混和幂的丢番图不等式（I）

本文证明了下面的定理设λ＿１，…，λ＿８为非零实数，其中至少有两个之比为无理数。ｋ＝４，５，…，１１。那么，对任意给定的实数ｋ及０＜σ＜σ＿ｋ，不等式有无穷多组整数解，这里（４ｋ１１）。     

关于迭代函数方程f~2(x)=af(x) bx的通解

设λ的二次三项式λ２－ａλ－ｂ的两个零点为λ１＝ｒ，λ２＝ｓ（ａ及ｂ为实数）．对０＜ｒ＜ｓ，ｒ＜０＜ｓ≠－ｒ及ｒ＝ｓ≠０这三种情形，Ｊ．Ｍａｔｋｏｗｓｋｉ与ＷｅｉｎｉａｎＺｈａｎｇ在“Ｍｅｔｈｏｄｏｆｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｆｏｒｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓｉｎｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｆｏｒｍ”一文中给出了迭代函数方程ｆ２（ｘ）＝ａｆ（ｘ）＋ｂｘ，对任ｘ∈Ｒ；ｆ∈Ｃ０（Ｒ，Ｒ）（１）的通解，并证明了当ｒ及ｓ非实数时方程（１）无解．对ｒ＝－ｓ≠０的情形，Ｍ．Ｋｕｃｚｍａ已给出了方程（１）的通解．本文则对ｒ＜ｓ＜０及ｒｓ＝０这两种情形给出了方程（１）的通解．此外，本文还给出了ｒ＜０＜ｓ≠－ｒ时关于方程（１）的通解的一个简洁的证明     

关于Hardy－Littlewood－Polya不等式及其应用

此文主要结果是（１）设Ｐ＞１，０＜λ≤１及ｆ（ｘ）（≥０）∈Ｌｐ（０，∞），又设Ｋ（ｘ，ｙ）≥０和［Ｋ（ｘ，ｙ）］１／λ齐负一次式。若有Ｑ＞１，使λ＝２－１／Ｐ－１／Ｑ及　当λ＝１时为Ｈａｒｄｙ－Ｌｉｔｔｌｅｗｏｏｄ－Ｐｏｌｙａ不等式　当λ＝１时为Ｈａｒｄｙ－Ｌｉｔｔｌｅｗｏｏｄ－Ｐｏｌｙａ不等式之一改进。     

不等式恒成立问题中的定参方法

不等式历来是高考和竞赛命题的热点,已知不等式恒成立求参数范围,是一类常见的题型,近年来在各地的高考及模拟试题中更是屡见不鲜．笔者在多年的教学中发现这类问题有以下几种常用解法,现举例说明．１定量分方法 若不等式通过变量分离可化为ａ＜ｆ（ｘ）（或ａ ＞ｆ（ｘ））恒成立的形式,此时可利用以下定理求参数范围： 定理 Ｉ．α＞ｆ（ｘ）恒成立 ａ＞ｆ（ｘ）ｍａｘ; Ｉ．α＜ｆ（ｘ）恒成立 ａ＜ｆ（ｘ）ｍａｘ, 例１ 已知ａ（０,１）。函数ｆ（ｘ）在上有意义,求实数ｋ的取值范围． 解 由题意 ａ恒成立恒成立 因此,实数ｋ…     

混合算术──几何平均不等式的归纳证明

混合算术──几何平均不等式的归纳证明李鸿祥编译（上海铁道大学２００３３３）设ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ是正实数，算术—几何平均不等式即是在［１］中猜想成立如下有趣的混合算术—几何平均不等式式中等号当且仅当ｘ１＝ｘ２＝…＝ｘｎ时成立．ＫｉｒａｎＫｅｄｌａｓａ...     

新题征展(4)

Ａ．题组新编１．（１）图１是四个对数函数ｙ＝ｌｏｇａｘ、ｙ＝ｌｏｇｂｘ、ｙ＝ｌｏｇｃｘ、ｙ＝ｌｏｇｄｘ的图象,则ａ、ｂ、ｃ、ｄ、０、１等六个实数之间的大小关系是　　．（２）设２＜ｍ＜ｎ＜３,则ｌｏｇｍ（ｍ－２）与ｌｏｇｎ（ｎ－２）的大小关系是　　．（３）设０＜ｍ＜ｎ＜１,则ｌｏｇｍ（ｍ＋１）与ｌｏｇｎ（ｎ＋１）的大小关系是　　．２．已知关于ｘ的二次不等式ｘ２－（ａ－２）ｘ＋３ａ＜０在区间（－２,１）内：（１）恒成立,则实数ａ的取值范围是　　;（２）无解,则实数ａ的取值范围是　　;（３）存在解,则…     

一个不等式的应用

一个不等式的应用王太武（山东省沂源县第二中学２５６１００）在《数学通报》１９９６年第７期７月号数学问题１０２３题中，曾映铁老师给出了下面一个不等式：设ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ为实数，ｙ１，ｙ２，…，ｙｎ为正数，则有ｘ２１ｙ１＋ｘ２２ｙ２＋…＋ｘｎ２ｙｎ?..     

