梅森素数趣谈

素数也叫做质数,其特点是它只能被1和它本身整除.比如2009就不是一个素数,它可以被7整除.许多数学家都在寻找素数的秘密,著名的哥德巴赫猜想就与素数有密切关系;世界上最难的猜想当数黎曼猜想,它也是以素数为中心;欧几里得在两千多年以前就利用反证法证明了有无穷无尽的素数,梅森提出了少量素数可以表示成2~p-1(p为正整数)的形式,但科学家们至今也没有找到这种形式     

费尔马小定理在解竞赛题中的应用

法国数学家费尔马(1601-1665)所提出的猜想:当n是大于2的整数时,不定方程 x~n+y~n=z~n没有整数解。通常,人们称这个至今未获解决的问题为“费尔马大定理”。数论中还有一个被广泛应用的费尔马小定理:若p为素数,则 a~p=a (mod p)。推论:若p为素数,且(a,p)=1,则 a~(p-1)≡1 (mod p)。费尔马小定理在解决数学竞赛的问题中     

费尔马伪素数及其奇妙性质

1　费尔马数与伪素数1640年法国数学家费尔马发现 :F0 =3,F1=5,F2 =17,F3=2 57,F4 =65537都是素数 .据此费尔马猜想 :任何费尔马数 Fn=2 2 n 1都是素数 .然而 ,1732年瑞士数学家欧拉举出反例 :F5=641×670 0 4 17是合数 !从而推翻了费尔马猜想 .180 1年 ,德国数学家高斯证明了当且仅当 n为如下形式的数时 ,才能等分圆周 :( 1) n =2 m ;　 ( 2 ) n =Fm 为费尔马素数 ;( 3) n =2 mp1p2 … pk,其中 pi 为相异的费尔马素数 .虽然高斯完满地解决了等分圆周问题 ,但关于费尔马素数的判别却引起了人们的关注 .到目前为止 ,数学家们只发现前 5…     

稀世珍奇的梅森素数

2009年4月,挪威计算机专家斯特林德莫通过参加一个名为“因特网梅森素数大搜索”（GIMPS）的国际合作项目,发现了第47个梅森素数,该素数为2^42643801-1（即“2的42643801次方减1”）．     

第47个梅森素数被发现

挪威计算机专家奥德·斯特林德莫通过参加一个名为“因特网梅森素数大搜索”（GIMPS）的国际合作项目，最近发现了第47个梅森素数，该素数为“2的42643801次方减1”．它有12837064位数，如果用普通字号将这个巨数连续写下来，它的长度超过50公里!     

梅森素数简介

素数又叫质数,是除了1与它本身外,不能被其他自然数整除的自然数。1644年,法国数学家梅森指出:若P≤31,仅当P=2,3,5,7,13,17,19,31时,2p-1是素数,而211-1及225-1均不是素数,后来,人们把形如2p-1(P是素数)的素数,称为梅     

"大互联网梅森素数寻求(GIMPS)"研究计划进展

梅森素数是一种特殊的素数,它的研究与寻求一直是数论研究的代表性问题之一.寻求梅森素数之路艰辛曲折,其计算复杂性对现代计算能力极具挑战.计算机网络技术的发展,特别是能使虚拟组织共享计算资源的全球分布计算技术,使得寻求速度大大加快.本文综述寻求梅森素数的最新进展及历史进程,并介绍寻求梅森数所用的分布计算技术.     

梅森素数研究的若干基本理论及其意义

梅森素数的研究历史源远流长,意义非凡.介绍相关的定义、理论及算法,归纳此项工作的意义,并讨论一些有待解决的相关数论问题.     

漫长的寻觅梅森素数的历程

漫长的寻觅梅森素数的历程徐品方（四川西昌师专）数论中有一些猜想，是世界最坚硬的磐石，它能轻而易举地挫去人的智慧的锋芒，耗尽人的才华和心血，甚至幸福．荷兰数学家丹齐格（Ｖ．Ｄ．Ｄａｎｚｉｇ，１９００—１９０９）说：“数论是数学中所有部门最难的一门．不错...     

等幂和与判别素数的充要条件

等幂和与判别素数的充要条件王云葵（广西灌阳高中５４１６００）怎样判别一个较大的整数是不是素数？历来是数学家们颇为关心的问题．费尔马小定理给出了判别素数的必要条件，但并不充分；威尔逊定理给出了判别素数的充要条件，但并不便于实际应用．１９５０年居加猜想［...     

