K-greedy algorithms for independence systems

Recently inJenkyns [1976] andKorte/Hausmann [1978] a tight worst-case bound for the well-known greedy heuristic for general independence systems has been deduced. Here some modifications of the greedy heuristic are investigated which allow to enlarge the current independent set by more than one element. It is shown that in spite of the additional enumeration incorporated in these heuristics they can behave worse than the usual greedy heuristic for some problem instances. For one of those modifications the same worst-case bound as mentioned above — but no better one — has been proved again. These results underline the predominant role of the usual greedy heuristic for general independence systems.

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Zusammenfassung Kürzlich wurde inJenkyns [1976] undKorte/Hausmann [1978] eine scharfe Gütegarantie für die bekannte Greedy-Heuristik für allgemeine Unabhängigkeitssysteme hergeleitet. Hier werden nun einige Modifikationen der Greedy-Heuristik untersucht, die es gestatten, die laufende unabhängige Menge durch mehr als ein Element zu vergrößern. Es wird gezeigt, daß sich diese Heuristiken — trotz der zusätzlich in sie eingebauten Enumeration — in Einzelfällen schlechter verhalten können als die gewöhnliche Greedy-Heuristik.Für eine dieser Modifikationen konnte wieder die gleiche Gütegarantie wie die oben erwähnte —aber keine bessere — bewiesen werden. Diese Ergebnisse unterstreichen die beherrschende Rolle der gewöhnlichen Greedy-Heuristik für allgemeine Unabhängigkeitssysteme.

     

Ein Algorithmus für das zeitabhängige Verhalten eingebetteter Markoff-Ketten bei den WartesystemenM (Y)/Gm/1 undGI m/M(Y)/1

Zusammenfassung Es wird das zeitabhängige Verhalten der in den WartesystemenM ^(Y)/G ^m/1 undG I ^m/M ^(Y)/1 eingebetteten Markoff-Ketten für die Zahl der Einheiten im System und für mit der Betriebsperiode zusammenhängende Größen behandelt. Mit elementaren kombinatorischen Methoden wird ein einfacher Algorithmus abgeleitet, mit dem die Lösungen explizit bestimmt werden können. Neben den genannten Wartesystemen findet der Algorithmus Anwendung bei speziellen stochastischen Lagerhaltungsmodellen und in der Damm-Theorie.

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Summary Time dependent solutions for Markov-chains imbedded in the queuing systemsM ^(Y)/G^m/1 andGI ^m/M^(Y)/1 are treated. By elementary combinatorial methods a simple algorithm is derived to calculate explicitely the distribution of the number of customers in the service system and of quantities connected with the busy period. The algorithm may be used also in special inventory systems and in the theory of dams.

     

Optimale Bestellpolitiken bei diskreten,stochastisch abhängigen Nachfrageverteilungen

Zusammenfassung Nach der Definition von dynamischen Lagerhaltungsmodellen, in denen der Bedarf vom Zustand einer Markov-Kette abhängt, wird gezeigt, welche Struktur die unter den Modellprämissen optimale Bestellpolitik hat.

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Summary Based on the definition of dynamic inventory models with demand distributions depending on the state of a Markov chain the structure of optimal ordering policies is developed.

     

An M/G/1 queueing model with vacation times

This paper deals with an M/G/1 queueing system with finite capacity for the workload, where the workload at timet is defined as the total amount of work in the system at timet. When the server provides service he will continue servicing until the system becomes empty, after which he leaves the system for a stochastic period of time, which will be called a vacation. When the server, returning from a vacation, finds the system still empty, he leaves for another vacation, otherwise he immediately starts servicing again.Using an embedding approach several characteristics of this system are derived amongst which the joint stationary distribution of the workload and the stage of the server.

