精细时程积分法及其数值衍生格式应用评估

旋翼气动弹性耦合动力学方程本质上是一组刚性比较大的非线性偏微分方程。在有限元结构离散后,可改写为非齐次微分方程组,其中非齐次项是桨叶运动量（位移与速度）和气动载荷的函数。针对这类方程,本文尝试引入精细积分法及其衍生格式,借助数值方法计算Duhamel积分项。从积分精度与数值稳定性方面比较研究具有代表性的精细库塔法和高精度直接积分法。结合隐式积分算法,评估精细积分法应用于旋翼动力学方程的可行性。算例表明,精细积分法对矩形直桨叶动力学方程具有足够的求解精度。     

精细时程积分法的参数选择

讨论了精细时程积分法中离散间隔τ、截断阶数Ｍ和二分阶数Ｎ的优化问题。指出τ应满足采样定理，如不满足必须加滤波器以抑制频混。通过理论推导和大量的数值试验证明了Ｍ＝４是优选的，并给出了Ｎ的简单选择公式。用两个实例验证了Ｍ，Ｎ选择的可靠性，并指出误差随时间线线累积。     

悬索桥颤振稳定性分析的精细时程积分法

研究精细时程积分法在悬索桥颤振稳定性分析中的应用,首先,将 气流整个作为一个系统,组集系统关于模态广义坐标的状态空间方程,然后,应用精细时程积分法计算状态的向量的时程响应,根据状态向量时程响应的对数衰减率判断系统的颤振稳定性,最后,以英国塞文悬索桥为数值算例,验证了本文方法的正确性。     

二阶双曲型方程的精细时程积分法

对于二阶双曲型偏微分方程初边值问题，可以用有限差分法进行求解。通常的有限差分法在使用过程中受到精确度和稳定性的限制，本文提出求解二阶双曲型方程的精细时程积分法。由于这种方法是半解析方法，在时间域上可以精确计算，所以这种方法不仅精确度高，而且还绝对稳定。文末的数值算例进一步验证了上述结构，而且对大的时间步长（例如△t=0.5）仍然获得精度很高的数值结果。可见，精细时程积分法是一种很实用的方法。     

精细时程积分法的误差分析与精度设计

通过对精细积分法递推过程的误差分析，发现该方法能莸得高精度数值结果的根本原因是：数值计算的相对误差不随递推过程的进行而扩散。数值结果的精度仅仅取决于初始Taylor级数的计算精度和指数矩阵A的最大模特征。同时，提出了一种精度估计和精度设计的方法。     

结构动力方程的精细与差分耦合时程积分法

提出一种将精细积分法与Newmark-β法耦合起来的结构动力学时程积分方法.该方法通过引入Newmark-β法的基本假设,将加速度分量从动力学方程中消去,动力学方程由二阶常微分方程组变为一阶常微分方程组,然后再用精细积分法进行逐步积分.与直接应用精细积分法相比,方程的个数可以减少一半.该文对这种方法进行了理论推导和算例验证,表明了该方法在结构动力分析中的有效性.     

大型结构动力响应的状态方程的Krylov精细时程积分法

提出了一种新的精细时程积分法来求解大型动力系统.结合Krylov子空间法、培德级数近似以及一般载荷的维数扩展法,进一步提高精细时程积分法的计算效率.利用维数扩展法避免计算微分方程特解,并可处理任意载荷.对于大型动力系统,通过Krylov子空间的降维分析将问题转化到一个子空间,计算效率得到极大提高.对于迭代次数N的选择作了详细讨论,进一步提高了计算效率.     

一种广义精细积分法

提出了求解非齐次动力方程特解的一种精细数值积分法,该方法与通解 精细积分法具有相同精度. 首先选取一个积分形式的非齐次方程特解,将积分区域划分为 2$^{N}$份,并对之进行精细的数值积分;然后针对载荷为多项式、指数函数及三角函数的情 况,将积分求和转化为一个递推过程,按此只需$n$次矩阵乘法就能计算出积分和,从而得到 非齐次方程的特解. 该方法的优点是能与通解的精细积分过程有机地结合起来,具有极高的 精度和效率,同时还具有较广泛的适用范围. 算例结果证明了该方法的有效性.     

