一个三角不等式的推广及加强

本文对一个三角不等式进行推广,得到一个新的结论,最后加强新结论,形成一个不等式链.     

一个三角不等式的推广

文 [1]证明了“若α ,β ,γ为正锐角 ,且ｓｉｎ2 α ｓｉｎ2 β ｓｉｎ2 γ =1,求证 :α β γ <π2 ”后 ,作了本题的上界估计 .若α ,β ,γ为正锐角 ,且ｓｉｎ2 α ｓｉｎ2 β ｓｉｎ2 γ =1,求证α β γ≤ 3ａｒｃｓｉｎ 13.文 [1]未对其进行证明 ,现将该不等式作如下推广 .定理　若α1,α2 ,… ,αｎ(ｎ≥ 3)为正锐角 ,且 ｎｉ=1ｓｉｎ2 αｉ=1,则 ｎｉ=1αｉ≤ｎａｒｃｓｉｎ 1ｎ.引理　若α1,α2 ,… ,αｎ(ｎ≥ 2 )均为正锐角 ,并且它们的两两之和也为正锐角 ,则ｓｉｎ2 1ｎ ｎｉ=1αｎ≤ 1ｎ ｎｉ=1ｓｉｎ2 αｉ.证　 …     

一个三角不等式的推广及应用

宋庆先生近年发现了一个新颖、奇特的三角不等式 :[1]在△ ABC中 ,有cos2 A cos B cos C >34( 1 )经探讨发现 ,( 1 )式可推广为如下两个定理 ,并由此轻而易举地解决几个与之相关的Apl问题 .定理 1　在△ ABC中 ,对λ≥ 1 ,n∈ N,有　 cosn A λ( cos B cos C)　 >λ - ( n - 1 )λn2 .n- 1nn- 2 λ. ( 2 )证明　 cosn A λ( cos B cos C)　　 =cosn A 2λsin A2 cos B - C2　　 >cosn A 2λsin2 A2　　 =λ cosn A λcos A.当 A为钝角或直角时 ,- 1 相似文献   

一个常见三角不等式的推广

在△ABC，有不等式 cosAcosBcosC≤1/8 等号成立当且仅当△ABC为正三角形．     

一个常见三角不等式的推广

在△ABC,有不等式cosAcosBcosC≤81(1)等号成立当且仅当△ABC为正三角形.将其推广,笔者获得如下结论.定理在△ABC中,对λ≥0有不等式cosAcosB(cosC λ)≤(1 8λ)2(2)等号成立当且仅当A=B=21arccosλ2-1.证当cosAcosB≤0时,cosC>0,从而cosAcosB(cosC λ)≤0<(1 8λ)2;当cosAcosB     

一个三角不等式的加强

严运华先生在文中建立了一个新的三角形不等式:在△ABC中,有 (tg~2A/2+tg~2b/2+tg~2C/2)cosAcosBcosC≤1/8。 (1)由Child不等式: secA+secB+secC≥6, (2)即 cosBcosC+cosCcosA+cosAcosB ≥6cosAcosBcosC, (3) 自然可考虑(1)的进一步加强形式:     

一个三角不等式猜想的证明及推广

刘健先生在文［１］中提出如下猜想：在任意△ＡＢＣ中,有ｃｏｓＢｃｏｓＣｓｉｎＡ２＋ｃｏｓＣｃｏｓＡｓｉｎＢ２＋ｃｏｓＡｃｏｓＢｓｉｎＣ２＜１①笔者通过研究,发现了这个不等式的一个指数形式：定理在△ＡＢＣ中,有ｃｏｓＢｃｏｓＣｓｉｎｋＡ２＋ｃｏｓＣｃｏ...     

一个三角不等式的别证及推广

常见一些中学数学杂志讨论下列不等式的证明:设A,B,C为三角形三内角,则 sinA+sinB+sinC≤3/2 3~(1/2)。但均限于运用三角函数之变形推出结论。本文拟用几何定理证明上述结论,并加以推广。我们先给出一个引理。引导在圆的内接n边形中,以内接正n边形之周长为最长。问题设A,B,C为三角形的三个内角,则 sinA+sinB+sinC≤(3/2)3~(1/2)。证明设α=ZA,β=2B,γ=2C 则α+β+γ=2(A+B+C)=2π     

一个三角不等式的证法探源及推广

文[1]给出引理：设：x∈（0,π/2）,a^3=1/3（a＞0）,则有sin^2x/1-sin^2x≥2a^2/（1-a^2）^2（sin^3x-a^3）＋a^2/1-a^2     

一个三角不等式的部分加强

第19届全俄中学生数学奥林匹克竞赛中有一个三角不等式问题：     

一个三角不等式的部分加强

第19届全俄中学生数学奥林匹克竞赛中有一个三角不等式问题:求证:对任意的实数x,y,z,有下面的不等式sin2xcosy sin2ycosz sin2zcosx<32(1)成立.文[1]对(1)做了加强,给出一个一般性的结果:命题1设x,y,z∈[0,π2],m,n∈N,则sinmxcosny sinmycosnz sinmzcosnx<1 mmnn(m n)m n(2)并根据(2)将(1)加强为sin2xcosy sin2ycosz sin2zcosx<1 2 39≈1.385(3)文[2]进一步将(3)加强为sin2xcosy sin2ycosz sin2zcosx≤54(4)且54为最小上界.本文用非常简捷的方法对(2)做部分改进.首先指出命题1中的一个不足之处:文[1]认为(2)中不等号的左右两边不会相等.这…     

