关于完全三部图K(m,n,r)的色唯一性

本文研究完全三部图K(m,n,r)的色唯一性问题，通过比较两个色等价图的色划分数的方法，得出两个关于K(m,n,r)为色唯一图的一般形式数值条件，基本上解决了K(m,n,r)为色唯一图的判定问题．     

完全三部图K(n-k,n,n)的色唯一性

通过对图的特征子图个数的比较,给出了图K(n-k,n,n)色唯一性的数值条件.     

若干完全三部图的色唯一性

用P(G,λ)表示图G的色多项式.若对任意图H,当P(H,λ)=P(G,λ)时都有H和G同构,则称图G是色唯一的.给出了以下结果:m≥2且k≥0时,完全三部图K(m,m,m+k)是色唯一的;m≥2且m+1>k≥0时,完全三部图K(m,m+1,m+k)是色唯一的.     

一类完全三部图的色唯一性

用P(G,λ)表示简单图G的色多项式.设G是一个给定的简单图,若对任意简单图H,当P(H,λ)=P(G,λ)时都有H和G同构(记为H≌G),则称图G是色唯一的.本文证明了以下结果:设n,k,△都为非负整数,其中k≥0,△∈{4,5},若n≥1/3k~2+1/3△~2-1/3k△-1/3k-1/3△+4/3,则完全三部图K(n,n+△,n+k)是色唯一的.同时还给出了一个猜想.     

关于完全三部图色唯一性的一个注记

Let P(G,λ) be the chromatic polynomial of a simple graph G. A graph G is chromatically unique if for any simple graph H, P(H,λ) = P(G,λ) implies that H is isomorphic to G. Many sufficient conditions guaranteeing that some certain complete tripartite graphs are chromatically unique were obtained by many scholars. Especially, in 2003, Zou Hui-wen showed that if n 31m2 + 31k2 + 31mk+ 31m? 31k+ 32√m2 + k2 + mk, where n,k and m are non-negative integers, then the complete tripartite graph K(n - m,n,n + k) is chromatically unique (or simply χ-unique). In this paper, we prove that for any non-negative integers n,m and k, where m ≥ 2 and k ≥ 0, if n ≥ 31m2 + 31k2 + 31mk + 31m - 31k + 43, then the complete tripartite graph K(n - m,n,n + k) is χ-unique, which is an improvement on Zou Hui-wen's result in the case m ≥ 2 and k ≥ 0. Furthermore, we present a related conjecture.     

完全三部图K(n_1,n_2,n_3)的色唯一性

设G是简单图,用P(G,λ)表示图G的色多项式.若对任意简单图H使P(H,λ)=P(G,λ),都有H与G同构,则称G是色唯一图.令K(n     

完全t部图 K(n1,n2,…,nt)的色唯一性

本文使用比较两个色等价图的色划分数的方法,得出了完全t部图的色等价图类仍为完全t部图的一般形式数值条件,进一步得出了K(n1,n2,n3)和K(n1,n2,n3,n4)为色唯一图的一般形式数值条件.     

关于二部图K(m,n)-2的色唯一性

设Ｋ（ｍ，ｎ）－２表示从完全二部图Ｋ（ｍ，ｎ）中删去任意２条边所得之图．本文证明了：１．若ｎ≥ｍ≥３，且ｎ＋ｍ＞(（ｎ－ｍ）^２＋８)^1/2＋１/２（ｎ－ｍ）^２＋４，则Ｋ（ｍ，ｎ）－２是色唯一图；２．当ｍ≥３时，Ｋ（ｍ，ｍ）－２，Ｋ（ｍ，ｍ＋１）－２和Ｋ（ｍ，ｍ＋２）－２均是色唯一图．     

关于完全t部图K(n1,n2,…,nt)的色唯一性

设P（G，λ）是图G的色多项式，如果对任意使P（G，λ）=P（H，λ）的图H都与G同构，则称G是色唯一图。这里通过比较图的特征子图的个数，讨论了由Koh和Teo在文献[1]中提出的问题（若｜ni-nj｜≤2，1≤i，j≤t且min{n1，n2，…，nt}充分大，K（n1，n2，…，nt）是否为色唯一图？）。证明了，若｜ni—nj｜≤2且t↑∑↑i=1 ni〉t^2/2＋t√t-1，则K（n1，n2，…，nt）是色唯一图；若αi=0或k，t↑∑↑i=1 n＋αi〉t^2k^2/8＋｜tk｜/2√t-1，则K（n＋α1，n＋α2，…，n＋αt）是色唯一图。其条件比文献[4]中的条件较好一些。     

图K(m,n)+S的色性

设S是完全图Km 1的任一有s条边的子图,即|E(S)|=s,E(S)(∪)E(Km 1),V(S)(∪)V(Km 1).图Km 1-E(S)简单地表示为Km 1-S,而Km 1-S关于Km 1的补图记为(Km 1-S).空图Nm与(Km 1-S)的联图记为Nm∨(Km 1-S).K sm 1(m,m 1)表示图集{Nm∨(Km 1-S)| S是Km 1的子图,|S|=s}.本文证明了当m≥s 2且s≥1,〈S〉是E(s)在完全图Km 1的边导出子图并且〈S〉是二部图时,联图Nm∨(Km 1-S)为色唯一图的充要条件是〈S〉是没有割点的连通图(即〈S〉是2-连通的或〈S〉≌Ki,i=1,2)且是色唯一图.     

6n+5阶的6部图的色性

得到了几类色唯一的6n 5阶的6部图.     

关于完全3-部图K1,6,n的交叉数

早在上世纪五十年代,Zarankiewicz猜想完全2-部图Km,n(m≤n)的交叉数为[m/2][m-1/2][n/2][n-1/2](对任意实数x,[x]表示不超过x的最大整数)．目前这一猜想的正确只证明了当m≤6时成立．本文主要证明了若Zarankiewicz猜想对m=7成立,则完全3-部图K1,6,n的交叉数为9[n/2][n-1/2] 6[n/2]．     

关于完全t部图的色唯一性

设P(G,λ)是图的色多项式。如果对任意使P(G,λ)=P(H,λ)的图H都与G同构,则称图G是色唯一图.这里通过比较t 1色类的色划分数目,讨论了由Koh和Teo在文献[1]中提出的问题(若|ni-nj|≤2,当min(n1,n2,…,nt)充分大时,完全t部图K(n1,n2,…,nt)是否是色唯一图?)。改进了文献[5]中的结果。证明了若Σ1≤i≤ta2i=T,min{n a1,n a2,…,nt at,n-1}≥(T 1)/2,则K(n a1,n a2,…,n at)是色唯一图(其中ai是实数,n ai是正整数)。从而证明了若|ni-nj|≤k(i,j=1,2,…,t),min{n1,n2,…,nt}≥tk2/8 1,则K(n1,n2,…,nt)是色唯一图。