ+ａｂ=(ｘ+ａ)(ｘ+ｂ)法.但是,有些多项式是无法直接使用这些方法进行分解的,必须经过适当的变形后才能分解因式.为使读者正确、熟练地掌握分解因式,现介绍几种基本变形.一.符号变形例1　分解因式ｍ(ａ-ｂ)-ｎ(ｂ-ａ).分析:由于ａ-ｂ和ｂ-ａ互为相反数,因此需把ａ-ｂ变形为-(ｂ-ａ)或把ｂ-ａ变形为-(ａ-ｂ).解:原式=ｍ(ａ-ｂ)+ｎ(ａ-ｂ)=(ａ-ｂ)(ｍ+ｎ).二.组合变形例2　分解因式3ａ2+ｂｃ-3ａｃ-ａｂ.分析:选择系数成比例的项进行调项变换组合…     

初二代数第一学期期中自测题

A组题一、判断题 (每小题 2分 ,共 1 0分 )1 .x5-y5=(x2 -y2 ) (x3 +y3 ) (　 ) .2 .(x -y) n=(y-x) n(n为偶数 ) (　 ) .3 .x6-y6=(x3 -y3 ) (x3 +y3 )=(x -y) (x2 +y2 ) (x3 +y3 ) (　 ) .4.(a -b) 2 -(a +b) 2 =2a4(　 ) .5 .8a3 -6a2 +2a的公因式是 2a (　 ) .二、选择题 (每小题 3分 ,共 2 4分 )1 .1 6a2 +2m +b2 是一个完全平方式 ,那么m的值是 (　 ) .A .± 4ab　B .± 1 6ab　C .± 3 2ab　D .1 6ab2 .下列分解因式错误的是 (　 ) .A .4a2 -1 =( 2a +1 ) ( 2a -1 )B .a4-64=(a2 +8) (a +2 2 ) (a -2 2 )C .a4+1 =(a2 -1 ) (a2 -…     

一个代数恒等式的应用

人教版初中《代数》第二册课本中两个重要的公式 (a +b) 2 =a2 + 2ab +b2 ,(a -b) 2 =a2 -2ab +b2 ,通常是直接应用于解题 .如果将两公式相减 ,将得到一个新的有用的代数恒等式 :ab=14 [(a +b) 2 -(a -b) 2 ] ○ ,此代数恒等式简单易记 ,操作简便 .解题中若能灵活、恰当地运用此恒等式 ,将会使一类数学问题的解题思路清晰明朗、过程简洁凑效 .本文以竞赛题为例说明它的应用 .1用于分解因式例 1分解因式 :(ab -1) 2 + (a +b -2 )(a +b -2ab) . (96天津数学竞赛题 )解　原式 =(ab -1) 2 + (a+b -2 +a +b-2ab2 ) 2-[a +b-2 -(a +b-2ab)2 ] 2=(…     

例析整体代入法

整体代入法是初中数学中常见的方法.如已知x+1/x=a,求x/3+1/x~3的值(a为常数),通过分解因式,然后整体代入,就可以轻松得到结果.整体代入法要根据已知,通过观察构造累加等方法,灵活进行转化,从而达到简化运算的目的.它也是高中数学常用的一种方法请看下面几个例子.例1数列{an}中     

初二代数第一学期期末自测题

A组一、填空题 (每小题 3分 ,共 3 0分 )1 .当x时 ,分式 13x -2 的值为正 ,当x时 ,分式 x2 -9x-3 的值为零 .2 .a2 x2 -2a2 xy a2 y2 分解因式的结果是.3 .x2 mx 1 6是一个完全平方式 ,则m的值是.4.当m =时 ,方程2mx 1m -x =2的根为 12 .5 .化简 a b-1a -b 2b -1b-a=.6.当a ,b满足条件时 ,方程 (a -b)x =a2 -b2 的解是x =a b.7.已知 x3 =y4=z5 ,则2x y-3zx y z =.8.已知 xx -1 xx 1 =Ax2 Bxx2 -1 ,则A =,B =.9.如果ab≠ 0 ,a2 ab -2b2 =0 ,那么2a -b2a b的值为 .1 0 .解方程 2xx -1 -1 =ax -1 时 ,能使方程产生增根的a的值是 .二、选择题 (每小题 3分 ,共 3 0分 )1 .把多项式 4x -x2 -4分解因式 ,结果正确的是(　 ) .A . -x( 4 -x) -4　　　　B .4x -(x 2 ) (x-2 )C . -(x-2 ) ...     

二项式x~4+b~2型因式分解

_气这是初中代数第二册上的一道习题, 撇.分解因式二呼+4尸虽然教材棺寸提示,但学生解题时仍感困难,因一‘·’…此间题值得探讨.华“.设此类问题的一般形式为.L.二‘+“(b为正整数)--、(I)二,首先研究式(I)在整数范周内能分解因式的条亡件,这得从“补项配方‘开始:牛’.二‘+6,‘二‘+Zb二,+乙,一26:’!「认‘(x名+b),一(J诬。x),:’;二(二‘+J场二+b)(砂一召马x+‘)(幻 困此,条件是肠为完全乎方数,螂应有如下的’ t形式:’ boZ。,(。为正整纷) 、b应为某个平方数的2倍. 倪.以下二项式中,哪些能在整数范围内分解 因式,并将能分解的二项…     