一个加强不等式的推广

文[1]将法国Mohammed Aassila教授提出的不等式     

一个加强不等式的推广

文[1]将法国Mohammed Aassila教授提出的不等式1a(1 b) 1b(1 c) 1c(1 a)≥31 abc(1)(其中a,b,c>0)加强为1a(1 b) 1b(1 c) 1c(1 a)≥33abc(1 3abc)(2)在证明(2)式时,首先作了适当代换(详见文[1]),即证明了与(2)等价的如下不等式:a1a2 ka3 a2a3 ka1 a3a1 ka2≥31 k(3)其中a1,a2,a     

一个不等式的加强与推广

在高中代数甲种本及乙种本的《不等式》一章中,都有这样一道复习参考题:“求证:1 1/2~(1/2) …” 1/n~(1/2)>n~(1/2)(n>1)(1) 这道题无论用数学归纳法还是用放缩法都不难证明。     

一个不等式的加强及其推广

笔者在翻阅文[1]时,看到如下问题问题1已知x12 x22 … x2100=300,求证:x1 x2 … x100≤200.文[1]指出,可以构造多项式x2-2x 1=(x-1)2≥0进行证明.读完文[1],笔者就想,既然可以构造(x-1)2≥0和(x-3)2≥0来进行证明,那么用其他形如(x-a)2≥0的表达式进行证明行吗?经过试验可知,取a=12时达不到目的,只能得出i1∑=001xi≤325;而当取a=2时,得到了不等式∑100i=1xi≤7400<200,这不仅证明了问题1,而且还把所要证明的不等式∑100i=1xi≤200进一步加强为∑100i=1xi≤7400.因此,我们有理由猜想,在所有不等式1∑00i=1xi≤Bt中,只要选择适当的a,利用(x-…     

一个不等式的推广和加强

19了9年,北京市数学竟赛第一试中有这样一道题: 已知:T“ 夕“簇l, 求证:{厂 2粉一g“{镬丫丁 我们先给出此不等式的一个证明。证明:因x“ g“成i,故可设、二久CoSO,夕二入Sino,其中1入!《1,代入得:!x“ Zx夕一互“}=入“}CoS20 51:20!广和两个加强。 推广:已知x“ ,“簇i,则】C盆义“ C孟x,一‘军一C矛x一“夕“一C孟x’一之夕三 C二x“一‘夕‘ C二x’一”召“一C盖x“一夕“一C二x一?夕7 .二{簇矿万簇斌万}反:(20十粤){蕊了丁 斗这个证明启发我们给出此不等式的一个推(其中n为自然数) 证明:设x=入CoSO,g=入51:0,其中}久1毛1,代…     

一个不等式的推广、加强及应用

文[1 ] 给出了一个不等式 :2 (n + 1 - 1 ) <∑nk=11k<2n - 1 (n>1 )……(Ⅰ)本文对 (Ⅰ )式进行推广并且给出 (Ⅰ )式的一种加强形式 ,最后指出其应用 .定理 1 :已知 {an}为等差数列且a1 >0 ,公差d >0 ,则 2d(an+1 - a1 ) <∑nk=11ak<2d(an - a1 ) + 1a1.证 :因为a1 >0 ,d>0 ,所以 {an}为严格递增正数列 .因为ak - ak- 1 =dak+ak- 1>d2ak(k≥ 2 ) ,所以 1ak<2d(ak -ak- 1 ) . (A)又因为ak+1 - ak =dak+1 + ak2d(ak+1 -ak) . (B)由 (A)式知 ∑nk =11ak<1a1+ 2d[(a2 -a1 ) + ( a3- a2 ) +… + ( an- an- 1 ) ]=2d(an - a1 )…     

一个三角不等式

本文通过实例引出一个三角学上的函数 ,然后以不等式为基本工具研究该函数的极值 ,由此导出一个十分简洁而有用的不等式 .实例　修建厂房中的一个数学应用题在修建厂房时 ,要把一批钢管运进车间 ,须经过如图所示的通道 .求此通道能水平通过钢管的最大长度 .图中的线段ＡＢ表示钢管 ,为简化计算 ,钢管的直径忽略不计 .设ＡＢ =Ｌ(米 ) ,ＡＢ与横墙所成的角为α ,α∈ 0 ,π2 ,要使ＡＢ最长 ,Ａ ,Ｂ应该紧靠通道的墙角 ,易得Ｌ =3ｓｉｎα+ 2ｃｏｓα,α∈ 0 ,π2 .Ｌ(米 )的最小值就是钢管水平通过通道的最大长度 .这里得到的函数是一个形如 …     

一个三角不等式上界的加强及下界的估计

本文用一种全新的方法给出了一个三角不等式的下界估计和更精确的上界估计.     

一个不等式的进一步推广和加强

利用幂级数展式和凸函数的性质把关于一个不等式的推广和强化的两个最新结果推广到更加一般的情形p(p -1 ) d ap- 1pn+1-ap- 1pm <∑nk=m1a1pk相似文献