线性子空间上求解AXB+CXD=F的最小二乘问题的迭代算法

应用共轭梯度方法和线性投影算子,给出了求解线性矩阵方程AXB+CXD=F在任意线性子空间上的最小二乘解问题的迭代算法.在不考虑舍入误差的情况下,理论上可以证明,所给迭代算法经过有限步迭代可得到矩阵方程AXB+CXD=F的最小二乘解,极小范数解及其最佳逼近.该算法可以应用于任何线性子空间,包括由对称矩阵,中心对称矩阵等构成的线性子空间.文中的数值例子证实了该算法的有效性.     

强正定二次型与Weyl-Heisenberg 框架的构造

本文研究了一类具有特殊结构的无限维二次型, 得到这类二次型的对称矩阵是符号为多项式的模的平方的Laurent 矩阵, 进一步得到了这类二次型是强正定的判断标准以及一类Weyl-Heisenberg 框架的构造. 本文还研究了这类二次型的矩阵的所有有限维主对角子矩阵的强正定性, 并由此得到一类子空间Weyl-Heisenberg 框架的构造. 最后举例说明本文的主要结果及其应用. 本文建立了两个看似不相关的领域间的联系.     

不变子空间与广义不变子空间——(Ⅱ)扰动定理

关于矩阵的不变子空间,自然会提出这样一个扰动问题:设Z_1∈C~(n×l)是A∈C~(n×n)的一个特征矩阵,若E∈C~(n×n)是一个扰动矩阵,问A+B是否存在特征矩阵Z_1,使得(Z_1)靠近R(Z_1)?关于矩阵对的广义不变子空间.也可以类似地提出问题。 对于这些问题,G.W.Stewart曾经讨论过,他的方法的关键是构造一种求解二次矩阵方程的迭代过程,用来逼近矩阵的一个不变子空间;而本文建议另一种迭代格式,用这种迭代逼近一个不变(或广义不变)子空间,具有二次收敛速度。     

与M-矩阵相关的一类二次矩阵方程的新迭代法（英文）

本文研究与M-矩阵相关的一类二次矩阵方程的数值解法.这类方程源于马尔可夫链的带噪Wiener-Hopf问题,其解中具有实际意义的是M-矩阵解.通过简单的变换,将该二次矩阵方程转化为M-矩阵代数Riccati方程.提出一种新的迭代方法,并对其进行收敛性分析.数值实验表明,新的迭代方法是可行的,且在一定条件下比现有的一些方法更为有效.     

矩阵方程AXB+CY D=E的三对角中心对称极小范数最小二乘解

本文研究了矩阵方程AXB+CY D=E的三对角中心对称极小范数最小二乘解问题.利用矩阵的Kronecker积和Moore-Penrose广义逆方法,得到了矩阵方程AXB+CY D=E的三对角中心对称极小范数最小二乘解的表达式.     

子空间约束下矩阵方程ATXB+BTXTA=D的解及最佳逼近

约束矩阵方程求解是指在满足一定约束条件下求矩阵方程（组）的解.在子空间约束条件下,利用共轭梯度法,结合线性投影算子,得到矩阵方程A^TXB+B^TX^TA=D的解,进一步得到其最佳逼近.最后用数值例子证实了算法的有效性.     

矩阵方程AXB=C最小二乘D反对称解

首先将对称矩阵推广到D反对称矩阵,然后研究了方程AXB=C的D反对称最小二乘解,利用矩阵对的广义奇异分解、标准相关分解及子空间上的投影定理,得到了最小二乘解的通式．     

乘积∏_(k=1)~n(ak~2+bk+c)的平方性

本文证明了乘积∏_(k=1)~n(ak~2+6k+c)(f(x)=ax~2+bx+c∈Z[x]是二次不可约多项式)在n充分大时不是平方数.     

关于二次型零点的注记

给出复系数和实系数n元二次型零点向量组的秩,以及最大零点子空间的维数.证明了正负惯性指数为p,q的实二次型的最大零点子空间的维数为n-max{p,q},以及秩为r的复二次型的最大零点子空间的维数为■.     

子矩阵约束下矩阵方程AXB=E的极小范数最小二乘对称解

本文主要研究了任意子矩阵约束下矩阵方程AXB=E的极小范数最小二乘对称解问题,方法是借助于子空间的基将约束问题转化为非约束问题,可以应用到线性矩阵方程的所有子空间约束解问题．     

Numerical analysis for the quadratic matrix equations from a modification of fixed‐point type

In this paper, we study the quadratic matrix equations. To improve the application of iterative schemes, we use a transform of the quadratic matrix equation into an equivalent fixed‐point equation. Then, we consider an iterative process of Chebyshev‐type to solve this equation. We prove that this iterative scheme is more efficient than Newton's method. Moreover, we obtain a local convergence result for this iterative scheme. We finish showing, by an application to noisy Wiener‐Hopf problems, that the iterative process considered is computationally more efficient than Newton's method.     