精细积分法在电报方程求解中的应用

将精细积分法应用到了二维的电报方程的数值计算之中。实例计算表明，该方法具有简单、计算精度高、无条件稳定、不需要进行复杂、费时的频域一时域转换及卷积积分，直接时域分析，处理非零初始值容易等优点。与传统的ＦＦＴ法及ＮＩＬＴ法相比，其效率更高，功能更强。     

色散方程的高稳定性两层四点显格式的单点精细积分法

基于单点精细积分的思想,对色散方程Ｕｔ＝ａＵｘｘｘ构造了一类高稳定性的两层四点显式差分格式,其局部截断误差为Ｏ（τ＋ｈ）稳定性条件为│Ｒ│＝│ａτ／ｈ＾３│≤ｆ（β）,对任意正实数β为单调递增函数,它们不仅显著地改善了同类格式的稳定性条件│Ｒ│≤０．２５而且也优于众多三层多点（５点或５点以上）显格式的稳定性条件。     

波动方程的精细逐步积分法

应用现有的波动方程求解方法解决工程实际问题尚存在一定的局限性。本文在结构动力方程精细逐步积分的基础上,提出了波动方程初边值问题的精细逐步积分法,并分别给出了不同边界条件下的精细逐步积分格式。此数值方法虽然是显式积分方法,却是无条件稳定的。分别用精细逐步积分法和其它已有的方法对两个算例进行了计算,一个是有解析解的例子,该例验证了此方法的准确性,另一个例子是求解由波动方程及初始条件和边界条件组成的有杆抽油系统预测模型,此例验证了精细逐步积分法的高效性。     

色散方程的高稳定性三层五点显格式的广义单点精细积分法

基于文（１）中的单点精细积分方法,对色散方程Ｕｔ＝ａＵｘｘｘ提出了一种构造高稳定性三层五点（蛙跳）显格式的广义单点精细积分法,文中格式的局部截断误差为Ｏ（ｘ＾２＋ｈ＾２）,而稳定性条件为｜Ｒ｜≤ｇ（β）（其中ｇ对任意正实数是单调递增函数）,同时类格式中最好的。     

增维精细积分法的适用范围研究

对线性定常结构动力系统提出的增维精细积分法,能够将非齐次动力方程转化为齐次动力方程,不用对状态矩阵求逆就能方便高效地求解出结构的动力响应。本文在仔细分析增维精细积分法性质的基础上,提出了其适用条件,进一步拓宽了其应用范围,并给出了将荷载项展开成傅里叶级数时,相应增维精细积分法的表达式。同时,在一个时间步长内,通过对非齐次项作线性化假设,成功地将增维精细积分法应用到了非线性动力分析领域。本文方法计算格式统一,易于编程,具有很高的计算效率。数值算例证明了本文方法的有效性。     

矩阵黎卡提方程的精细积分法

选择恰当的参数，将２＾Ｎ类算法用于代数与微分黎卡提方程。证明了算得的解是如此精确，几乎是计算机上的精确解。数例验证了该结论。     

矩阵黎卡提方程的精细积分法

选择恰当的参数，将２￣Ｎ类算法用于代数与微分黎卡提方程。证明了算得的解是如此精确，几乎是计算机上的精确解。数例验证了该结论。     

奇异Hamilton系统矩阵的精细积分法

常规位移有限元的结构振动方程是n个二阶常微分方程组.采用一般交分原理推导,将结构振动问题引入Hamiltoil体系,将得到2n个一阶常微分方程组.精细积分法宜于处理一阶方程,应用于线性定常结构动力问题求解,可以得到在数值上逼近精确解的结果.对于非齐次动力方程,当结构具有刚体位移时,系统矩阵将出现奇异.本文借鉴全元选大元高斯-约当法求解线性方程组的经验,提出全元选大元法求奇异矩阵零本征解的方法,该方法可以简便快速地寻求奇异矩阵零本征值对应的子空间.利用Hamiltoil体系已有研究成果及Hamilton系统的共轭辛正交归一关系,迅速将零本征值对应的子空间分离出来,通过投影排除奇异部分,然后用精细积分法求得问题的解.数值算例表明,该方法对Hamilton系统奇异问题,处理方便,计算量小,易于实现,同时保持了精细算法的优点.     

