等腰梯形的一个性质及推广

性质等腰梯形的一条对角线与一腰的平方差等于上下底的积.如图1,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,则BD2-AB2=AD·BC.证明∵梯形ABCD是等腰梯形,∴BD=AC.∵等腰梯形有一个外接圆,由托勒密定理得BD·AC=AB·CD+AD·BC,并注意到AB=CD,故BD2-AB2=AD·BC.推广1如图2,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,P是BC上任意一点,则PD2-PA2=AD(PC-PB).     

由一个性质定理的多种证明所想到的

等腰梯形的性质定理:等腰梯形在同一底上的两个角相等.(四年制几何第二册,第117页) 已知:如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC. 求证:∠B=∠C.     

等腰梯形底上一点的性质

<正>性质1如图1,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,E是BC上一点,若直线AE与☉ECD的另一个交点为F,则AB²=BE·EC+EF·AE.证明连结DF并延长交BC于点G,显然∠AEB=∠GDC,因为四边形ABCD是等腰梯形,所以∠ABE=∠GCD,于是△ABE∽△GCD,     

一道有关梯形的竞赛题的证明

<正>某地九年级竞赛试卷中有如下一则关于梯形的赛题:已知:如图1,梯形ABCD中,AD∥BC,梯形四内角的角平分线AE、BG、CG、DE相交构成四边形HEFG,HF⊥GE,垂足为N.求证:梯形ABCD是等腰梯形.分析证明一个梯形是等腰梯形的常见方法是证明这个梯形两腰相等或者同一底边上的两底角相等或者对角线相等.梯形常见的辅助线添法有作高线、平移一腰、平移对角线、     

一道传统试题的研究及引申

今天,老师在引导我们研究一道传统试题后,又让我们发现了这一试题的两个引申,现介绍如下,供同学们学习时参考."梯形"练习题中有这样一个问题:已知等腰梯形ABCD,AD∥BC,对角线AC⊥BD,AD=3cm,BC=7cm,求梯形的面积S.参考书中通常介绍如下三种作辅助线的方法(如图1).     

梯形中位线定理的深化

初中数学课本中的许多重要概念、定理,需要同学们在知识积累中主动回味、反复发掘,才能较深入的领悟问题的本质.梯形中位线定理就是如此.四边形--梯形中位线定理的第一次接触在课本《四边形》一章中,梯形中位线定理的内容表述为:定理1如图1-1,在梯形ABCD中,AD∥BC,AM=MB,DN=NC,则MN∥BC,且MN=1/2(AD+BC).     

用“两平行线间的距离处处相等”解题

<正>"两平行线间的距离处处相等"是平行线的一条重要性质,在有关几何问题中,若能构造出平行线间的两条垂线段,应用上述性质往往可化难为易,思路清晰简洁.下面举例说明.例1如图1,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,对角线AC⊥BD,垂足为O,过点A作AP∥BD,连接DP.若DP=DB,且AD=2^(1/2),     

直角梯形问题举例

近几年来的中考数学考题中出现了许多与直角梯形有关的题目,这些题目设计新颖,创新独特,令人注目.现举几例,供参考.一、动点问题例1 如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=7,BC=3,AD=2,     

翻析与旋转问题的解题技巧

20 0 4年中招试题中 ,部分省市考查了几何图形的“翻折”与“旋转” ,试题十分有趣 ,下面以中考题为例 ,探究这类问题的解题技巧 .一、图形的“翻折”例 1　如图 ,等腰梯形ABCD中 ,AD∥BC ,∠DBC=45°,翻折梯形ABCD ,使点B重合于点D ,折痕分别交AB、BC于点E、F ,若AD =2 ,BC =8.求 (1 )BE的长 ,(2 )∠CDE的正切值 (2 0 0 4年上海市中考题 )分析 :设BD与EF交于G ,EF是折痕 ,那么EF是△BFE、△DFE的对称轴∴BD被EF垂直平分 .∴BE =DE ,而∠1 =∠DBC =45°∴∠BED =1 80°-∠DBC -∠ 1 =90°在Rt△BDE中BE =BC -…     

画图致错两例

学几何一定要画准图,这是进一步学习几何图形性质及应用的前提.由于画图方面的错误肯定会导致推理错误,可谓一错全错,甚至得出谬论.现有两例:一、线段等于负数.例1如图1,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,BC=4,对角线AC=5,BD=3.试求此梯形的面积.     