关于一类二阶矩阵方程的敏度分析

In this paper, the sensitivity of the solution for a class of quadratic matrix equation which arises in the analysis of structural systems and vibration problems is discussed. With Brouwer fixed piont theory, the perturbation of the quadratic matrix equation is analyzed and two computational perturbation bounds are derived. Then a Rice condition number of some kind of solutions is given using the analytic expansion method. Two examples are presented in the last part.     

一类二次矩阵方程的条件数和后向误差

主要讨论一类二次矩阵方程X^2-EX-F=0的条件数和后向误差,其中E是一个对角矩阵,F是一个M矩阵.这类二次矩阵方程来源于Markov链的噪声Wiener-Hopf问题.实际问题中人们感兴趣的是它的M矩阵的解.应用Rice创立的基于Frobenius范数下的条件数理论,导出此类二次矩阵方程的M矩阵解的条件数的显式表达式.同时,也给出近似解的后向误差的定义以及一个可计算的表达式.最后,通过数值例子验证理论结果是有效的.     

Matrix pencils and existence conditions for quadratic programming with a sign-indefinite quadratic equality constraint

We consider minimization of a quadratic objective function subject to a sign-indefinite quadratic equality constraint. We derive necessary and sufficient conditions for the existence of solutions to the constrained minimization problem. These conditions involve a generalized eigenvalue of the matrix pencil consisting of a symmetric positive-semidefinite matrix and a symmetric indefinite matrix. A complete characterization of the solution set to the constrained minimization problem in terms of the eigenspace of the matrix pencil is provided.     

Numerical analysis of a quadratic matrix equation

The quadratic matrix equation AX²+ BX + C = 0in n x nmatricesarises in applications and is of intrinsic interest as oneof the simplest nonlinear matrix equations. We give a completecharacterization of solutions in terms of the generalized Schurdecomposition and describe and compare various numerical solutiontechniques. In particular, we give a thorough treatment offunctional iteration methods based on Bernoulli’s method.Other methods considered include Newton’s method with exact line searches, symbolic solution and continued fractions.We show that functional iteration applied to the quadraticmatrix equation can provide an efficient way to solve the associated quadratic eigenvalue problem (²A + B + C)x = 0.     

二次矩阵方程X~2-bX-C=O的正定解

研究二次矩阵方程X2-bX-C=O(b>0,C为n×n阶正定阵)的正定解,证明了解的存在唯一性并且给出了求解方法.     

浅谈正定二次型的习题课设计

在高等代数的实二次型内容中,正定二次型占有特殊的地位.本文从概念的回顾、正定二次型与正定矩阵的判断、二次型正定及矩阵正定的性质、其它类型二次型四个方面来设计正定二次型的习题课,并通过具体例子说明例题、习题精选的原则.     

方程xy+yz+zx=n的正整数解

本文用 Ｓｉｅｇｅｌ－Ｔａｔｕｚａｗａ定理证明了：当ｎ＞１．２×１０~１１时,至多有两个正 整数ｎ。使方程ｘｕ＋ｙｚ＋ｚｘ＝ｎ无适合（ｘ,ｙ,ｚ）＝１且０＜ｘ＜ｙ＜ｚ的解（ｘ,ｙ,ｚ）, 并给出类数为２的二次域与多项式表素数的一个结果．     

On the stability of a mixed functional equation deriving from additive,quadratic and cubic mappings

In this paper, we investigate the general solution and the Hyers–Ulam stability of the following mixed functional equation f(2x + y) + f(2x- y) = 2f(2x) + 2f(x + y) + 2f(x- y)- 4f(x)- f(y)- f(-y)deriving from additive, quadratic and cubic mappings on Banach spaces.     

关于广义二次算子

设B(H)表示定义在希尔伯特空间H,上的所有有界线性算子的全体.如果A∈B(H)满足二次算子方程A2=αA βP,其中α,β∈C,P是一个非零的幂等算子且AP=PA=A,则称A为广义二次算子.记L(P)为关于幂等算子P的广义二次算子之集.我们用算子谱论的方法研究了L(P)的谱和群逆等相关性质,并推广了R. W. Farebrother和G. Trenkler的结论.