结构动力方程的样条精细积分法

结合精细积分法和样条函数拟合技术的优点,提出了求解结构动力方程的一种有效方法.首先对非齐次项用三次正规化B样条函数进行拟合,然后利用正规化B样条函数形状相同、仅相差一个平移量的特点,构造了一个高效的特解求解方法.按此方法只需求出一个标准B样条项所对应的特解,然后通过时间坐标的平移并结合叠加原理,即可求出任意时刻的特解值.由于特解计算中采用数值积分的方法,避免了矩阵求逆,因而本方法具有较大的适用范围.算例结果证明了该方法的有效性.     

数值摄动算法及其CFD格式

作者提出的数值摄动算法把流体动力学效应耦合进NS方程组和对流扩散（CD）方程离散的数学基本格式（MBS）,特别是耦合进最简单的MBS即一阶迎风和二阶中心格式之中,由此构建成一系列新格式,称呼方便和强调耦合流体动力学起见,称它们为流体力学基本格式（FMBS）。构建FMBS的主要步骤是把MBS中的通量摄动重构为步长的幂级数,利用空间分裂和导出的高阶流体动力学关系式,把结点变量展开成Taylor级数,通过消除重构格式修正微分方程的截断误差诸项求出幂级数的待定系数,由此获得非线性FMBS。FMBS的公式是MBS与 （及 ）之简单多项式的乘积, 和 分别是网格Reynolds数和网格CFL数。FMBS和MBS使用相同结点,简单性彼此相当,但FMBS精度高稳定范围大,例如FMBS包含了许多绝对稳定和绝对正型、高阶迎风和中心有限差分（FD）格式和有限体积（FV）格式,这些格式对网格Reynolds数的任意值均为不振荡格式。可见对不振荡CFD格式的构建,数值摄动算法提供了不同于调节数值耗散等常见的人为构建方法,而利用流体力学自身关系以及把迎风机制通过上、下游摄动重构引入中心MBS的解析构建方法,FMBS除了直接应用于流体计算外;对于通过调节数值耗散、色散和数值群速度特性重构高分辨率格式的研究,最简单FMBS提供了比最简单MBS更精确、但同样简单的基础和起步格式。FMBS用于计算不可压缩流,可压缩流,液滴萃取传质,微通道两相流等,均获得良好数值结果或与已有Benchmark解一致的数值结果。已有文献称数值摄动算法为新型高精度格式和高的算法和高的格式;本文FMBS比数值摄动格式的称呼可更好反映FMBS的物理内容。文中也讨论了值得进一步研究的一些课题,该法亦可用于其它一些数学物理方程（例如,简化Boltzmann方程、磁流体方程、KdV-Burgers方程等）MBS耦合物理动力学效应的重构。      

结构动力问题的高精度组合差分时程积分法

基于Taylor级数展开得到位移和加速度的中心差分格式,并结合速度的后差分格式,构造了一种求解结构动力问题的组合差分格式的时程积分算法,该算法为自起步的两步高精度算法。通过求解递推格式的传递矩阵及其特征值,对该算法的稳定性和精度进行了理论分析,结果表明,本文提出的算法虽属条件稳定,但其精度极高,具有周期延长率小、没有振幅衰减等优点。数值分析结果也证明本文提出的算法具有较高精度。     

非线性插值精细积分法在刚柔耦合弹簧摆中的应用

刚柔耦合多体系统变量的特点为既有大范围慢变量,又有小幅度快变量,它们相互耦合,构成时变强非线性的高维动力学方程.由于这一特点往往给系统的数值模拟带来困境,需要对这一特点进行更深入的数值分析.以双时间尺度变量弹簧摆作为研究模型,采用一种三次Lagrange插值精细积分法进行数值计算,该方法是一个显式单步预测-校正的有效算法,能够自起步,且具有精度高、计算量小的特点.将该精细积分法与四阶Runge-Kutta法从能量守恒及计算结果准确度两方面进行比较,结果表明在计算系统快变量的响应时,精细积分法优于四阶Runge-Kutta法.对弹簧摆系统进行动力学行为分析,以大频率比及初始大摆角作为控制参数,研究系统的复杂动力学行为,给出了一定范围内不同动力学性态对应的参数域.