初三代数第一学期期中自测题

A组一、填空题(每小题3分,共36分)1.方程7x2-(x+3)2=(x+1)2的二次项系数是,一次项系数是,常数项是.2.如果x2=0.81,那么x1=,x2=.3.分解因式x2+3x-4=.4.三个连续偶数的平方和是200;那么这三个偶数是.5.方程mx2+2x-m=0的根的判别式等于8,则m=.6.已知方程3x2+7x-6=0的根是x1=23,x2=-3,则二次三项式3y2+7y-6可分解为.7.方程x2+px+q=0的两根是-1和3,则p=,q=.8.关于x的方程(a-2)xa2-2-x+3=0是一元二次方程,则a=.9.制造某种产品,原来每件的成本是100元,由于连续两次降低成本,现在的成本是49元.如果每次降低成本的百分数相同,则每次降低成本的百分数…     

运用数学思想巧做因式分解问题

学习数学不仅是学习知识和提高能力,更是让学生真正理解数学知识与技能、思想和方法,用数学思想指导知识的应用和能力的提升.掌握数学思想,就能很好地解决因式分解,快捷地解题计算. 一、类比思想,触类旁通 如果把整数120进行因数分解就是4×5×6,与之相类似的是a2-b2就足((a+b)和(a-b)的相乘的结果.因此,多项式a2-b2就可以分解为(a+b)(a-b),由此可知(a+b)和(a-b)皆为a2-b2的因式.如此进行类比,不仅很容易就让学生理解因式分解的意义,而且为因式分解的方法提供了思路,真正是由此及彼,类比晓理.     

例谈充要条件在解题中的应用

在高中数学课本中 ,介绍了“充分条件”和“必要条件”的概念 ,教学上往往是局限于能判断给定命题中条件的充分性或必要性 .但笔者认为学习充要条件的概念更重要的意义在于 ,有许多题目本身并未出现“充分条件”和“必要条件”的字样 ,但在解题思考中 ,自觉应用“充分条件”“必要条件”的概念 ,却成为加深理解 ,避免误入歧途的重要保证 .学生在解题思考中经常会因忽视“充分条件”和“必要条件”的应用从而导致错解 .例 1　已知 :2≤ a +b≤ 4 ,1≤ a- b≤2 ,求 4 a - 2 b的范围 .错解由题设条件 2≤ a +b≤ 4 (1)　　　 1≤ a - b≤ 2 (2 …     

记一次歪打正着的研究性学习

<正>在因式分解的公式法中,有两种公式.一是平方差公式,二是完全平方公式.但当我们遇到一些二次三项式,它们既不能提取公因式,又不能套用公式时,就可以尝试用十字相乘法来分解因式.所谓十字相乘法就是把二次三项式分解因式如下:x~2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q),在这一过程中往往需要多次试验才能成     

运用“主元法” 巧解现奇迹

“主元法”是一种特殊的解题方法,主要用于处理含有多个变量的数学问题.此法解题的关键在于将一个变量视为“主元”,其它变量均视为“常量”,使之化为我们熟悉的结构形式,从高层次上获取解题灵感.现例举此法在解题上的多种用途. (一)巧妙分解因式例1 分解因式m3-1-m2n-2mn+n2. 分析:若按部就班去分解,无“路”可走,但转换角度。视n为主元,则柳暗花明. 解:以n为主元,加以变形得原式=n2-(m2+2m)n+(m3-1) =[n-(m-1)][n-(m2+m+1)] =(n-m+1)(n-m2-m-1). (二)巧解方程     

分组分解法的基本思路

人教版初中《代数》第二册第八章介绍了因式分解的提取公因式法,运用公式法,分组分解法以及ｘ2+(ｐ+ｑ)ｘ+ｐｑ型式子的因式分解,其中的分组分解法是这几种方法中的重点和难点.本文介绍分组分解因式的几种基本思路,以帮助读者学好这部分的内容.一.直接分组1.按公因式分组例1　分解因式:ｘ2-ｘｙ+ｘｚ-ｙｚ.(2001年河北省中考试题)分析:多项式中第1,2项有公因式ｘ,第3,4项有公因式ｚ,可把它们各分为一组.解:原式=(ｘ2-ｘｙ)+(ｘｚ-ｙｚ)=ｘ(ｘ-ｙ)+ｚ(ｘ-ｙ)=(ｘ-ｙ)(ｘ+ｚ).2.按公式分组例2　分解因式:ｘ2-ｙ2+ｙ-14.(2000年北京市大兴县中…     

问题与解答

一、本期问题 1 已知x~2-y~2-z~2=0,试将x~3-y~3-z~3分解为一次因式的积。 2 求证(3+7~(1/2))~n的整数部分是奇数。 3 已知x~2+y~2≤1,(x、y∈R)试证5-2~(1/2)≤u(x,y)=|x+y|+|y+1|+|2y-x-4|≤7 宜昌市一中叶家振提供 4 解方程     

分组分解因式的另一种形式

本刊84年第8期刊登的《分组分解因式的教法探讨》一文,其中说“也可按x或y降幂排列再用十字相乘法分解”,本文就此作为分组分解因式的另一种形式补出,以供读者参考。为了研究方便起见,我们先把一般式即(Ax+By+p)(Cx+Dy+q)展开得: ACx~2+(AD+BC)xy+BDy~2+(Aq+pC)x     

一元多项式整根的判定

由高中代数第三册第一章的内容可知,若整系数多项式f(x)=a厂+a,:一l了一’+…+alx+吻有因式二一冬(其中p I’定是首项系数a,,的约数,q是互质的整数)那么P ?一定是末项系数内的约数.当户二1时,因式即成为x一q.为了判定x一q是否为f(x)的因式,对于q的可能值要经过检验,这是够麻烦的。下面的整根判定定理可以帮你减轻部分劳动量,特别是在判断当a,=1时f(x)有无有理因式方面有独到的功效. 盆根判定定理:一个整系数的多项式f(x),若f(o)和f(l)均为奇数,则当x不管为任何整数时,f(x)手0,(即多项式f(x)无整根). 证明:设f(x)二a,了+a,一;广一’+…+。x…