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Zusammenfassung Diese Arbeit befaßt sich mit einem M/G/1 Wartesystem, das hinsichtlich der anstehenden Arbeit eine endliche Kapazität hat. Wenn der Bediener tätig ist, bleibt er es solange, bis das System leer ist. Danach ist er während einer stochastischen Pausenzeit nicht verfügbar. Ist am Ende einer Pausenzeit das System immer noch leer, so schließt sich eine weitere Pausenzeit an; ansonsten wird unverzüglich die Bedienung am Ende der Pausenzeit wieder aufgenommen.Unter Verwendung eines eingebetteten Prozesses werden mehrere Kenngrößen des Systems ermittelt, darunter z.B. die gemeinsame Verteilung von anstehender Arbeit und Zustand des Bedieners.

     

Über einen Darstellungssatz von L. Schwartz

Bekanntlich lässt sich jede skalare DistributionT überR lokal als verallgemeinerte Ableitung einer stetigen Funktionf:R C darstellen:T = D ^k f(Schwartz [2], chap. III, §6, Th. XXI). Wir geben in dieser Note einen Beweis für diesen Schwartzschen Darstellungssatz wieder, der die in [2] verwendeten funktionalanalytischen Hilfsmittel vermeidet und sich direkt auf vektorielle Distributionen übertragen lässt, die ihre Werte in einem Banach—Raum oder allgemeiner in einem strikten induktiven Limes einer Folge von Banach—Räumen haben.     

The axial displacement of a disc inclusion embedded in a penny-shaped crack

The present paper examines the axisymmetric problem of the axial translation of a rigid circular disc inclusion of finite thickness which is wedged in smooth contact in a penny-shaped crack. Results for the axial stiffness of the embedded inclusion and the stress intensity factor at the boundary of the penny shaped crack are evaluated in exact closed form.

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Zusammenfassung Die vorliegende Arbeit untersucht das axisymmetrische Problem der axialen Verschiebung einer starren eingebetteten Kreisscheibe mit bestimmter Dicke, die in einer reibungslosen pfennigförmigen Spalte eingekeilt ist. Ergebnisse für die axiale Steifigkeit der eingebetteten Scheibe und der Druckintensitätsfaktor am Rande der pfennigförmigen Spalte sind als eine genaue geschlossene Lösung angegeben.

     

Zehnpunktige kubische Graphen

An der Rechenanlage der Technischen Hochschule Wien wurden im Jahre 1966 von Gerd Baron alle zusammenhängenden kubischen Graphen mit zehn Knoten bestimmt. Dabei erhob sich die Frage, ob man diese Graphen nicht auch ohne Komputer auf einfache Art bestimmen könne. Die Struktur dieser 19 verschiedenen Graphen legte eine Klasseneinteilung nach der Zahl und Lage der auftretenden Dreiecke nahe. Diese Einteilung führt auch tatsächlich zum Ziel, wie in dieser Arbeit gezeigt werden soll.Da die Diagramme dieser Graphen von Balaban bereits in [1] und [2] veröffentlicht wurden, verzichten wir auf Abbildungen. In den erwähnten Arbeiten wird nicht beschrieben, wie die zehnpunktigen kubischen Graphen bestimmt wurden.Wir betrachten nur ungerichtete Graphen ohne Mehrfachkanten und Schlingen. IstG ein Graph, so verstehen wir unterV(G) die Knotenmenge vonG, unterE(G) die Kantenmenge vonG, und unter |G| die Kardinalzahl vonV(G). Ist weitersK ein Teilgraph vonG, so seiG — K der gesättigte TeilgraphH vonG mit der KnotenmengeV(H) = V(G) — V(K). Ein kubischer Graph ist ein regulärer Graph vom Grad drei. Offensichtlich enthält jeder kubische Graph Kreise.     