非整指数的丢番图不等式

本文证明了如下结果：设非零实数λ１，…，λｓ不具有同样的符号、其中至少有两数之比为无理数．设ｋ＞１２且ｋ不是整数，则存在一个绝对常数ｃ＞０，使得如果ｓ≥ｃｋｌｏｇｋ，则对任意实数。及ε＞０，不等式有无穷多组正整数解ｘｉ，这里［ｙ］表示ｙ的整数部分．     

不等式研究成果集锦(2)

１３．设ｓ、ｔ是两个非零实数,对正整数ｒ＝１,２,…,ｎ－１,定义ｎ元正实数组ａ＝（ａ１,ａ２,…,ａｎ）和正权数组λ＝（λ１,λ２,…,λｎ）的一类加权对称平均　Ｐｒ（ａ,λ;ｓ,ｔ）＝∑１≤ｉ１＜…＜ｉｒ≤ｎ（∑ｎｋ＝１λｎ－∑ｒｊ＝１λｉｊ）（ｒ－１∑ｒｊ＝１ａｓｉｊ）ｔｓＣｒｎ－１∑ｎｋ＝１λｋ１ｔ,则对ｒ＝１,２,…,ｎ－２,当ｓ＜ｔ时,有Ｐｒ（ｒ,λ;ｓ,ｔ）≥Ｐｒ＋１（ｒ,λ;ｓ,ｔ）;当ｓ＞ｔ时,上边不等式反号．（张志华,肖振纲,１９９８,３）１４．△ＡＢＣ三边长分别为ａ、ｂ、ｃ…     

｜a b｜≤｜a｜ ｜b｜取舍等号的条件应用

我们知道不等式｜ａ＋ｂ｜≤｜ａ｜＋｜ｂ｜是高中代数下册中２５页的一个定理,它在解有关绝对值问题中有着重要的应用．我们现对这个不等式取舍等号的条件进行分析,不难得到两条重要的推论：１．｜ａ＋ｂ｜＝｜ａ｜＋｜ｂ｜ａｂ≥０;２．｜ａ＋ｂ｜＜｜ａ｜＋｜ｂ｜ａｂ＜０．这两个基本的互逆关系,显示了数学协调美的内力,充分体现了数学问题的相互转化的作用,标志着它们必有优美的应用．下面举例说明．例１　（上海市１９８４年中学数学竞赛题）方程｜２ｘ－１｜＋｜ｘ－２｜＝｜ｘ＋１｜的实数解为．解　原方程可化为｜２ｘ－…     

不等式“有解”与“恒成立”

不等式历来是高考和竞赛命题的热点．不等式“有解”与“恒成立”是容易混淆的问题．下面给出一组命题,说明两者之间的区别．Ⅰ　ａ＞ｆ（ｘ）恒成立　　ａ＞ｆｍａｘ（ｘ）;Ⅱ　ａ＜ｆ（ｘ）恒成立　　ａ＜ｆｍｉｎ（ｘ）;Ⅲ　ａ＞ｆ（ｘ）有解　　ａ＞ｆｍｉｎ（ｘ）;Ⅳ　ａ＜ｆ（ｘ）有解　　ａ＜ｆｍａｘ（ｘ）．例１　不等式ｋｘ２＋ｋ－２＜０有解,求ｋ的范围．解　ｋｘ２＋ｋ－２＜０有解　ｋ（ｘ２＋１）＜２有解ｋ＜２ｘ２＋１有解　ｋ＜［２ｘ２＋１］ｍａｘ＝２　（应用命题Ⅳ）∴　　　　ｋ∈（－∞,２）．…     

动态系统中鞍点处的熵与分维

若ｆ（ｘ，ｙ）在不动点为鞍点的特征值满足λ１＞１＞｜λ２｜＞０，｜λ１·λ２｜＜１，则ｆ（ｘ，ｙ）限制在鞍点的局部有公式α＝１＋１ｎｒ是局部熵，α是局部分维数．把公式应用到Ｈｅｎｏｎ映射中，当α＝１．４，ｂ＝０．３时，得到１ｎｒ＝０．４５４，α＝１．２４４．     

有向线段定比分点坐标公式的应用

设有向线段Ｐ１Ｐ２的端点为Ｐ１（ｘ１,ｙ１）、Ｐ２（ｘ２,ｙ２）,点Ｐ（ｘ,ｙ）分Ｐ１Ｐ２所成的比λ＝Ｐ１ＰＰＰ２（λ≠－１,否则有Ｐ１Ｐ＋ＰＰ２＝Ｐ１Ｐ２＝０,这与Ｐ１Ｐ２≠０相矛盾）．分点Ｐ在直线Ｐ１Ｐ２上的位置与λ的取值范围如图１所示．Ｐ１　　Ｐ　Ｐ２λ＝０　λ＝１λ不存在－１＜λ＜０←０＜λ＜１→｜｜←λ＞１→←λ＜－１（Ｐ→－∞时λ→－１）←λ＞０　　（Ｐ→＋∞时λ→－１）图１显然,λ＝１时,Ｐ为线段Ｐ１Ｐ２的中点;λ＝－１时是Ｐ→±∞的极限值．即“内分为正,外分为负;左重（Ｐ与Ｐ１重…     

