用非负数解题

实数的平方非负是实数的重要属性.显 然,对实数x,有|x|是非负数,x2n(n为正整 数)是非负数.非负数的算术根是个非负数. 非负数有以下性质: (1)有限个非负数的和仍是非负数;有限 个非负数的积仍是非负数.即 若a1,a2,…,an都是非负数,则 a1+a2+…+an≥0; a1a2…an≥0.     

活用配方法与非负性解方程

<正>初中数学中非负数的表达式主要有a2、|a|、槡a(a≥0)三种.一般而言,未知数的个数多于方程的个数时,方程的解是不定的,若此方程只有有限组实数解,则它肯定隐含着特殊的数量关系.此类题也许通过配方可化为有限个非负数之和的形式,则和仍然是非负数;也许通过配方化为若干非负数之和为零的形式,则每个加数分别为零,从而可解决问题.下面举几例供同学们参考.     

应用“非负数”解决“大问题”

当实数a≥ 0时 ,我们称a为非负数 .在初中阶段 ,常见的非负数主要有以下几种形式 :( 1 )实数a的偶次方 ,即a2n(其中n为整数 ,且当n =0时 ,a≠ 0 ) ;( 2 )绝对值 .如 |a|等 ;( 3 )算术根 .如a(a≥ 0 )等 .( 4 )二次根式的被开方式 ,即在二次根式 a中 ,a≥0 .非负数有两条非常重要的性质 :(Ⅰ )有限个非负数之和仍为非负数 ;(Ⅱ )如果若干个非负数之和为零 ,那么每个非负数均为零 .这两条性质在解题中往往扮演隐含条件的角色 ,需要我们去挖掘 ,充分发挥它的作用 .本文着重就这方面通过举例向读者介绍 ,仅供参考 .一、利用非负性判定一些特殊方…     

巧用非负数解题

在实数范围内.形如|a|、√a、a2之类数,我们称其为非负数,非负数具有性质: ①a2 b2 c2=0,则a=b=c=0; ②|a| |b| |c|=0,则a=b=c=0; ③a2 √b |c|=0,则a=b=c=0. 更一般有:若干个非负数的和为零,则这若干个非负数必均为零. 利用以上性质,常能简捷地解答出许多繁难问题.     

挖掘二次根式的隐含条件解题

一般地,我们把形如a^1/2（a≥0）的式子叫做二次根式.由于在实数范围内,负数没有平方根,所以被开方数a只能是非负数,即a≥0.又因为a^1/2表示非负数a的算术平方根,也只能是非负数,即a^1/2≥0.深入理解二次根式的非负性是学习二次根式的关键,同时也是解题中要特别注意挖掘的隐含条件.现举例说明在解题中如何利用这一隐含条件,希望对同学们能有所帮助.     

非负数的性质及其应用

当实数ａ 0时 ,我们称ａ为非负数 .在初中阶段 ,常见的非负数主要有以下几种形式 :(1 )实数ａ的偶次方 ,即ａ2ｎ(其中ｎ为整数 ,且当ｎ =0时 ,ａ≠ 0 ) ;(2 )绝对值 ,如 |ａ|等 ;(3 )算术根 ,如ａ(ａ 0 )等 ;(4 )二次根式的被开方式 ,即在二次根式ａ中 ,ａ 0 .非负数有两条非常重要的性质 :(Ⅰ )有限个非负数之和仍为非负数 ;(Ⅱ )如果若干个非负数之和为零 ,那么每个非负数均为零 .这两条性质在解题中往往扮演隐含条件的角色 ,需要我们去挖掘 ,充分发挥它的作用 .本文着重在这方面通过举例向读者介绍 ,仅供参考 .二 .利用非负性判定一些…     

利用二次根式双重非负性解题

一般来说,式子(a～(1/2))(a≥0)叫做二次根式.因为在实数范围内,负数没有平方根,所以被开方数a只能是非负数,即a≥0,称为二次根式的第一非负性.     

我用非负数解题

在初中阶段我们学习了一些非负数,如|a|≥0、a2≥0、a~1/2≥0(a≥0)、关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根时△≥0等.这些往往是题目中的隐含条件,有时还是解题的关键,下面就是几道用非负数解题的典型例子.一、利用|a|≥0解题     

关于两个非负数最小和问题

众所阁知(a~(1/2)-b~(1/2))2≥0(a,b都是非负数),将其展开,然后移项得a b≥2 (ab)~(1/2).此时a、b的和就出现了最小值2√ab,如若再深入推敲.要满足a b=2√ab,也就要满足a等b.从而推出两个非负数a、b之积为定值时,只有a等于b.a与b的和才是最小值,当然也可以用函数的思维去琢磨.     

运用“a~2≥ 0”解题三例

我们知道a2≥0表示一个数的平方是非负数,这里的a既可以表示一个数也可以表示字母,还可以表示一个式子,它的非负性在解题中的作用很大,下面结合例子来说明.     

重视“0”的作用

<正>在数学中,"0"不仅表示没有,而且有着丰富的内涵,七年级许多题型中,"0"就初露锋芒,重视了它,不仅能使问题迎刃而解,还可帮助理解相关的数学概念.一、帮助理解非负数例已知|x+2|+(y-3)2=0,求xy的值.分析大于或等于零的数称为非负数.某数的绝对值、平方均为非负数.若几个非负数的和为零,则每一项皆为零.故本题每一项等于0即可求出x、y的值.     

谈谈数的平方根及其应用

对于数的平方根 ,首先要理清知识点 ,系统地掌握好 ,才能利用其应用 .一、知识点1 .平方根的定义一个数的平方等于a ,这个数就是a的平方根 .即如果x2 =a ,那么x就叫做a的平方根 (或二次根式 ) .在这里a是x的平方数 ,它是一个正数或零 (即非负数 ,即a≥ 0 ) .例如 :∵ 3 2 =9,(-     

利用相反数、互为倒数的性质解决具体问题

一、基础知识导学1 .互为相反数的性质①若a ,b互为相反数 ,则a b =0 ,反之也成立 .②a,b互为相反数 ,且a ,b≥ 0 ,则a =b =0 .③互为相反数的偶次幂相等 ,奇次幂仍为相反数 .2 .互为倒数的性质a,b互为倒数 ,则ab =1 ,反之也成立 .二、应用举例例 1　已知a ,b为有理数 ,且满足 4a2 -4a =-12b2 2b 1 -1 .求 ( 2a) 2 0 0 3 b2 0 0 4的倒数 .分析 :在已知条件 4a2 -4a =-12 b2 2b 1 -1中含有两个未知数 ,这样的一个二元二次方程的解是不定的 .因而我们对这个方程的结构作进一步的分析 ,发现 4a2 -4a =-12 b2 2b 1 -1通过变形可得两个完全平方式 :( 2a -1 ) 2 和 (b 1 ) 2 即得 ( 2a -1 ) 2 12 (b 1 ) 2 =0 ,根据互为相反数的性质①和② ,且两个非负数互为相反数 ,则这两个非负数都是 0 .这样就可求出a ,b的值 .解 :4a2 -4a =-12 b2 2b 1 -1 .移项 ,化简得 :( 2a -1 ) 2 12 (b...     

“非负数”的作用

中学数学中的非负数散见于各年级的教材,渗透于各门学科。由于具有非负数的条件,根据字母的不同取值,可以将式子化简,由于变形成非负数的形式,可以解某些方程,可以确定函数值的范围,可以证明某些不等式,几何中的“坐标”,“距离”等等,常取非负数。在解某些轨迹问题时,也可用到非负数。因此必须重视非负数的教学。中学数学中常见的非负数主要出现在下面一些情形: 1. 绝对值; 2. 算术根; 3. 一个实数的平方; 4. 三角形两边之和大于第三边; 5. 三角形内角的正弦值; 6. 当a≥1时,a±sinx,a±cosx的值;     

配方法作用大

<正>配方法是数学中一种非常重要的方法.在初中阶段主要是指利用完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2,把待解决问题中的代数式或代数式的一部分通过凑配等手段,得到完全平方式或几个完全平方式的和的形式,再利用完全平方项是非负数这一性质,实现问题的解决的数学方法.一、计算、求值例1计算:1.23452+0.76552+     

巧用(a+b)2≥4ab证明不等式

试比较如下两个平凡不等式 :　　 a b≥ 2 ab ( 1 )　　 ( a b) 2≥ 4 ab ( 2 )将 ( 1 )式两边平方 ,即得 ( 2 )式 ;但对 ( 1 )式 ,a,b不能是负数 ,而对于 ( 2 )式 ,a,b却可以是任意实数 .可见 ( 2 )式的应用范围更为宽广 ,而且应用更加生动灵活 .本文旨在介绍 ( a b) 2≥ 4 ab在不等式证明中的种种巧用 .1　正用例 1　已知 3y =3x z,求证 :y2≥ 4 xz.证明　依 ( 2 )式 :( 3y) 2 =( 3x z) 2 ≥ 4 .3xz,故　　 y2≥ 4 xz.例 2　设 a,b,c∈ R,且 a c- 2 b≠ 0 ,求证 :　 ( c b - 2 a) 2　≥ 4 ( a c - 2 b) ( a b - 2 c) .…     

一道2000年IMO试题的高等数学背景

我们首先给出 2 0 0 0年第 41届 IMO之第2题及其解答 [1] :设 a、b、c是正数 ,满足 abc =1 .证明( a- 1 1b) ( b- 1 1c) ( c- 1 1a)≤ 1 .证明　令 a =xy、b =yz、c =zx,其中x、y、z为正数 ,则原不等式变为( x - y z) ( y - z x) ( z - x y)≤ xyz ( 1 )显然 x - y z、y - z x、z - x y里最多又有一个是负数 .如果恰有一个是负数 ,那么 ( 1 )式显然成立 ;如果这三个数都非负 ,那么根据算术平均—几何平均可得　 ( x - y z) ( y - z x)≤ 12 [( x - y z) ( y - z x) ]=x　 ( y - z x) ( z - x y)≤ 12 [( …     

非负数及其应用

所谓非负数就是指大于或筹于零的数,也就是数轴上从原点开始向正方向去的所有点所对应的实数。常见的非负数有算术根,绝对值和完全平方数;除此之外还有当0°≤θ≤90°时的六种三角函数值(除去无意义的几个),当底数α>0且α≠1的所有指数函数值以及对数函数在底数α>1时,自变量χ≥1的函数值和底数0<α<1时,自变量λ≤1的函数值都是非负数,还有表示长度,重量、面积等标量的     

一类非线性复微分方程的超越亚纯解北大核心CSCD

本文主要研究非线性复微分方程f^(4)+a(z)ff^((k))=p_(1)(z)e^(α_(1)(z))+p_(2)(z)e^(α_(2)(z))的超越亚纯解,其中a,p_(1),p_(2)是非零的有理函数,α_(1),α_(2)是非常数的多项式.进一步地,考虑当亚纯解存在时,α_(1),α_(2),p_(1)和p_(2)所满足的条件.另外,还讨论了非线性复微分方程f^(3)+a(z)f’=p_(1)(z)e^(ν(z))+p_(2)(z)e^(-ν(z))的亚纯解的存在性,其中a,p_(1),p_(2)是非零的有理函数,ν是非常数的多项式.所得的结果直接推广了一些已知的结果.     

小议非负数在中学数学解题中的应用

非负数从数的方面来说,就是指大于或等于零的数,从其几何意义上讲,是指数轴上从原点开始向正方向去的所有点所对应的实数.中学数学中常见的非负数如算术方根、绝对值和完全平方数;表示长度、质量、面积、体积等标量的数值;当0°≤θ≤90°时,角θ的6个三角函数值(无意义的除外);对数函数值在底数a＞1,自变量0＜x≤1;指数函数值在自变量x取任何实数;复数的模;向量的模.