Optimale Allokation von Ausbildung und Berufsausübung in einem nichtlinearen Kontrollmodell

Zusammenfassung Von Weizsäcker [1966] hat in einer historisch ersten ökonomischen Anwendungen des Maximumprinzips ein lineares optimales Kontrollproblem zur Ermittlung der optimalen Ausbildungspolitik gelöst. Im vorliegenden Beitrag wird dieses Modell für den Fall nichtlinearer, zustandsabhängiger Lerneffizienzfunktionen untersucht. Aufgrund einer Sattelpunktsanalyse erkennt man, daß die optimale Ausbildungsintensität monoton abnimmt und daß — im Gegensatz zum linearen Fall — lebenslanges Lernen optimal ist. Der Ausbildungsstand steigt zunächst bis zu einem maximalen Wert, um danach monoton abzunehmen.

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Summary In one of the earliest economic applications of the maximum principlevon Weizsäcker [1966] has solved a linear control problem for the analysis of the optimal training policy. The present paper investigates this model for the case of nonlinear, state-dependent efficiency functions. From a saddle-point analysis we conclude that the optimal training rate decreases monotonically and that, contrary to the linear case, lifelong training is optimal. Firstly, the skill level increases to a maximal value and decreases thereafter monotonically.

     

A procedure for finding the nucleolus of a cooperativen person game

The nucleolus is a central concept of solution in the theory of cooperativen person games with side payments; it has been introduced and studied by Schmeidler [1969] and several methods for finding the nucleolus have been proposed byKopelowitz [1967],Bruyneel [1979],Stearns [1968] andJustman [1977], respectively. The aim of the present paper is that of giving a new algorithm for finding the nucleolus and to discuss the relationship of this algorithm with those given by Kopelowitz and Bruyneel.The algorithm is based upon the concept of minimal balanced set of a finite set; this last concept has been introduced for other purposes byShapley [1967]. The relationship between the nucleolus and the balanced sets has been studied byKohlberg [1971], where it has been shown that the so-called coalition array of an imputation is the coalition array of the nucleolus iff some parts of it are balanced sets. Our algorithm computes such a coalition array by finding a sequence of minimal balanced sets. Any element of the sequence can be found be solving a LP problem, then the nucleolus is easily found from the coalition array.The algorithm is in some sense a dual of the Kopelowitz algorithm. It clarifies completely the relationship between the nucleolus and the minimal balanced sets, that allowed the statement of the Bruyneel's algorithm; moreover, our algorithm doesn't assume the knowledge of the list of weight vectors associated to the set of minimal balanced sets, but constructs only the part of the list needed for finding the nucleolus.

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Zusammenfassung Ein kooperativesn-Personen-Spiel wird durch eine endliche MengeN (die Spielermenge) und eine nicht additive Mengenfunktionv, definiert auf der Potenzmenge vonN (d.h. auf den Koalitionen), charakterisiert. Auf Schmeidler geht der Begriff des Nukleolus als eines für ein kooperatives Spiel geeigneten Lösungskonzeptes zurück. Bruyneel und Kopelowitz haben jeweils Algorithmen zur Berechnung des Nukleolus eines vorgegebenen kooperativen Spieles angegeben. Das vorliegende Papier gibt einen weiteren Algorithmus an. Dieser ist — ähnlich wie der von Bruyneel entwickelte — begrifflich gestützt auf das Konzept der minimal balancierten Koalitionssysteme (eingeführt von Shapley). In seiner direkten Form benötigt der Algorithmus die Liste aller zu minimal balancierten Mengensystemen gehörenden Gewichtsvektoren, jedoch wird in Abschnitt 2 eine Methode angegeben, diese Liste mit Hilfe einer Folge linearer Programme zu vermeiden. Es stellt sich heraus, daß der vorgelegte Algorithmus in gewisser Weise dual zu dem von Kopelowitz entwickelten ist. Ein Vergleich aller drei nunmehr vorliegenden Algorithmen findet sich in Abschnitt 2.

     

Optimization of hydro energy storage plant problems by variational methods

We consider the problem of controlling a hydro energy storage plant within a fixed period of time. Our objective is to maximize the energy production — weighted with the time dependent tariff rate — subject to the given technical restrictions and the influx. The resulting control problem is transformed by means of the maximum principle for the calculus of variations into an equivalent nonlinear optimization problem.

