K_4∨C_n的交叉数

在KlescM给出的完全图K_4∨P_n的交叉数的基础上,得到了cr(K_4∨C_n)=Z(4,n)+n+4,n≥3.特别地,当n=3时,cr(K_4∨C_3)=cr(K_7)=9,由此得到完全图K_7的交叉数另一种证明方法.     

S_5∨C_n的交叉数

利用完全3部图K1,5,n的交叉数的结果,继续对联图Sm∨Cn（m=5）的交叉数进行研究,得到了cr（S5∨Cn）=Z（6,n）＋4「n2」＋3.     

S_m∨P_n与S_m∨C_n的交叉数

本文研究与星图有关的联图的交叉数,得到了对任意的n≥1,当m=3,4,5时,星Sm与路P_n的联图的交叉数;以及对任意的n≥3,当m=3,4时,星S_m与圈C_n的联图的交叉数.     

Wm∨Pn的交叉数

在Klesc M给出的联图W_3 V P_n的交叉数的基础上,继续对联图Wm V Pn（m=4,5）的交叉数cr进行了研究,得到了cr（W3 V Pn）=Z（5,n）＋n＋「n/2＋1」以及cr（W5 V Pn）=Z（6,n）＋n＋3[n/2」＋1,n≥2.     

K2,3 ∨ Pn的交叉数

已经确定的五阶图与路Pn的联图的交叉数较少,作者继续深化这方面的研究,得到了联图K2,3 V Pn与{K2,3+e}V Pn的交叉数为Z(5,n)+n+1.     

一个特殊6点图Q与nK_1,P_n及C_n的联图交叉数

图的交叉数是图的一个重要参数,研究图的交叉数问题是拓扑图论中的前沿难题.确定图的交叉数是NP-难问题,因为其难度,能够确定交叉数的图类很少.通过圆盘画法途径,确定了一个特殊6点图与n个孤立点nK_1,路P_n及圈C_n的联图的交叉数分别是cr(Q+nK_1)=Z(6,n)+2[n/2],cr(Q+P_n)=Z(6,n)+2[n/2]+1及cr(Q+C_n)=Z(6,n)+2[n/2]+3.     

五阶图与路P_n的联图交叉数

利用Kleitman D J给出的完全二部图的的交叉数cr(_(5,n))=Z(5,n)的结果,分别得到了联图G_(12)∨P_n,G_(15)∨P_n,G_(18)∨P_n的交叉数.同时,给出了目前已知的所有五阶图与路的联图交叉数情况.     

(Sm∪K1)+Dn的交叉数

Sm∪K1是由星图Sm与孤立点K1构成的不连通图.本文首先确定了当m=1,2,3时,(Sm∪K1)+Dn的交叉数,再在猜想cr(K6,n+1\e)=Z(6,n+1)-2{n/2」成立时,得到了(S4∪K1)+Dn的交叉数.     

一个6点图与路的联图的交叉数

一个图G的交叉数cr(G)是把图G画在平面上,在所有画法中所产生的最少的交叉数.由于其结构的特殊性,能够确定两个图的联图交叉数的精确值的图类很少.本文通过圆盘画法这一途径,确定了一个特殊6点图与路P_n的联图的交叉数.     

近完全二部图的交叉数

图G的交叉数是刻画图的非平面性的一个重要参数.它是指图G在平面上的所有画法中边与边之间交叉数目的最小值.确定具体图类的交叉数是图的交叉数问题中一个经典的研究方向.Zarankiewicz于1954年提出了完全二部图交叉数的猜想:■.1971年,Kleitman证明了当min{m,n}≤6时,上式成立.由于其难度,完全二部图交叉数的研究进展是较缓慢的.至今,完全二部图K_7,n(n≥11)的交叉数都还未确定.然而,我们发现研究近完全二部图的交叉数可了解在完全二部图中加边与完全二部图交叉数的增长程度之间的关系.因此,为了促进完全二部图交叉数的研究,本文借助旋系与交叉数之间的关系、图的结构性质以及图的顶点度局部修改法确定了五个近完全二部图的交叉数.     

