借助力学概念求解二阶非线性微分方程

借助于力学中的保守力、势函数的概念和机械能守恒求解二阶微分方程有时是方便的(1).例如,非线性方程 十分类似于力学中的数学摆方程(2),只要将自变量x换为时间t. 为了求解方程(1),我们形式地将看作“加速度”,“单位质量的保守力”是其中“势函数”(见图一)是积分方程(1)给出‘其中E是积分常数,这可以看作系统的“机械能守恒”表达式,其中为系统的“动能”,为总能量.如果初值条件,代入(4)式,有再次积分(4)式,得(6)式右边是椭圆积分. 当E很小,即很小,因而很小,(6)式近似给出简谐解不难看出,该解也正是方程(1)简谐近似为方程的解. 当B一炉…     

McMillan T_c公式的解析推导(Ⅰ)μ~*=0情形

作者在μ~*=0情形,从Eliashberg方程解析地导出如下的T_c公式: T_c=αω_(10g)exp{-b(1 cλ/λ)}式中α=2γ/π,b=c=1;Inγ=C=0.5772是Euler常数。 这个T_c公式只有在T_c=0.36/α(k)以下才是正确的,α是个大于1并随材料而异的常数。我们推测,当T_c超过上述范围后,T_c公式的函数结构很可能不同于McMillanT_c公式,至少α,b和c等参量不再是些不依赖于材料的常数了。     

物理极值问题例解

1 利用基本不等式求极值: 根据数学知识知,当4>0,B>0时,有(A B)≥AB~(1/2),利用此式可得以下两个性质:①若A·B=常数,则当A=B时,(A B)有极小值; ②若A B=常数,则当A=B时,A·B有极大值。 例1.如图所示,小球从高度为H的A点由静止开始沿光滑曲面滑下,从曲面底部     

McMillan Tc公式的解析推导(Ⅰ)——μ*=0情形

作者在μ^*=0情形,从Eliashberg方程解析地导出如下的T_c公式:T_c=αω_logexp{-b((1+cλ)/λ)},式中α=2γ/π,b=c=1;Inγ=C=0.5772是Euler常数。这个T_c公式只有在T_c=0.36/α(k)以下才是正确的,α是个大于1并随材料而异的常数。我们推测,当T_c超过上述范围后,T_c公式的函数结构很可能不同于McMillan T_c公式,至少α,b和c等参量不再是些不依赖于材料的常数了。 关键词：     

Airy函数乘积的积分

本文提出对∫xⁿA^(p)B^(q)dx型不定积分普遍方法,其中A,B都是含有参变量λ的Airy方程y″=(λ+x)y的解,p,q是微分阶数,n是非负整数。当p,q≤1,A与B所含的参数不相同时,本文导出了上述积分普遍公式。当A=B时,又提出了与Albright完全不相同的求积方法。作为它的应用,本文讨论了处于三角势阱中电子的波函数正交归一问题,并计算了势阱中能级间的跃迁几率。 关键词：     

角变位移方程的研究

本文旨在:(1)提出完全的角变位移方程,使可精确的解算任何形式的平面刚构,只要其能视为由若干桿件组成即可。这里的所谓“完全”,系指方程中已包括一切可能的形变值在内,而且包括轴向应力及剪应力之影响。(2)全面的讨论桿件常数的定义、数量和相互关系,并供给计算各常数的最一般性公式。(3)将上述全面的和精确的公式逐步简化,以便与目前常用的公式比较。(4)讨论某些特殊情况。     

散射幅的渐近行为和高能非弹性作用

假设当t<0时,真空Regge极点变为一对共轭复数,计算了高能道么正积分的弹性部分,结果亦得到应有一系列的支点。弹性积分不可能得到相应其他Regge极点的渐近项。把Regge表示推广应用到非弹性过程,得到有限粒子束的产生截面随(Ins)^-3下降。要使总截面趋于常数,则束数应达到Ins的数量级。     

有关临界阻尼振动特性的两点证明

对于一个有阻尼的弹簧振子,振动物体的运动微分方程为式中m为振动物体的质量,K为弹簧的劲度系数,r为阻尼系数. 令(ω0为振子固有频率),=2β(β为阻尼因子),则运动微分方程变为上式的解有三种情形: A.当β2>ω01时,有过阻尼振动解 B.当β2=ω02时、有临界阻尼振动解 C.当β2<ω02时,有阻尼振动解 一、对x临(t)“临界性”的证明 当β→ω0时,从表面上看x过(t)和x阻(t)的临界形式似乎是C’1e-ω0t,为什么在x临(t)中会出现c’zte-“。‘项,对这个问题,我们作如下证明. ,设振动的初始条件X一回。,可以定出三种解中的常数,即得 Zgi() 证明1当B…     

