一道课本例题的教学潜能挖掘

九年义务教育新教材《几何》第三册第44页有这样一道例题:已知○.O1和○.O2外切于点A,BC是○.O1和○.O2的公切线,B、C为切点,求证:AB⊥AC.图1这是一道直线与圆及圆与圆的位置关系的综合题,目的是复习与巩固上述位置关系的知识点.这也是一道典型例题.我们还可以从多种角度探讨、     

对二次幂平均分割线猜测的解答

如图 1 ,P是○.O外一点 ,PT1 和 PT2 分别切○. O于 T1 、T2 ,割线 PAB分别交○.O于 A、B,J为弦 AB上一点 ,PA =a,PB =b.如果 PJ=a2 b22 (* )则 J称为二次幂平均分割点 .本刊 2 0 0 0年第 3期尹在端老师在《两个几何图形中两条线段的四种平均》一文中猜测 :二次幂平均的分割线     

第四届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考答案

1.窗户造型 (满分 1 5分 )《中学生数学》杂志 2 0 0 0年第 1期的封面是一幅欧洲教堂的照片 ,它是一座哥特式的建筑 .建筑物上有一个窗户的造型如图 1所示 .图中弧 AB和弧 AC分别是以 C和 B为圆心 BC长为半径的圆弧 .○.O1 、○.O2 和○.O3两两相切 ,并且○.O1 、○.O2 与弧AB相切 ,○.O1 、○.O3与弧 AC相切 ,○.O2 、○.O3的半径相等 .如果使○.O2 、○.O3充分大 ,记 BC的长度为 a,请你计算出○.O1 的半径 ,并给出这个圆的作法 .图 1解　设○.O1 、○.O2 相切于点 E,○.O1 、○.O3相切于点 F ,○.O2 、○.O3相切于点 D,○.…     

切点三角形

如图1,☉O1和☉O2外切于点A,BC是☉O1和☉O2的外公切线,B、C为切点,△ABC叫做“切点三角形”(见初中几何课本第三册第129页例4)．对这一基本几何图形进行深入挖掘,可以得到如下重要的性质:     

新课程六种版本直线倾斜角、斜率概念的引入比较

1问题的提出 在几何问题的研究中,我们常常直接依据几何图形中点、线、面的关系研究几何图形的性质.而解析几何是在坐标系的基础上,把几何问题转化为代数问题,通过代数运算研究几何图形性质的一种方法.直线是最简单的、最基本的图形,也是第一次较全面地运用解析几何的基本思想.     

几何积木——逐步分解图形,开拓解题思路,培养创新意识

一套儿童积木玩具 ,可以拼凑出不同形状的物体 ;由儿童积木拼凑的物体 ,又可拆成若干小块的积木 .几个简单的几何图形 ,可以拼凑出一个复杂的几何图形 ;一个复杂的几何图形 ,又可分解出几个简单的几何图形 .运用这种分解的原理 ,可以将一个图形所表示的复杂的封闭型几何命题 ,通过逐步分解创新出一连串简单的开放型几何命题 ,以此达到化难为易、化复杂为简单之目的 ,从而开拓解题思路 ,培养学生的创新意识 .现就此举例说明 .例 1　如图 1 ,直线 l:y =- 32 x 6分别与 x轴、y轴交于 A、B两点 ,半径为 5的⊙ O1过点 O(原点 )和点 A,交线段 …     

一道国际最佳数学征解题的简证

文[1]中题124:设在△ABC内,sin2A sin2B sin2C=1.求证:其外接圆与九点圆正交.本文介绍这道题的一种简单证法.证明　△ABC的外心、垂心、半径、九点圆圆心、半径分别记作O、H、R、O9、R9,○.O∩○.O9=M.要证明○.O与○.O9正交,只要证明R29 R2=O9O2,[2]∵　OM=R,O9M=R9=12R,[3]∴     