一道源于课本习题的中考试题探究

一、试题探源义务教育课程标准实验教科书人教版八年级数学下册P119页练习中第2题是:图1如图1,四边形AB-CD由三个全等的等边三角形组成,它是一个等腰梯形吗?为什么?由题设条件不难判断四边形ABCD为等腰梯形.反思求解过程,可发现此梯形由题设条件有AB=CD=AD,BC=2AD.即梯形的上底与两腰相等,下底等于上底的两倍,且下底角等于60°.     

等腰梯形判定定理的再证

本人曾在贵刊2010年第8期上发表了一篇《等腰梯形判定定理的另证》,现借贵刊一角,再给出另外一种证明方法.等腰梯形判定定理若一个梯形的对角线相等,则这个梯形是等腰梯形.已知在梯形ABCD中,AB∥DC,AC=     

一道几何题的推广和简证

<正>问题呈现^([1])如图1,设E、F分别是平行四边形ABCD的边AB和AD的中点,线段CE和BF相交于点K,点M在线段EC上,且BM∥KD.证明:△KFD和梯形KBMD的面积相等.本题系文[1]的例15.经研究,在BC∥AD的前提下,条件AB∥CD除了得到AD=BC外没有其他应用.如果把条件AB∥CD换成AD边和BC边之间具有某种数量关系,再把点E和F的位置一般化,就得到了下面的推广.     

模式识别 突破背景

一般的"智慧题"都有一个关键背景点,解题学习实践经历告诉我们只要突破了"背景",问题就易于解决了.下面以一道中考压轴试题为例.一、问题呈现已知梯形ABCD,AD∥BC,AB⊥BC,AD=1,AB=2,BC=3.     

一道中考面积最值问题的三种解法

求图形面积的最值往往有一定的难度,怎样解这类题?请看下面一道中考题,希望同学们从中能受到启发.题目(2011陕西)如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,对     

一道阅读理解中考题的解法探究与结论拓展

数学学习中,经常要对中考试题进行探索和研究,特别是对一些只要求直接写出答案,不要求写出推理过程的试题,更成为我们探究的热点.下面以201 1年北京市中考的一道阅读理解试题进行探究,供大家参考. 一、试题重现 (2011北京中考第22题)阅读下面材料: 小伟遇到这样一个问题,如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC,BD相交于点O.若梯形ABCD的面积为1,试求以AC,BD,AD+BC的长度为三边长的三角形的面积.     

一道中考数学题的另证

<正>近日阅读文,受益匪浅,深受启发.通过认真研究该中考题,又得到多种另解,在此写出来,与广大同学和老师交流.2012年大连市中考第25题:如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=2∠BCD=2α,点E在AD上,点F在BC上,且∠BEF=∠A.(1)∠BEF=(用含α的代数式表示);     

梯形中位线定理的推广与应用

我们知道 :梯形中位线之长 ,等于上下底之和的一半 ,进一步可推广为如下的定理　在梯形 ABCD中 ,平行于底的直线与腰 AB、DC分别相交于 P、Q.若 AP∶ PB= m∶ n(如图 1 ) ,则有PQ =m .BC n .ADm n .证明　连结 AC,与 PQ相交于 M,由于PQ∥ BC∥ AD,则可得到PMBC=APAB　 　 PM =mm n BC,MQAD=CQCD　 　 MQ =nm n AD.将以上两式相加 ,即得结论 .显然 ,当 m∶ n=1时 ,即为梯形中位线定理 ,恰当运用上述推广定理 ,对某些几何问题的解答将显得十分方便和有效 ,请看下面的几例 .　图 1　　　　　　　图 2例 1　在ΔAB…     

另解课外练习题两例

<正>贵刊2017年4月下课外练习栏目初二年级的第2题:如图1,直角梯形ABCD中,∠C=45°,AD=1,CD=22^(1/2),BE⊥CD于E,求BE之长.参考答案解延长AD至F,使得AF=BC,连CF,易知:四边形ABCF为矩形,且△DFC为等腰直角三角形.在Rt△DFC中,由勾股定理知CF=FD=2.∴AF=AD+DF=3.     

确定动点求最值

动点最小值问题,难点在于确定取得最值的动点的位置.破解方法是紧扣轴对称性质,画出一个定点关于对称轴的对称点,找出待确定的动点,把折线段变成直线段,下面析解几例,供同学们参考.例1如图1甲,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=AD=1,∠B=60°,直线MN为梯形ABCD的对称轴,P为MN上一点,那么PC+PD的最小值为.