应用叠代法求单摆周期公式

摆长为1的单把作有限振动时,运动方程是其中对(1)进行两次积分,可求得其周期如下[1]这是第一类椭圆积分,式中A为最大振幅.将(2)式展开,可以求得其级数解时间测量精度给定之后,可根据上式确定当最大振幅多大时,各级修正才是不可忽略的.表1给出了当T的测量精度为10-5时,A≤30°的各修正项的值. 由表1可见,当摆幅在20°时,第二项修正值仍在测量误差范围之内,只在θ　25°时,第二项才是不可忽略的.在实际上只考虑第一项修正就足够了. 下面我们用另一种方法推导(3)式. 将(1)左边的sin θ项展开,即对单摆,振幅最大为2,而θ相似文献   

用费米能量“非汉字符号”_m~0表示“费米积分”的近似值

应用费米一狄拉克统计解决具体问题,常遇到 类型的积分(下文简称“费米积分”)。式中f()为费米一狄拉克分布函数,　　为任意一个满足 = 0, F()=0的连续函数。许多教材[1]已经证明:在 μ》KT的条件下,“费米积分”的近似值但由于(2)式是用费米子的化学势μ、而不是用费米能量　0m来表示。因此,应用(2)式来计算每一问题之后,均要利用μ与　0m之间的关系进行代换,才能得到最后的结果[2]。为了避免这种重复性的计算,本文拟在(2)式的基础上,用费未能量　0m来表示“费米积分”的近似值;并举数例说明所得结果的应用。 一、用费未能量表示“费米积…     

晶粒间界相及结构缺陷对HDDR 粘结磁体矫顽力的影响

本文根据氢化／歧化／脱氢／重组（HDDR）Nd-Fe-B 磁粉晶粒边界微结构的特点,建立了缺陷区内的磁晶各向异性常数K1´及交换积分常数A1´的双变量连续变化模型,研究了晶粒间界相厚度d及晶粒表面结构缺陷厚度r0对磁体矫顽力的影响。结果表明：晶粒表面各向异性常数K1(0)、交换积分常数A1(0)及r0取不同值时,磁体的矫顽力Hc均随d增加而增大。K1(0)和A1(0)取确定值时,相同的d值对应的Hc随r0的增大而上升。r0和d取确定值时,Hc随K1(0)或A1(0)的减小而增大。当d 为1nm,r0 在 (2~5) nm范围内,A1(0)和K1(0)的值分别在A1和K1值的(0.6~0.7)范围内变动时,计算的矫顽力与实验值符合得很好。     

晶粒间界相及结构缺陷对HDDR 粘结磁体矫顽力的影响

本文根据氢化／歧化／脱氢／重组（HDDR）Nd-Fe-B 磁粉晶粒边界微结构的特点,建立了缺陷区内的磁晶各向异性常数K1´及交换积分常数A1´的双变量连续变化模型,研究了晶粒间界相厚度d及晶粒表面结构缺陷厚度r0对磁体矫顽力的影响。结果表明：晶粒表面各向异性常数K1(0)、交换积分常数A1(0)及r0取不同值时,磁体的矫顽力Hc均随d增加而增大。K1(0)和A1(0)取确定值时,相同的d值对应的Hc随r0的增大而上升。r0和d取确定值时,Hc随K1(0)或A1(0)的减小而增大。当d 为1nm,r0 在 (2~5) nm范围内,A1(0)和K1(0)的值分别在A1和K1值的(0.6~0.7)范围内变动时,计算的矫顽力与实验值符合得很好。     

波带片的衍射(二)

四、波带片成象 若用一点光源照明波带片(图6),入射波是球面波,波带片的表面不再是入射波的同位相面,按照菲涅耳-基尔霍夫公式,P点的振动应为式中U0′为点源S发出的球面波传到单位距离处的振幅,按照平面波入射时完全相同的近似讨论,并令 ε′=cosθ cosθ,上式可写为积分上式,令,并取 U(P)之共轭量相乘得上式即为沿轴线之衍射光强分布公式.由此式可知,当φ′=±(2n-1)(n为整数)时,光强为主极大,生成多级象.各级象的位置满足公式若令j。一b。/上(Zn—1),上式成为与几何光学中薄透镜成象的高斯公式相似的形式 六十于一年一(式中b’一物距,…     

稳定磁场矢势的边值关系

在利用矢势求解稳定磁场的边值问题时,矢势的边值关系是极为重要和必不可少的.但通常电动力学教科书中对矢势的边值关系讨论很少,《大学物理》今年的一篇文章中作了一些介绍①,讨论仍嫌不足.本文拟对此作进一步的阐述.一、矢势的边值关系 满足横场条件的矢势A的微分方程为其对应的积分形式为(4)式中L为S的边界线,(6)式中S为V的边界面,Jf为传导电流密度,M为介质的磁化强度.由(3)式过渡到(6)式的方法如下:将(3)式两边对体积V积分得再利用公式就得到(6)式.将方程(4)—(6)应用到不同介质分界处,可以导出矢势的边值关系,矢势的边值关系就是矢…     