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Zusammenfassung Wir betrachten hier das Problem der Steuerung eines Speicherkraftwerkes innerhalb eines bestimmten Zeitraumes, wobei die Energieproduktion — gewichtet mit dem zeitlich schwankenden Verkaufspreis — unter Berücksichtigung der technischen Nebenbedingungen und des Zuflusses maximiert werden soll. Das entstehende Kontrollproblem wird mit Hilfe des Maximumprinzips der Variationsrechnung in ein äquivalentes, nichtlineares Optimierungsproblem übergeführt.

     

New bounds for expected delay in FIFO M/G/c queues

Most bounds for expected delay, E[D], in GI/GI/c queues are modifications of bounds for the GI/GI/1 case. In this paper we exploit a new delay recursion for the GI/GI/c queue to produce bounds of a different sort when the traffic intensity p = λ/μ = E[S]/E[T] is less than the integer portion of the number of servers divided by two. (S AND T denote generic service and interarrival times, respectively.) We derive two different families of new bounds for expected delay, both in terms of moments of S AND T. Our first bound is applicable when E[S₂] < ∞. Our second bound for the first time does not require finite variance of S; it only involves terms of the form E[S^β], where 1 < β < 2. We conclude by comparing our bounds to the best known bound of this type, as well as values obtained from simulation. This revised version was published online in June 2006 with corrections to the Cover Date.     

On the best choice problem with random population size

For the problem of choosing the best ofN objects the class of all stopping rules of the form accept the first object of relative rank 1 appearing after some preassigned timek is of special importance. We treat the case of randomN and, correcting a result ofRasmussen [1975], show by a counter-example that in general there does not exist an optimal stopping rule in this class. Then a sufficient condition for the optimality of a stopping rule of this class is given, followed by a discussion of some cases in which this condition is not fulfilled.

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Zusammenfassung Beim Problem der besten Wahl unterN Objekten, auch als Sekretärinnenproblem bekannt, ist die Klasse der Stoppzeiten der Gestalt Akzeptiere das erste Objekt mit relativem Rang 1, welches nach einer vorgegebenen Zeitk erscheint von besonderer Bedeutung. In dieser Arbeit wird der Fall einer zufälligen AnzahlN betrachtet, und es wird durch Angabe eines Gegenbeispiels gezeigt, daß i.a. diese Klasse keine optimale Stoppzeit zu enthalten braucht, welches ein Resultat vonRasmussen [1975] widerlegt. Es wird dann eine — für wichtige Verteilungsklassen erfüllte — hinreichende Bedingung für die Existenz einer optimalen Stoppzeit in dieser Klasse angegeben, wobei überdies eine Diskontierung der Auszahlung zugelassen ist. Schließlich werden einige Fälle diskutiert, in denen diese Bedingung nicht erfüllt ist.

     

Statically possible radially symmetric deformations in isotropic,incompressible elastic solids

Zusammenfassung Das Problem der Bestimmung der Gesamtheit von Gleichgewichtsdeformationen, die in einem isotropen, homogenen, inkompressiblen elastischen Festkörper lediglich unter der Wirkung von Obertlächenspannung und konservativen Körperkraftfeldern aufrechterhalten werden können, ist als Ericksen's Problem bekannt. In seinen ursprünglichen Arbeiten [1, 10] kam Ericksen zu partieller Vollständigkeit mit Ausnahme zweier Fälle, von denen einer jedoch—was erst später bewiesen wurde [11–14]—Lösungen besitzt. Während in [14] die Frage der Vollständigkeit für den Fall ebener Deformationen mit einheitlicher Transversalspannung abgeschlossen wurde, erhalten wir in diesem Artikel Vollständigkeit für die Klasse von radialsymmetrischen Deformationen. wie sie in Gleichung (3.1) definiert sind. Man findet, dass ausser der Gruppe von homogenen Deformationen nur zwei zusätzliche Gattungen des radialsymmetrischen Typs möglich sind, die jedoch beide bekannt sind: 1. Aufblasen und Ausdehnen eines Kreiszylinders; 2. Aufblasen oder Umstülpen eines Sektors einer Kugelschale.     