巧用偶函数的一个重要性质解题

性质妙用 偶函数有一个重要性质：若ｆ（ｘ）是偶函数,则下面巧用这一重要性质,简化一类求参数问题的讨论． 例１ 设偶函数ｆ（ｘ）在区间上单调递增,且满足试求实数ａ的取值范围． 解 由ｆ（ｘ）为偶函数知上单调递增, 例２ 已知偶函数ｆ（ｘ）在是增函数,且满足ｆ（２ｍ＋５）＜ｆ（ｍ２＋２）,试求实数ｍ的范围． 解偶函数上是增函数, 例３ 已知定义在上偶函数在区间［０,２］ 上单调递减,且求实数ｍ的范围． 解 由ｆ（ｘ）是偶函数知 例４ 若偶函数ｆ（ｘ）在上单调递增且,试求不等式的解集．０,又由ｆ（ｘ）为偶函数知上单…     

一个不等式的代数证法与推广

作为书［１］“数形结合”一章的首例,形如ｘ２１＋ｙ２１＋ｘ２２＋ｙ２２≥（ｘ１＋ｘ２）２＋（ｙ１＋ｙ２）２的不等式,以其优雅的几何证法［１］～［３］令某些纯代数证法相形见拙．现利用柯西不等式将其推广为（字母均表实数）：∑ｎｋ＝１ｘ２ｋ＋ｙ２ｋ＋…＋ｚ...     

｛0,1,3｝问题摄动形式所对应的测度

给定实数λ,α以及Ｒ上（以λ,α为参数）的压缩自相似映射Ｓ１（ｘ）＝λｘ, Ｓ２（ｘ）＝ λｘ＋ａ, Ｓ３（ｘ）＝ λｘ＋３,记满足测度方程ｖ＝（１／３）∑ｉ＝１ｖｏＳｉ－１的唯一概率测度为ｕλ,α本文得到：（１）当固定 λ∈Ａ Ｅ（１／３, ２／５）时,则在 Ｌｅｂｅｓｇｕｅ测度意义下,对于 ａ．ｅ．的 ａ∈（０,１）,测度 ｕλ,α绝对连续,且存在平方可积密度．（２）若λ－１是 Ｐ．Ｖ．数,且 α是λ的有理系数多项式,则测度ｕλ,α是奇异测度．     

关于正项式a_（ik）~a的几个不等式

关于正项式ａ_（ｉｋ）~ａ的几个不等式贵州民族学院周如银众所周知，若，则有下面的加权平均值不等式等号当且仅当ｘ１＝ｘ２＝…＝ｘｎ时成立．利用这一结论，可导出下面的结果．引理设ａｉ、ｂｉ＞０（ｉ＝１，２，…，ｎ），ａ＋１＞０，ａ＜０，则等号当且仅当ａ...     

关于迭代函数方程f2(x)=af(x)+bx的通解

设λ的二次三项式λ²－ａλ－ｂ的两个零点为λ₁＝ｒ，λ₂＝ｓ（ａ及ｂ为实数）．对０＜ｒ＜ｓ，ｒ＜０＜ｓ≠－ｒ及ｒ＝ｓ≠０这三种情形，Ｊ．Ｍａｔｋｏｗｓｋｉ与Ｗｅｉｎｉａｎ Ｚｈａｎｇ在“Ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ ｆｏｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｉｎ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｆｏｒｍ”一文中给出了迭代函数方程ｆ²（ｘ）＝ａｆ（ｘ）＋ｂｘ，对任ｘ∈Ｒ；ｆ∈Ｃ⁰     

引入参数证明不等式

引入参数证明不等式,思路明确,有章可循,是证明不等式的一种重要方法．尤其对不等式取上、下界时,各变元的取值不相等的问题,参数法更显奇效．下面举例说明之．例１　已知正数ａ、ｂ、ｃ,满足ａ＋ｂ＋ｃ＝３,求证：　４ａ＋１＋４ｂ＋１＋４ｃ＋１＞２＋１３．证明　∵　０＜ａ＜３,　∴　ａ２＜３ａ．令　４ａ＋１＝３ｘ２ａ＋２ｘａ＋１　＞ｘ２ａ２＋２ｘａ＋１＝（ｘａ＋１）２　（ｘ＞０）由　　　３ｘ２＋２ｘ＝４,解得　ｘ＝１３－１３　（负值已舍去）,∴　４ａ＋１＞１３－１３ａ＋１．同理有　４ｂ＋１＞１３－１３ｂ＋…     

一个加性混合幂丢番图不等式(Ⅰ)

本文证明了如果λ1,…,λ6是非零实数,并且不同一符号,至少有一个λi/λj(1≤i,j≤3)是无理数,那么对任意实数η和ε＞0,不等式|λ1x21+λ2x22+λ3x23+λ4x44+λ5x45+λ6x46+η|＜ε有无穷多正整数解x1,…,x6.