具有二次代数极限环线的方程(dy/dx)=(sum from 0≤i+j≤3 (a_(ij)x~iy~i))/(sum from 0≤i+j≤3 (b_(ij)x~iy~i)

<正> 具有二个二次代数曲綫为极限环的充要条件,并解决了周期解的唯二性,稳定性和結构稳定性,同时对其扑拓結构进行分类,并給出了(E)_3全局拓扑图形的代数制定方法,在証明     

方程(dy)/(dx)=(sumq_(ij)x~iy~j from 0≤i+j≤2)/(sum p_(ij)x~iy~j from 0≤i+j≤2)所定义的积分曲线的定性研究(Ⅵ):Ⅰ类方程的极限环

继【2],考察最一般的I类方程注劣.,二,二,_,、d,_,—~一y十心x十lx’十xy十n犷~尸Lx,夕),一~x~夕气x,y)‘dt----一dt一在其中不”‘+·>0,方程(‘,有两个有限远奇点:“(0,。,为焦点,“(”,劲(l)为鞍点,由旋转向量场的理论[a.4]得知,当d由。变为负值时,0由不稳定焦点变为稳定,在它附近产生一个不稳定极限环,且随d减小而单调地扩大.〔l]首先证明了:当l~o时,此极限环最后遇鞍点N而消失.在这一过程,没有其它极限环产生.【2」则证明了。~0或l一41,一。时极限环的唯一性.本文将证明,当,)21>0,l,)丝时,(l)的极 l6限环最多也只有一个.与此同时,还…     

y′=(a_0x~n+a_1x~(n-1)y+…+a_ny~n)/(b_0x~n+b_1x~(n-1)y+…+b_ny~n)的积分曲綫的拓扑結构

<正> 設Y_n=a_ox~n+a_1x~(n-1)y+…+a_ny~n,X_n=b_ox~n+b_1x~(n-1)y+…+b_ny~n.其中Y_n,X_n无公因子.微分方程 y′=Y_n/X_n(1)只有一个奇点(0,0).当n=1时,Poincare决定了(1)的积分曲綫的拓扑結构.当n=2时,决定了(1)的积分曲綫的結构.当n=3时,张棣决定了(1)的积分曲綫     

方程dy/dx=(q_(00)+q_(10)x+q_(01)y+q_(20)x~2+q_(11)xy+q_(02)y~2)/(p_(00)+p_(10)x+p_(01)y+p_(20)x~2+p_(11)xy+p_(02)y~2)所定义的积分曲线的定性研究(Ⅰ)

<正> §1.引言自从1955年苏联学者和証明实系数方程dy/dx=q_(00)+q_(10)x+q_(01)y+q_(20)x2+q_(11)xy+q_(02)y~2/p_(00)+P_(10)x+P_(01)y+p_(20)x~2+P_(11)xy+p_(02)y~2(1)最多只有三个极限圈以后,关于方程(1)的极限圈的分布問題引起我国数学工作者的极大的注意.首先,秦元勳在[2]中得到了方程(1)以二次曲綫为极限圈的充要条件,并同时研究了滿足这种条件的方程(1)的积分曲綫的全局結构.其后,本文作者之一在[3]中     

微分方程组=a+sum from ((i+j)=2) (a_(ij)x~iy~j),=b+sum from ((i+j)=2) (b_(ij)x~iy~j)的极限环存在的分歧值与代数奇异环

§1 引言 董金柱最先研究如下的二次系统[1]: (?)=α+sum from i+j=2 (α_(ij)x~iy~i,(?)=b+sum from i+j=2 (b_(ij)x~iy~i) (E) 的极限环的个数问题,他指出(E)可以至少存在两个极限环,且这两个极限环的位置分布在两个奇点周围。文[2]中证明了(E)至多存在两个极限环。本文将应用旋转向量场理论,研究当旋转参数α=时极限环变为奇异环的分歧值。从而得出一些情况下(E)恰存在两个极限环的充要条件。依据[2],研究(E)的极限环,只要研究如下系统就行了:     

具有二次代数极限环线的方程——(dy)/(dx)=(a_(10)x+a_(01)y+a_(30)x~3+a_(31)x~2y+a_(12)xy~2+a_(03)y~3)/(b_(10)x+a_(01)y+b_(30)x~3+b_(31)x~2y+b_(12)xy~2+b_(03)y~3)

自从秦元勋始出了二次代数方程,具有二次代数极限环线一文后,作者考虑了(E)_3这个三次方程,具有二次代数极限环线的情形。本文中首先给出了此方程在全平面上奇点的分布,进而解决了只有一个奇点时,二次代数极限环线存在的充分及必要条件,周期解的唯一性(在较特殊的情形下)及其稳定性。 (作者对秦元勋老师热情的鼓励和帮助,表示衷心感谢。)     

极限圈的微分学

<正> 設有依賴于参数α的微分方程組假設P,Q对于x,y,a有以后我們所要用到的各阶連續偏导数,方程(1)的奇点都是孤立的,且当a变动时这些奇点保持不动.本文的目的是要研究当(1)有极限圈Γ时,Γ随a的变动情祝. 改用(1)的积分曲綫的弧长s为自变数以代替t,可将(1)改写为     

关于(dy)/(dx)=(sum a_iy~ix~(n-i) from 0 to n)/(sum b_iy~ix~(n-i) from 0 to n)的积分曲线(Ⅰ)

李森林讨论了本文所论微分方程积分曲线不同类型的数目。本文由与不变直线斜率相应的根之重数直接表出积分曲线的“型列”及奇点的指数,并顺便用所得结果给[1]中定理2.1,2.2,2.3以简捷的新证法。     

論曲綫的全曲率(Ⅱ)

<正> 在前一文[1]中,作者曾用折线逼近曲线,以研究曲綫的全曲率.本文目的,是要証明一个关于用光滑曲綫逼近具有有限个角点的曲线的定理.藉此定理之助,关于光滑曲綫全曲率的許多已知的定理,如Fenchel定理等,都可以推广到具有有限个角点的曲綫去. 本文的方法和結果都可以毫无困难地推广到高維欧几里得空間中去,但为簡单起見,我們只就3維欧几里得空間的情况来討論.文中所述及的曲綫是分段光滑的,且除有限     

約当定理的初等証明

1.和通常一样,在这里所謂封閉的約当曲綫是指圓周的拓扑映象,所謂簡单弧是指綫段的拓扑映象。 約当定理。一平面封閉的約当曲綫将平面分成两个区域,而它自己就是这两个区域的公共边界。下面将敍述此定理的一个初等証明,这个証明是建立在从約当曲綫的定义所推出的几个性貭之上的。同时也将敍述一个与它有关的定理的証明: 在平面上的一段簡单弧不能把平面分开。 1.1 記号。以下我們都这样假定,如果給定了一簡单弧,那末也就給定了一个从綫段到它上面的,而且是完全确定的拓扑映象。因此在弧上也就确定了点的順序关系如下:設X与Y为簡单弧上的二点,X′与Y′是綫段上与之相对应的二点,要是X′相似文献   

方程组dx/dt=-y+δx+lx~2+xy+ny~2,dy/dt=x的极限环的唯一性

<正> 关于具实系数的实变量方程组dx/dt=-y+δx+lx~2+xy+ny~2,dy/dt=x的极限环的唯一性问题过去国内数学工作者曾得到不少结果,但仍未能彻底解决问题,本文的目的是要证明定理1 对于任意的系数δ,l,n方程组(1)最多只能有一个极限环.首先回忆一下历史,不失一般性,可假设     

微分方程组(dX)/(dt)=AX+e~(αt) sum from k=0 to m(B_kt~k)特解结构定理及应用

对于常系数非齐线性微分方程组(dX)/(dt)=AX+F(t),当强迫项F(t)=e~(at) sum from k=0 to m(B_kt~k)(这里Bk=(b1k,b2k,…,bnk)T∈Rn),给出了微分方程组(dt)/(dX)=AX+F(t)特解(t)的结构定理和计算方法,使求特解-X(t)的积分运算转化为简单的代数运算.解决了计算机特解(t)的计算问题.     

The Algebraic Critical Cycle and Bifurcation Function of Limit Cycle for the System =xy, =sum from 0≤j+i≤2 (a_(ij)x~iy~j)

In the quadratic system possessing one integral straight line (?)=xy,(?)=sum from o≤i+j≤2 (a_(ij)x~iy~j) (1) there may exist a triangle critical cycle which is formed of two rays and a section of arc of equator on Poincar sphere, if(1) possesses two integral straight lines. Besides, in that paper the bifurcation function of limit cycle of(1) is also found. In this article we prove that there may exist a lune of critical cycle which is formed of an algebraic curve and a section of arc of the equator on the Poincar sphere; or is formed of an algebraic curve and a straight line. Moreover, we will also find out bifurcation function of limit cycle.     

lim(n→∞) sum from i=1 to n g(,n)的讨论

<正> 关于的计算问题,通常采用夹心法及化为定积分来计算。为对此类极限进行探讨,我们以如下特例考虑:     

方程(dy)/(dx)=(q_(00)+q_(10)x+q(10)y+q_(20)x~2+q_(11)xy+q_(02)y~2)/(p_(00)+p_(10)x+p(10)y+p_(20)x~2+p_(11)xy+p_(02)y~2)所定义的积分曲线的定性研究(Ⅲ):Ⅰ类方程的极限环的个数

<正> 按照文[1]的分类,我们研究其中的I类方程,它是最一般形式可化为dx/dy=-y+dx+lx~2+xy+ny~2=P(x,y),dy/dt=x=Q(x,y).当 d=0时文[1]已证明此方程不存在极限环,这时有限远奇点 O(0,0)为焦点,l+n>0时为稳定,l+n<0时为不稳定,当 n≠0 时还有另一奇点 N(0,1/n),为鞍点.为确定起见,以下均假定 l+n>0(l+n=0 时以原点为中心,由旋转向量场的理论可知加上 dx 项以后不产生极限环故不必讨论,l+n<0 时则将 y,t 改号即可化为 l+n>0的情况).由旋转向量场理论可知 d<0 而|d|甚小时在原点 O 附近产生不稳定极     

方程dy/dx=(q_(00)+q_(10)x+q_(01)y+q_(20)x~2+q_(11)xy+q_(02)y~2)/p_(00)+p_(10)x+p_(01)y+p_(20)x~2+p_(11)xy+p_(02)y~2)所定义的积分曲线的定性研究(Ⅱ):极限圈的唯一性

<正> 作为[1]的定理1的特例,我們知道方程dy/dt=x,dx/dt=-y+mxy+ny~2(mn≠0)(1)沒有周期解.此方程有一个指标为+1的初等奇点(0,0)和一个鞍点(0,1/n).(0,0)的稳定性由mn的符号决定,当mn>0时为不稳定,mn<0时为稳定.今后不妨設m<0(否則将x,t改号),n<0(否則将y,t改号),于是由旋轉向量場的理論[2],知道当d<0而絕对值足够小时方程     

ON THE DIOPHANTINE EQUATION sum from i=0 to k 1/x_i=a/n

In this paper,the author proves the following result:Let E_(a,k)(N)denote the number of natural numbers n≤N for which equationis insoluble in positive integers x_i(i=0,1,…,k).ThenE_(a,k)(N)N exp{-C(log N)~(1-(1/(1/k 1)))}where the implied constant depends on a and k.     

关于具有(m,n)阶可表示奇異点的某种平面曲线对的研究

<正> §1.引言 过去,我們已經討論过具有高阶奇异点的某种特殊平面曲綫对.在[1]中討論了这样的平面曲綫对,它們相交于一个四阶可表示奇异点而且在該点具有不同切綫,从而获得了这对曲絕的一个射影不变式;又利用了曲线在奇异点的密切图形解释了所述的不变式.此外,选择了适当的坐标系导出曲綫的标准展开式,而且对于展开式中所有的絕对不变式     

关于解析几何教学的几点注意(續)

本文叙述解析几何教学中的几个問題。內容包括:(一)关于常态圓錐曲綫的两个定理;(二)关于圓周方程的一个定理;(三)关于极坐标方程图形的描繪。可作平面解析几何課的教学参考材料。 (一)关于常态圓錐曲綫的两个定理众所周知,实常态圓錐曲綫乃指椭圓、双曲綫、拋物綫和圓(圓可看作椭圆的极端情况)。常見的定义蘊涵在下述命題之中。命题.一个曲綫具有下述三属性之一,則必然具有另二属性。Ⅰ.平面π上具有下述性貭之一的动点的軌迹: (1)到π上的两个定点的距离之和为一个大于此二点間距离的常数; (2)到π上的两个定点的距离之差为一个小于此二点間距离的正常数; (3)到π上的一个定点及一条不通过它的定直綫     

欧拉公式sum from k=1 to n 1/k=lnn+c+r_n(r_n→0)中余项r_n的估计

<正> 本文首先推导出不等式、由不等式(1)推导出r_n的估计式为:从这一结果可推出