Über einige Anwendungen der semiinfiniten Optimierung

Zusammenfassung In der Arbeit werden zunächst ökologische Aufgaben vorgestellt, zu deren Lösung die Methoden der semiinfiniten Optimierung herangezogen werden können. Ziel des § 2, in dem einige Ergebnisse vonGustafson [1973] undGustafson undKortanek [1971] zitiert sind, ist die Darstellung des Zusammenhangs zwischen semiinfiniter Optimierung und der klassischen Theorie der Momentenräume; insbesondere wird die Frage untersucht, inwieweit man durch Lockerung der klassischen Forderungen zu Voraussetzungen gelangt, die für die Zielsetzung der semiinfiniten Optimierung geeigneter sind, ohne dabei die Ergebnisse der klassischen Theorie vollständig aufgeben zu müssen. Als für die semiinfinite Optimierung geeignete Voraussetzung wird eine auf den russischen MathematikerM. G. Krein zurückgehende Bedingung angegeben (Def. 2), die im eindimensionalen Fall eine Verallgemeinerung derTschebyscheffsysteme darstellt (Lemma 3). Die Nützlichkeit derKreinbedingung erweist sich in § 3 bei der Anwendung der Ergebnisse aus § 2 auf Fragestellungen im Zusammenhang mit der Errichtung von Kernkraftwerken und bei Aussagen, die man aus der Lösung des dualen Momentenproblems über die behandelte Aufgabe machen kann. Die Arbeit schließt mit einigen Hinweisen zur numerischen Behandlung semiinfiniter Optimierungsaufgaben. Für Anregungen hierzu danken wir HerrnPeter Kosmol, Kiel.

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Summary First it is shown, how methods of semiinfinite optimization can be applied to some ecological problems. In the second paragraph we deal with connections between semiinfinite optimization and the classical theory of moment-spaces using some results ofGustafson [1973] andGustafson andKortanek [1971]. Definition 2 (Krein-condition) is the basis for an assumption proper to problems of semiinfinite optimization, which relaxes the assumption of the classical theory (see Lemma 3). The third paragraph shows, how theKrein-condition can be used in handling reactor building problems. The usefulness of theKrein-condition also is demonstrated by showing the possibilities to make use of the results of the dual problem for the primal one. Finally some numerical methods are shown which use the results of paragraphs two and three. We are indebted Mr.Peter Kosmol, Kiel, for his comments to § 4.

     

Asymptotische Fehlerschranken für Rayleigh-Ritz-Approximationen selbstadjungierter Eigenwertaufgaben

Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit leiten wir Fehlerschranken her für die Rayleigh-Ritz-Näherungen der Eigenwerte und Eigenelemente von selbstadjungierten Eigenwertaufgaben, deren Spektren nach unten beschränkt und anfangsdiskret sind. Solche Abschätzungen haben gerade im Hinblick auf ihre Bedeutung bei der Finite-Elemente-Methode eine lange Tradition, vgl. etwa [3-5, 7-9] sowie insbesondere die in [3] aufgeführte Literatur.Verfeinerte Fehlerschranken haben kürzlich Babuka und Osborn [1–3] angegeben: Speziell für mehrfach vorliegende Eigenwerte führen sie Approximationsgrößen ein, die die Güte der Diskretisierung beschreiben, und schätzen dann in Termen dieser Größen die Fehler ab. Dabei betrachten sie jedoch aus beweistechnischer Notwendigkeit heraus stets den Fall eines rein diskreten Spektrums, das sich durch selbstadjungierte und kompakte Operatoren beschreiben läßt. Wir lösen uns hier von dieser Einschränkung und geben in analoger Weise das asymptotische Verhalten der Fehler auch für solche Aufgaben an, die ein wesentliches Spektrum besitzen. Zugleich verbessern wir dabei die in [7] aufgestellten Schranken. Unsere Beweismethoden liefern explizit alle in den Fehlerschranken auftretenden Konstanten. Diese ergeben sich allein aus dem Spektrum der betrachteten Aufgabe. Desweiteren können wir alle Beweise mit reellwertigem Skalarkörper durchführen, da wir eine Darstellung von Spektralprojektoren durch Kurvenintegrale (vgl. etwa die Methoden der Spektralapproximation bei Chatelin [5]) für selbstadjungierte Probleme nicht benötigen. Die erhaltenen Ergebnisse gelten jedoch auch entsprechend für komplexwertige Skalarkörper.