K_m~-□P_n的交叉数

Klesc等人先后确定了K_m~-□P_n(4≤m≤6)的交叉数,本文利用构造法确定了K_m-2K_2(4≤m≤12,m≠10,12)的交叉数.在此基础上,可进一步确定K_m~-□P_n(4≤m≤9,m≠8)的交叉数.相比而言,我们所采用的方法更具一般性.     

交叉数为2的笛卡尔积图

图G的交叉数,记作cr(G),是把G画在平面上的所有画法中边与边产生交叉的最小数目,它是拓扑图论中的一个热点问题。Kle?c和Petrillová刻画了当G₁为圈且cr(G₁G₂)-2时,因子图G₁和G₂满足的充要条件。在此基础上,本文研究当|V(G₁)|≥3且cr(G₁G₂)=2时,G₁和G₂应满足的充要条件。     

一个五阶图与路、圈的联图的交叉数

目前已经确定的两个图的联图的交叉数结果较少.设H是由一个4圈及一个孤立点所构成的5阶图.研究了图H与路、圈的联图的交叉数,得到了cr(H+P_n)=Z(5,n)+[n/2]+l,cr(H+C_n):Z(5,n)+[n/2]+2,其中,P_n与C_n分别表示含n个顶点的路与圈.     

关于一个特殊六阶图与路和圈的联图的交叉数

Garey和Johnson证明了确定图的交叉数问题是一个NP-难问题.目前,已确定交叉数的图类并不多.本文证明了一个特殊6阶图与n个孤立点,路P_n及圈C_n的联图的交叉数分别是cr(Q+nK_1)=Z(6,n)+n;cr(Q+P_n)=Z(6,n)+n+1及cr(Q+C_n)=Z(6,n)+n+3.     

W6*Sn的交叉数

早在20世纪50年代,Zarankiewicz 猜想完全2-部图K_{m,n}(m\leq n)的交叉数为\lfloor\frac{m}{2}\rfloor\times \lfloor\frac{m-1}{2}\rfloor\times\lfloor\frac{n}{2}\rfloor\times\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor (对任意实数x,\lfloor x\rfloor表示不超过x的最大整数). 目前这一猜想的正确性只证明了当m\leq6时成立. 假定著名的Zarankiewicz的猜想对m=7的情形成立,确定了6-轮W_{6}与星S_{n}的笛卡尔积图的交叉是 cr(W_{6}\times S_{n})=9\lfloor\frac{n}{2}\rfloor\times\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor+2n+5\lfloor\frac{n}{2}\rfloor.     

六阶图C_6+3K_2与P_n,C_n的联图交叉数

用P_n表示n个点的路,C_n表示长为n的圈,C_6+3K_2表示圈C_6添加三条相邻的边3K_2=C_3得到的图.在Kleitman给出的完全二部图的交叉数cr(K_(6,n))=Z(6,n)的基础上,得到了特殊六阶图C_6+3K_2与路P_n,圈C_n的联图交叉数分别为Z(6,n)+3[n/2]+2与Z(6,n)+3[n/2]+4.     

C(m,3)的交叉数

众所周知,任何一类非平凡图交叉数的精确值的确定都是非常困难的．作者证明了对任意k(?)2,h∈{0,1,2},循环图C(3k h,3)的交叉数为k h,但C(6,3),C(7,3)的交叉数都是1．C(5,3)的交叉数也是1．     

交叉数为2且因子图为路的笛卡尔积图

M.Kle??和J.Petrillová刻画了当G1为圈且cr (G1G2)=2时,因子图G1和G2所满足的充要条件.在此基础上,该文进一步刻画了在cr (G1G2)=2的前提下,当G1=P4,或者G1=P3且△(G2)=4时,因子图G2应满足的充要条件.     

W5×Sn的交叉数

确定图的交叉数是-个NP一完全问题.目前,对于六阶图与星图笛卡尔积的交叉数知之甚少.收稿证明了W5 X.Sn的交叉数为6[n/2][n-1/2] 2n 3[n/2]([x]表示不超过x的最大整数),并得到了W5的部分子图与Sn笛卡尔积的交叉数.     

K2,4× Pn 的交叉数

该文确定了完全二部图 $K_{2,4}$ 与路 $P_n$ 的笛卡儿积图的交叉数.