Jacobi猜想:一种新的思考方法

本文旨在给出讨论Jacobi猜想的另一方法,在与R.G.Swan教授讨论的基础上我们证明Jacobi猜想与下述有限域上某种形式的Jacobi猜想等价,即:对每个配对(n,d),存在正整数f(n,d),使得对每个大于f(n,d)的素数p,每个多项式映射F:F_p~n→F_p~n,degJ(F)≤d,如果detJ(F)=1,则F是单射,然后应用有限域上射影几何理论将Jacobi猜想转化成有限域上线性代数问题。     

关于居加猜测与默森尼数为素数的充要条件及其他

《关于居加猜测与费尔马数为素数的充要条件》一文(以下称为文[1]),在“数学通报”1981年第12期上刊登之后,著者陆续收到一些读者的来信,询问:既然文[1]的定理1能得出有名的费尔马数为素数的充要条件,那么能否得出有名的默森尼(Mersenne)数为素数的充要条件?又询问及:文[1]的定理1能否对于居加(Giuga)猜测的成立,得出更深入和更直接的结果? 本文将给出上述问题的正面答复,供读者参考。     

关于合数的一个问题

法国数学家费尔马在1640年提出了如下这个著名定理(通称为费尔马小定理): 费尔马小定理:如果P为素数,且gcd(a,p)=1,则     

寓“猜想”能力的培养于平时教学之中

数学中的猜想能力,是一种高级的创造性思维形式.正如牛顿所说:“没有大胆的猜想,就做不出伟大的发现。”数学中就有很多以“猜想”命名的原理与公式,如著名的“哥德巴赫猜想”、“费尔马猜想”等。培养学生某种能力,形成良好的思维习惯,单靠一两个专题报告,或几节课教学是难以完成的,必须寓于平时教学之中,通过艰苦劳动,逐渐完成.本文,根据自己在教学中抓住教材里的有利时机,谈谈培养学生“猜想”能力的一些做法。     

三角形费马点的再推广

1问题的提出1640年,费尔马提出如下问题:“在平面上给出A、B、C三点,求一点P使距离和PA+PB+PC达到最小.”这就是数学史上著名的“费尔马问题”.特别地,点A、B、C三点不共线时,使PA+PB+PC最小的点P称为△ABC的费尔马点.文[1]把费马点问题推广到“两定点、一条定直线”的情形,下面笔者再对“费马点”问题做出如下推广:推广一在平面内,已知三条定直线l1、l2、l3,在平面内求一点P,使点P到直线l1、l2、l3的距离之和最小.     

整体入手 合理取2

中国数学会普及工作委员会制订的《初中数学竞赛大纲》中,明确指出“素数”是竞赛考点之一,因此素数问题常在竞赛中出现,而“2”既是最小的素数,又是唯一的偶素数,所以它是解决素数问题的一把金钥匙.本文例举各类竞赛实例加以介绍,目的是加深同学们对素数2的认识,提高解决这类问题的能力.     

素数等差数列问题

1素数的基本知识自然数中2,3,5,7,11,…称为素数,它们除1与自身外,没有其它因数.其它数,1除外,称为合数.每一个合数可以唯一分解为素数之积,这是算术基本定理.这个定理说明,素数像“砖头”,也像原子.素数在整数中分布很不均匀,例如107570463×102250±1是一对孪生素数.给予整数N,不论多大,都有连续N个数中没有素数.例如(N 1)! 2,(N 1)! 3,…,(N 1)! N 1中就没有素数,这构成一个“黑洞”.因此,寻找素数的规律是古今一大挑战,也很有意思.②欧几里得:素数有无穷多个.(反证法)欧拉:引入∑n1ns(s>1),证明了∑p1p发散,从而素数有无穷.切比雪夫:…     

利用导数求费尔马问题的解

利用导数求费尔马问题的解王申怀（北京师范大学１００８７５）数学通报９５年第１期《谈谈斯坦纳树》一文中诸丁柱教授介绍了费尔马问题，并用力学模拟方法解决此问题，如果在平面上我们引进坐标，则费尔马问题就可化为求二元函数的极值问题，即：设平面上三点Ｐ１，Ｐ２...     

Artin单群的一种刻画

设L是一个有限单群.若存在素数p,使得p||L|且p|L|~(1/3),则称L是一个Artin单群.Brauer和Reynolds在1958年给出了Artin单群的完全分类:PSL_2(p),p 3是一个素数,和PSL_2(p-1),p 3为一个Fermat素数.不借助于有限单群分类定理,本文利用群阶和一个共轭类长刻画了Artin单群,作为推论得出了Thompson猜想对Artin单群成立.     

关于素数等差数列的一组结论

文[1]讨论了三个素数成等差数列的问题,给出了三个素数a,a+d,a+2d成等差数列的三个猜想.猜想1设三个数a,a+d,a+2d构成一个等差数列,其中a和d都是正整数.当d是奇数时,不论a取何值,a,a+d,a+2d不可能都是素数.猜想2设三个数a,a+d,a+2d构成一个