用构图法巧解竞赛题

所谓构图法,指的是构造与数量关系对应的几何图形(解题时不一定要画出具体的图象),用几何图形中反映的数量关系来解决数学问题的方法.鱼有了水,才会有生命的延续;数有了形,使得数学更精彩.数学竞赛中的很多代数问题,一般都以实际问题为背景,而这些背景又可以由几何图形来反映,这时抽象的数量关系完全可以通过构造由它所对应的几何图形直观地表达出来,通过研究其几何特征,我们便可以根据图形的性质来解决它.下面举几例加以说明.例1(第十一届“希望杯”数学竞赛初二第1试试题)适合|2a 7| |2a-1|=8的整数a的值的个数有()(A)5个(B)4个(C)3个(D…     

小议切点三角形

(九年义务教育)人教版初三《几何》课本P129例4中,⊙O1、⊙O2外切于A,BC是⊙O1、⊙O2的外公切线,B、C是切点,求证:AB⊥AC.(如图1) 我们仔细看一下△ABC:它实际上是由两圆相外切的切点A,外公切线与两圆相切的切点B、C三个切点连线围成的.因此,把它称为     

数形结合活跃思维

著名数学家华罗庚曾经说过 :数形结合千般好 ,数形分离万事休 .这说明 ,数离不开形 .对数学知识的理解、记忆若能结合几何图形 ,往往理解深刻 ,记忆牢固 .在解数学题时 ,若能构造出恰当的几何图形常常能得出令人拍案称奇的巧妙解法 ,而且数形结合是培养学生创造性思维的一个极好的切入点 .下面结合本人的教学实践 ,略举数例 .1　构造图形 ,证明公式例 1　 a、b∈ R ,且 a≥ b,证明 :　　 a≥ a b2 ≥ ab≥ b. 1如图 1,BC为Rt△ ABC的斜边 ,○.O为△ ABC的外接圆 ,AD⊥ BC于 D.记BD =a,CD =b,则AO =12 BC=12 (a b) .图 1依垂…     

圆的向量式方程

<正>向量集数与形于一身,不仅能表示几何问题,更能通过运算揭示几何要素之间的关系.圆是常见的、基本的几何图形,在平面几何、解析几何中有着广泛的应用.本文研究用向量表示圆,并利用它妙解有关问题.1圆的向量式方程的表达形式已知A,B是两个定点,O是任意点,     

例谈抛物线中特定三角形的存在问题

<正>近几年,中考中以抛物线为载体、满足某种条件的几何图形是否存在的问题,是考查的热点与难点.解决这类问题的关键是,弄清函数与几何图形之间的联系,在解题过程中将函数问题几何化,几何问题数量化,数形统一,同时要学会把大题分解为小题,各个击破.本文选取部分中考试题为例,说明这类问题的解决策略.     

浅谈中考几何综合计算问题的解法

解几何综合计算题要注意以下几个问题 .1　注意几何性质的证明先证几何图形的性质 ,再运用几何图形的性质进行计算 .例 1　 (河北中考题 )已知 :如图 1 ,△ ABC中 ,∠ A的平分线 AD交 BC于 D,⊙ O过点 A,且与 BC相切于 D,与 AB、AC分别相交于 E、F,AD与 EF交于 G.(1 )求证 :AF .FC=GF .DC.(2 )已知 AC=6cm,DC=2 cm,求 FC与GF的长 .分析　 (1 )要证 AF .FC =GF .DC,只需证 AFGF=DCFC(=ACCD) .要证 GF∥ DC,可证AFGF=ACCD.要证△ ACD∽△ DCF,可证DCFC=ACCD.思路至此沟通 .证略 .解　 (2 )　连结 DF,∵　…     

两个几何图形中两条线段的四种平均

本文拟以圆和梯形为背景 ,给出关于两条线段的算术平均、几何平均、调和平均及二次幂平均 (均方根 )的两个模型 ,趣味无穷 .从中可以领略数学的和谐、统一和奇妙 .　　 1.如图 1,P为○.O外一点 ,PT1 、PT2 是○. O的两条切线 ,T1 、T2为切点 ,PAB是○.O的任一条割线 ,设 PA =a,     

分析转化出新知

文 [1 ]中提出了一个有趣的几何问题 :如图 1 ,Rt△ ABC中 ,∠ C =90°,CD⊥AB,O1、O2 分别是△ ACD和△ BCD的内心 ,O1O2 交 CD于 K,证明1AC 1BC=1CK ( 1 )本题的条件和结论相距较远 ,初看起来 ,是一个几何“险题”.所以 ,文 [1 ]用的是解析方法证明的 ;文 [2 ]用的是几何与三角综合证法 .文 [3]虽然说是用“纯几何方法”,但是它用了文 [2 ]的中间结果 ,所以并不能说是“纯几何”的 .图 1　　　　　　　　　图 2有没有更简洁、更漂亮的“纯几何”证明呢 ?我们来作如下分析 ,将它不断转化 ,以求用纯几何的方法证明 .1 .将 ( 1 …     

关于c（向量）=xa（向量）＋yb（向量）的几种常见转化方法

以c→=xa→＋yb→形式引入,考查向量相关知识,很多同学感到很困难,它常与几何图形相结合,通过几个例子说明常见转化方法.一、变形,发现几何关系求解例1已知平面内不共线的四点O,A,B,C满足OB→=1/3OA→＋2/3OC→,则｜AB→｜∶｜BC→｜=.解∵OB→=1/3OA→＋2/3OC→,∴OB→-OC→=1/3OA→-1/3OC→,得CB→=1/3CA→,     

解题中的形象思维

数学需要抽象思维,也需要形象思维.数与形都是数学中的具体形象(当然,它们又是从实际事物中抽象出来的).人们常常利用具体的数与形进行形象思维.在几何中尤其是这样.几何图形常常引起我们的想象,给我们很多的启迪.本文试图通过几个解题的实例说明我们怎样利用几何图形进行形象思维,为了说明形象思维的过程,所举例题稍有难度与层次.例1有两个等腰三角形,一个顶角为α,腰为a,底为b.另一个底角为α,腰为b,底为a,求α及ab.题目中没有画出图形,我们应该先将两个等腰三角形画出来以进行形象思维.如果a=b,两个三角形都是正三角形,α=60°.现在设a>b…     

应用投影法解几何题

对于几何题目所给的条件和结论,在几何图形中常常是比较分散,这样很不利于问题的解决。为此。我们采取把几何图形设法投影到有利的某一条直线上,再根据有关的几何性质进行求解。这就叫做射影法解几何题。本文通过若干个例子,说明这种方法的应用。     

“一图一课”:聚焦经典几何图形的变式教学——兼谈中考几何复习的教学建议

很多学校在中考几何复习时,往往是一轮复习重复着学生在新授课期间所学内容的知识点、图形性质或判定的梳理,并链接着讲评各地中考几何题;二轮复习则将题型各异的几何题分类复习,如几何动态问题、几何开放题、几何新定义题、几何分类讨论题,等等.以上几何复习课的课型划分看似分门别类、面面俱到,但是有一个不足,就是往往在一些归类复习时,选的几何题“形同而质异”,学生在这些几何习题的题海中训练之后,对一些经典几何图形问题的变式再练容易出现“似曾相识,仍需要长时间思考”,结果考试时间不够,造成解题障碍.笔者近年针对一些经典几何图形问题开展“一图一课”研究,取得较好的教学效果.下面以一个经典几何图形问题为例,概述教学流程和设计意图,最后浅谈中考几何复习的一些思考与建议,与同行们研讨.     

关于c(向量)=xa(向量)+yb(向量)的几种常见转化方法

<正>以c→=xa→+yb→形式引入,考查向量相关知识,很多同学感到很困难,它常与几何图形相结合,通过几个例子说明常见转化方法.一、变形,发现几何关系求解例1已知平面内不共线的四点O,A,B,C满足OB→=1/3OA→+2/3OC→,则|AB→|∶|BC→|=.解∵OB→=1/3OA→+2/3OC→,∴OB→-OC→=1/3OA→-1/3OC→,得CB→=1/3CA→,