方程式及变量的独立性

“匀变速直线运动”中 ,包含五个变量 ,即初速度ｖ0 ,末速度ｖ ,加速度ａ ,时间ｔ及路程ｓ.理论上讲这五个变量之间存在着无数的公式 ,但最有用的只有下面五个 :ｖ =ｖ0 ａｔ (1 )　ｓ =ｖ0 ｖ2 ｔ　(2 )ｓ=ｖ0 ｔ 12 ａｔ2 　 (3 )　ｓ =ｖ2 -ｖ202ａ 　(4 )ｓ=ｖｔ- 12 ａｔ2 (5)我们研究一下这五个公式 ,可看出 ,式中依次没有ｓ、ａ、ｖ、ｔ、和ｖ0 ,即式 (1 )到式 (5)各是ｖ0 、ｖ、ａ、ｔ;ｖ0 、ｖ、ｔ、ｓ;ｖ0 、ａ、ｔ、ｓ;ｖ0 、ｖ、ａ、ｓ;ｖ、ａ、ｔ、ｓ之间公式 ,每一个公式都只包括四个变量 .下面的问题是 ,这些公式之间有几…     

关于竖直上抛运动公式的讨论

竪直上抛物体运动是属于匀减速运动,它的运动规律由下面两式决定:V_t=V_o—gt,(1) H=V_ot—(1/2)gt~2。(2) 在应用上述公式时,得出以下三个结论: (1)公式不仅适用于物体上抛至最高点的匀减速运动过程,而月。也适用于物体抛至最高点后,再下落的匀加速的运动过程.也就是说,适用于坚直上抛物体运动的整个过程(即上升阶段和下降阶段)。(2)式中V_t表示物体运动t秒末的即时速度: 甲.V_t>0,则V_t与V_o同向,物体在上升过程; 乙.V_t<0,则V_t与V_o反向,物体在下落过程。(3)式中H表示物体对抛出点的位移:     

柱对称等离子体中逃逸概率近似表达式

柱对称等离子体中谱线逃逸概率公式含有五重复杂的数值积分.采用源缓交近似又速度线性近似,对多普勒线型,由中间值定理给出逃逸概率近似表达式.近似表达式为含误差函数的一重高斯型积分,数值计算大大化简.对物理上感兴趣的速度常数项与线性项之比绝对值<1,且逃逸概率>0.1的情况,近似表达式误差最大不超过7%;速度常数项为零时,误差<1%.     

理想气体的定义和它与热力学第二定律的关系

本文証明,定义理想气体必須用两个相互独立的方程。除PV=nRT外,若不用((?)E/(?)V)_T=0,便要用T=0。論証表明,仅根据PV=nRT,由第二定律仍不能得到((?)E/(?)V)_T=0,以下将根据第二定律的喀喇氏公式和卡諾循环来証明这一点。在大多数热力学教科书中,第一定律提出以后跟着就討論一些例子,而理想气体則是这种恰当的例子,它的定义通常由PV=nRT,(1) ((?)E/(?)V)_T=0 (2)給出,式中P为压強,V为容积,n为克分子数,R为气体常数,E为能量,而T为用理想气体温标测量的温度。提到这个定义时,往往有人认为第二个式子可以省略掉,因为他們誤认为,当由第二定律导出某些方程后,此式便能由第一     

空间散斑的运动规律

相干光照明的漫射表面在空间中产生随机散斑。反射表面相对于光源运动,引起散斑的相应运动。当跟踪一个运动的斑,认为斑的强度不变,而位相是可以变化的。从Fresnel-Kirch-hoff积分,得到关于散斑运动的三个基本规则,即文中的(3),(4)和(5)式。第一和第二式类似于光栅方程。第三式类似于透镜定律。从这三个规则推导了当表面运动时散斑的运动公式(18)。这公式以矩阵形式表示,包括三个转动和三个平动。实验结果与公式非常符合。同时,三个基本规则适用于一般的空间衍射图。 关键词：     

热力学余函数的特性函数——内压能

一、问题的提出 实际气体的性质可以通过实际气体各状态函数对“同温”、“同压”下理想气体各相应状态函数的偏差(即所谓余函数)表示出来.这些余函数均可通过对相应函数的微分方程结合实际气体状态方程从极低压力(P_0)沿定温线积分而得出.然而,在实际应用这些积分式进行计算时,会遇到如下两方面的困难: