具有椭圆轨道的天体运动问题探究

天体(包括人造天体)绕另外一个天体运动时，其运动轨迹往往是圆或椭圆．轨迹为圆的天体运动问题，在现行的中学物理教科书中都有所介绍，但轨迹为椭圆的天体运动问题在中学物理教科书中介绍甚少．而轨迹为椭圆的天体运动问题，在一年一度的全国中学生物理竞赛的考纲中是要求掌握的。     

一道习题

在地球引力场中发射一个质量为m的卫星,原计划是这样的,该卫星由火箭运载到高度为h的一点P,使卫星在该点的运动方向与P和地心联线垂直,且有一适当的动能值,以保证该卫星的轨道是一个圆.但实际发射时,由于某种原因,使得卫星在P点的运动方向并不与P和地心的联线垂直,即运动方向与联线夹角θ≠90°,但其余指标均达到设计要求.试证明: (a)该卫星的轨道是一个椭圆,椭圆的半长轴等于原计划的圆形轨道的半径R h(R是地球半径); (b)P点在该椭圆短轴的一端; (c)该椭圆的偏心率是cosθ. 解:(a)按原计划,圆形轨道的半径是R h,因此位能,因为卫星的 ”…     

椭圆高斯光束在强非局域非线性介质中的传输特性

研究了傍轴椭圆高斯光束在强非局域非线性介质中的传输特性，得到了其各参量的演化方程 及其精确解析解.通过对束宽演化方程及其精确解析解的进一步分析，发现傍轴椭圆高斯光 束在强非局域非线性介质中传输时，两横向方向束宽作周期性变化.不管初始功率为多大， 光束都将周期性的由椭圆高斯光束演化为圆对称高斯光束，再由圆对称高斯光束演化为椭圆 高斯光束；并且在演化的过程中，椭圆的半长轴和半短轴会作周期性交替变化.另外，在一 定初始功率下，傍轴椭圆高斯光束可以保持某一横向方向的束宽不变，得到光孤子. 关键词： 强非局域非线性介质 非局域非线性薛定谔方程 椭圆高斯光束 参量演化方程 空间孤子     

运用双曲线知识求解物理问题

1双曲线的几何特性平面内与两个定点F1和F2的距离之差等于常数(<|F1F2|)的点的集合叫做双曲线.两个定点F1和F2叫做双曲线的焦点,两焦点间距|F1F2|=2c,轨迹上各点到两焦点的距离之差都等于2a,在图1(a)中其标准方程为x2/a2-y2/b2=1(半实轴长a>0,半虚轴长b>0,b2=c2-a2).双曲线在物理竞赛中时有涉及,其主要的几何性质有:     

一种基于长轴和对偶性的椭圆检测新算法

提出一种新的基于椭圆长轴信息的椭圆检测算法,利用椭圆长轴信息来确定椭圆的四个参数,并利用累积的方法得出短轴的值。在确定长轴时,利用椭圆的对偶性对长轴做出验证。实验表明,该算法比原长轴算法降低了运算时间。     

微小差异导致的伟大发现

在太阳系中,地球同她的姊妹行星以椭圆轨道围绕太阳运动,太阳本身处于椭圆轨道的一个焦点上。这一规律是众所周知的。1609年,在《新天文学》一书中,约翰内斯·开普勒提出了这一被称为开普勒第一定律的行星轨道规律,同时也提出了行星运动的第二条定律,这条定律指出：“行星的向径在相等的时间内扫过相等的面积”。他指出,这两条定律同样适用于其他行星和月球的运动。后来,经过长期繁复的计算和无数次失败,开普勒又发现了行星运动的第三条定律：“行星公转周期的平方正比于轨道半长轴的立方”。     

行星面积定理与宇宙速度的初等数学推导

质量为m的卫星(或行星)在质量为M的天体引力作用下运动,若忽略其它作用,则M应处于卫星轨道的焦点,如图1所示,m在P点连续两秒内的位移,即该相邻两点的瞬时速度v_1及v_2,由于m所受引力方向沿着矢径指向M,与矢径MP垂直的方向上m不受力,故速度的垂直分量相等,即v_1=v_2;显然m的矢径在连续两秒内扫过的面积△P′MP=△PMW″。这就是我们熟知的开普勒第二定律,亦称行星面积定理。 设卫星m在椭圆轨道上运动,如图2,轨道的半长轴为a,焦距为2f,在轨道上运动的每一时刻卫星的总机械能守恒,则有 mv~2/2+mgr=mv_t~2/2+mg_t(a+f)式中v为卫星在轨道上任一点的速度,r为该点与M的距离,g为卫星在该点的引力加速度,v_t表示卫星在远地点l处的速度,g_t为该点的引力加速度。由万有引力公式:     

椭圆偏振光通过四分之一波片

一、问题的提出在实验中,对椭圆偏振光的鉴别通常是让椭圆偏振光通过1/4波片,使其变为平面偏振光后进行的。但必须使1/4波片的光轴平行于椭圆偏振光振动矢量椭圆的一个主轴——即椭圆的长轴或短轴。问题在于,假如入射的是斜椭圆偏振光     

《从零学相对论》连载21

正§8.4水星近日点进动按照牛顿力学,行星的轨道是以太阳为一个焦点的椭圆.然而观测结果与此略有歧离.以最靠近太阳的水星为例,虽然它在每一周期中的轨道很接近椭圆,但两个相邻周期的两个"椭圆"的长轴并不重合,表现在它的近日点(perihelion)的微小改变上(见图8-6).随着时间的推移,由于积累效应,"椭圆"的长轴(因而近日点)绕太阳的缓慢转动变得可以观测.这现象叫做近日点的进动(precession).从1697至1848年的天文观测表明水星近日点的进动率是每世纪5 600″(″代表角秒).如何解释?法国数学家勒威耶(Le Verrier)用牛顿力学对水星运动做过长期研究,并于1859年再次发表研究报告.根据     

椭圆截面战斗部爆炸驱动破片作用过程的数值模拟

为研究爆轰驱动下椭圆截面自然破片杀伤战斗部壳体的膨胀破裂过程以及壳体破片径向速度分布,建立了椭圆截面战斗部三维模型。通过AUTODYN-3D软件,采用Lagrange算法模拟爆轰驱动下椭圆截面自然破片战斗部壳体的膨胀断裂过程,研究了端面单点中心起爆方式下短长轴断裂时间差与短长轴比的关系,以及不同起爆点、不同短长轴比和不同装填比(即装药与壳体质量之比)对椭圆截面战斗部径向破片速度分布的影响。结果表明:与端面中心单点起爆、端面长轴双点偏心起爆和端面短长轴四点偏心起爆相比,端面短轴双点偏心起爆方式对椭圆截面战斗部壳体破片径向速度的增益效果最好。装填比一定时,短、长轴断裂时间以及短、长轴断裂时间差与短长轴比呈线性关系,战斗部壳体膨胀过程中截面形状的实时短长轴比与加载时间呈线性关系;随着短长轴比的增大,战斗部壳体破片径向速度增益逐渐减小。短长轴比一定,装填比小于1时,破片速度随方位角增大呈正弦趋势上升,且短、长轴方向破片速度差与装填比呈线性关系。     

采用四象限探测器的光斑中心定位算法

为提高激光发射系统的监测精度,提出了一种基于四象限探测器的光斑中心定位算法,首先采用均匀分布的椭圆模型对光斑进行分析,根据四象限探测器工作原理,通过计算椭圆形光斑在四象限探测器上各对应区域所占面积进而推导光斑中心坐标表达式,然后采用解析几何的方法求取椭圆光斑的长轴与短轴,最后搭建四象限监测系统对算法进行实验验证;结果表明,所提算法能有效提高四象限探测器的光束监测精度,较传统方法精度提高21.3%。     

从受迫振动到混沌的实验系统设计

研究构建了一个由椭圆轨道方式驱动的弹簧振子混沌运动系统,它基于弹簧振子受迫振动的形式并符合混沌运动的条件.椭圆轨道长半轴a=20 mm,短半轴b=16 mm,驱动电机是由单片机模块控制的调频直流电机,角速度ω的范围是20~80 r/min,振子的位移x由朗威DisLab数字化实验系统测量.实验结果与理论模拟符合较好.     

椭圆柱微腔光子晶体耦合腔波导的慢光特性研究

采用大介质柱和椭圆介质柱环绕微腔结构构成光子晶体耦合腔光波导(PC-CROW),在获得慢光的同时,其缓存特性也获得了提高。当普通介质柱半径为0.25a(a为光子晶体晶格常数),环绕微腔圆形大介质柱半径为0.35a时,得到小于2.37×10-4c(c为真空中的光速)的导模群速度,这比均匀介质柱微腔波导的最大群速度减小了一个数量级,存储容量也有所下降;考虑到缓存性能,为了进一步改善PC-CROW的慢光性能和缓存特性,将环绕微腔大介质柱椭圆化,在椭圆长轴为0.42a,短轴为0.20a时,获得导模群速度小于2.3053×10-4c,存储容量达到9.8214 bit,品质因子Q也达到了最大值3575.1。     

卫星的运动学方程及其等时逐点轨迹

文章根据卫星在极坐标系中的椭圆轨道方程和角动量守恒式,积分求得卫星的隐函数形式的运动学方程,并作出偏心率e=0.6时卫星的等时逐点轨迹图,以及卫星的极坐标r、θ随时间t的变化曲线图,指出在椭圆轨道与(右)正焦弦的交点处r随t变化最为迅速,即卫星的径向速度最大.文章所求得的运动学方程实际上是开普勒方程的另一种表达,但其推理过程更便于理解.文章所给较详细的积分过程及相关结论或可为相关内容的教与学提供参考.     

竞赛题中的椭圆运动

随着我国“神舟”五号载人宇宙飞船的顺利升空，空间技术和天体运动成为人们关注的热点．大多数的地球人造卫星进入轨道后都做椭圆运动(行星绕恒星运动也是如此)，物理竞赛中关于这方面的问题时有出现．本文就如何运用初等数学知识解决椭圆运动问题进行简单的探讨．     

三维各向同性谐振子的守恒张量及其轨道方程

从牛顿第二定律出发，得到了三维各向同性谐振子的守恒张量，证明了守恒张量能提供一个独立的常数，并运用守恒张量的分量表示谐振子的运动方程，铁道平面方程，长轴和短轴所在直线方程及新坐标系下的轨道方程。     

双椭圆界面Richtmyer-Meshkov流动中的相互干扰效应

实验研究了在马赫数为1.18的平面激波冲击作用下,双椭圆界面RichtmyerMeshkov不稳定性演化的动力学过程。椭圆短轴b与入射激波方向垂直,通过改变双椭圆的中心间距d,采用片光高速摄影和PIV(粒子图像测速)技术,观测了4种不同情形的演化模态,获得了界面演化多幅像和700μs时刻的速度场,分析了双椭圆气柱之间的相互干扰效应。当d/b为4.0或3.0时,相互干扰效应较弱,双椭圆气柱演化为两个反向旋转的对涡,速度极大值接近30m/s,出现在2个位置,速度最小值几乎为零,出现在4个位置。当d/b为2.0或1.2时,相互干扰效应很强,两个内涡完全消失,双椭圆气柱演化为一个反向旋转的涡对结构,速度极大值出现在4个位置,速度极小值出现在两个位置。d/b=2.0时,界面演化图像与圆形气柱演化过程类似。相比d/b=2.0的情形,d/b=1.2时产生更大的斜压涡量,界面演化发展更快,后期出现二次涡现象和分叉结构,整体结构类似于单椭圆气柱演化过程。当d/b在2.0~3.0之间变化时,存在一个是否形成两个内涡的非线性临界值。针对双气柱界面演化明显的内涡弱化现象,分析了4种可能的机制。     

(1+2)维各向同性介质中的旋转椭圆空间光孤子

从(1+2)维非局域非线性薛定谔方程出发, 通过坐标变换得到了旋转坐标系下的非局域非线性薛定谔方程. 假设响应函数为高斯型, 用虚时间法数值求解了旋转坐标系下的非局域非线性薛定谔方程的静态孤子解, 迭代出了不同非局域程度条件下的静态椭圆孤子数值解. 最后采用分步傅里叶算法, 以迭代的孤子解作为初始输入波形, 模拟了在不同的非局域程度条件下, (1+2)维椭圆空间光孤子的旋转传输特性. 强非局域时, 椭圆光孤子的长轴方向和短轴方向波形都是高斯型, 其他的非局域程度下, 不是高斯型. 由此表明：(1+2)维椭圆光孤子对非局域程度依赖性很强. 旋转角速度和功率均与非局域程度以及孤子的椭圆度有关.     

类氢原子中电子椭圆轨道量子化的一个简化推导

利用能量守恒，角动量守恒及椭圆轨道的几何性质，结合玻尔－索末菲量子化条件，对类氢原子中电子的椭圆轨道与能量公式给出了一个简化的推导。     

一种高Q值椭圆差分共振光声腔的理论研究

光声腔的性能是决定光声光谱检测灵敏度的重要因素。为了增强光声光谱检测系统的信噪比和抗干扰能力,本文首次提出一种新型的椭圆差分共振光声腔,建立了其声学特征模型并利用COMSOL软件对光声腔的声学特性进行仿真研究。研究结果表明,当椭圆截面上的混合模态在短轴方向存在奇数个角向波节时,长轴两端声压达到峰值且相位反相;当椭圆腔的半长轴长度低于4cm时,谐振频率能达到10kHz以上,Q值可达到1 835。基于这种椭圆差分光声腔,可实现光声信号的差分检测,抑制环境共模噪声;利用共振腔的高Q值特性,能有效地增强系统信噪比,实现高灵敏度的光声检测。