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Asymptotic error estimates for Rayleigh-Ritz-approximations of selfadjoint eigenvalue problems

Summary In this paper we establish estimates for the approximation of the eigenvalues and eigenvectors of a selfadjoint eigenvalue problem bounded below with spectrum that begins with isolated eigenvalues of finite multiplicity. Results on the asymptotic behavior of the errors recently proved by Babuka and Osborn [1–3] are also valid for problems with nontrivial essential spectrum.

Herrn Professor Dr. Harro Heuser zum 65. Geburtstag gewidmet     

Spieltheorie zur optimalen Produktionssteuerung in Bauunternehmen

Zusammenfassung Es wird das Problem der Steuerung von Produktionsgröße und Produktauswahl in Fertigteilwerken der Bauindustrie in Abhängigkeit der Baustellennachfrage dargestellt. Das Kernproblem wird als Matrixspiel formuliert. Die erste Strategie verfolgt die Bestimmung der optimalen Produktionsgröße in Bezug auf die Art der Fertigteüelemente. Die zweite Strategie dient dem optimalen Transport, dargestellt als duales Transportproblem. Diese Problemlösung — in Annäherung an die Dekomposition der Aufgabe in weniger schwierige Teilprobleme — vermindert den EDV-Aufwand beträchtlich.

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Summary The paper deals with a problem of control of production volume and its assortment within the prefabricated units taking into account the demand of building sites. The essential problem is formulated as a matrix game in which a first strategy allows to set the optimal volume and kind of products. A second strategy allows to establish the optimal transport plan for these products and it is considered as a dual transport problem. This approach to the problem causes a considerable decrease of computer calculation range because of the decomposition of the problem to less complicated optimization subproblems.

     

Charakterisierung der q-Orthogonalpolynome in x

Characterization of q-Orthogonal Polynomials. Im Anschluß an die Arbeit Orthogonalpolynome in x und q^–x als Lösungen von reellen q-Operatorgleichungen zweiter Ordnung (Monatsh. Math. 132, 123–140 (2001); im folgenden als [4] zitiert) werden alle Möglichkeiten für q-Orthogonalpolynome in x als Lösungen von q-Operatorgleichungen zweiter Ordnung angegeben (Orthogonalität im positiv definiten Sinne). Dabei erfolgt die Numerierung der Abschnitte und die Angabe der Formel-nummern unter Einbeziehung von [4].     

A note on the Onsager-Casimir relations

Day showed that for a linear anisotropic viscoelastic material the kernels in the memory integral are necessarily symmetric, if the dissipation associated with an arbitrary strain history extending from the infinite past to the infinite future is invariant under time-reversal. It is shown in the present note how these ideas can be extended to yield the Onsager-Casimir reciprocal relations, at any rate in certain cases.

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Zusammenfassung Day hat gezeigt, dass für ein lineares anisotropes viskoelastisches Material die Kerne bei der quellenmässigen Darstellung notwendigerweise symmetrisch sind, wenn die Dissipation, welche einer beliebigen Verzerrungsgeschichte zwischent=– undt=+ entsprechen, unter Zeitumkehr invariant ist. In der vorliegenden Mitteilung wird dieser Gedanke so erweitert, dass — mindestens in gewissen Fällen — die Reziprozitätsrelationen von Onsager-Casimir erhalten werden.

     

Lifting-line theory of swept wings based on the full potential theory

The asymptotic theory of high-aspect-ratio transonic swept wings of Refs. [2–5] is extended to irrotational compressible flows based on equations of the full-potential theory. The formulation allows for imbedded supercritical flows with shocks; the results are applicable to oblique wings, swept-back as well as swept-forward wings, but restricted to planforms with centerlines composed of straight segments. The free-stream velocity is assumed to remain below the sonic speed. For a wing geometry generated from a single airfoil shape, the reduced system of 2-D equations admits solutions with similarity structures, permitting the problem to be solved only once for all span stations. The application of the theory is expected to lead to a substantial improvement over the earlier analysis of transonic swept wings based on the small-disturbance theory, concerning the accurate determination of inviscid drag and lift. The study provides also a basis for examining the influence of the trailing vortex sheet geometry, which are incompletely accounted for in current 3-D computer programs.

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Zusammenfassung Die asymptotische Theorie von transonischen gepfeilten Flügeln mit hohem Seitenverhältnis (Ref. [2]–[5]) wird erweitert auf wirbelfreie kompressible Strömungen mit Verwendung der Gleichungen der vollständigen Potentialtheorie. Die Formulierung gestattet die Behandlung von eingeschlossenen superkritischen Gebieten mit Stößen; die Resultate sind für schiefe, rückwärts- und vorwärtsgepfeilte Flügel verwendbar, sind aber auf Flügelgrundrisse mit streckenweise geraden Mittellinien beschränkt. Die Anströmgeschwindigkeit liegt immer unterhalb der Schallgeschwindigkeit. Für Flügelgeometrien die durch ein einziges Profil erzeugt werden, gestattet ein reduziertes System in zwei Dimensionen Lösungen mit einer Ähnlichkeits-Struktur, die eine Lösung für alle Stationen entlang der Spannweite liefert. Betreffend der genauen Bestimmung von Widerstand und Auftrieb wird von der Theorie eine wesentliche Verbesserung gegenüber der Analyse von Pfeilflügeln erwartet, die auf der Theorie von kleinen Störungen basiert. Die Arbeit gibt auch die Grundlage für eine Untersuchung des Einflusses von abgehenden Wirbeln, die in bisherigen dreidimensionalen Computer-Programmen nur unvollständig berücksichtigt worden sind.

     

Zur Möbiusgeometrie über Alternativkörpern

Zusammenfassung Möbiusgeometrien (K, L) über nicht notwendig kommutativen KörpernKL – eine Definition dieser Geometrien findet man in [1] — sind Verallgemeinerungen der Geometrie der Kreise auf der Riemannschen Zahlenkugel (K=,L=). In der vorliegenden Note wollen wir, unter Verzicht auf die Assoziativität vonL, Möbiusgeometrien auch für den Fall betrachten, woK ein im Zentrum des AlternativkörpersL enthaltener Körper ist, und (in Abschnitt 2) die Gruppe der Kreisverwandtschaften von (K, L) angeben. Dabei benutzen wir, anders als in [1] und [5], nur den Doppelverhältniskalkül, den wir gleichwertig zu der von A. Schleiermacher in [6] vorgeschlagenen Verallgemeinerung für kollineare Punkte einer Moufarigebene definieren. Es ergibt sich damit ein neuer Beweis des Satzes über Kettenverwandtschaften von (K, L) auch im assoziativen Fall. Die Verwendung von Doppelverhältnissen beim Beweis — auch bei charL=2-wird insbesondere durch das in Abschnitt 2 bewiesene Lemma (2.4) (Verallgemeinerung des sog. von Staudtschen Theorems; vgl. [2], [3]) ermöglicht.