与角平分线有关的中考题

<正>角平分线是初中数学学习中一个重要知识点,与之有关问题在中考中屡见不鲜.解答它们,方法因题而异.现以中考题为例介绍如下:一、利用角平分线定义解答角平分线定义是指从一个角的顶点出发,把这个角分成相等两个角的射线.     

基于三角形的内角平分线问题的求解策略

三角形的角平分线是指三角形的一个角的平分线和对边相交,角的顶点和交点间的线段．这样在解析几何中涉及到与三角形的角平分线的问题常常有求三角形顶点的坐标、内角平分线的长度、内角平分线所在的直线方程、分点的坐标等．上述问题求解常用策略如下：     

初中阶段涉及半角的三角函数问题的解法

我们知道，在初中阶段的三角函数部分是不讲半角公式的人有三角函数的定义，但是在中考题中，也常会出现解与某些已知角的半角的三角函数值有关的问题；那么在初中的学习范围内，有哪些方法可以解与一个已知角的半角的三角函数值有关的问题，又如何应用这些方法去解决某些难度较大的综合题呢？其中关键是半角的构造．下面介绍几种实用的方法．1直接作已知角的平分线题1如图1，在△ABC中，AB>AC，AD平分＜BAC与边BC和△ABC的外接圆分别交于D、E，求证：（2）若作EFAB于F，则（1994年武汉市中考题）分析与解本题是一个分步设问题，…     

一道数学竞赛题的联想

八九年全国高中数学竞赛第二试第一题: 已知;在△ABC中,AB>AC,∠A的一个外角平分线交△ABC的外接圆于E,EF⊥AB于F。求证;2AF=AB-AC。若将“外角平分线”更换为“内角平分线”,结论发生变化吗?若变,是什么? 通过探索发现,进行以上更换,结论应为     

一个平面几何定理的极坐标证法

定理一个凸四边形如果对进之和相等，那么有内切圆．证明如图以四边形ABCD的顶点C为极点，对角钱AC为极轴建立极坐标系．由于AB－BC＝DA－CD，则B、D为以A、C为焦点的双曲线同一支上两点．设B（ρ_1，θ_1）、D（ρ_2，θ_2），双曲线方程为注意到B点的双曲线的切线即为∠B的角平分线．而切线方程为因为仅需验证直线（*）在双曲线这一支的同一侧且过B点．实际上若得以验证．设tB、ZD的角平分钱交点为M（，6）则由即M在上C的角平分线上，所以四边形ABCD有内切圆．此证法把题设条件中的凸四边形推广到任意四边形，从而是本质的…     

垂线作后见通途──谈一类竞赛题的一种解法

垂线作后见通途──谈一类竞赛题的一种解法４１３１０６湖南沅江市新港乡教办万喜人在国内外数学竞赛中，经常出现关于“三角形内一点”的问题．这类题一般难度较大，学生往往无从下手．若从三角形内的点向三边引垂线，则可得到直角三角形和四点共圆等多种基本图，又便于...     

数学奥林匹克讲与练(Ⅸ)

例题讲解65．设O是凸多边形A1A2…An内部的一点，已知O与凸多边形的任意两个顶点构成等腰三角形，求证:O对到凸多边形每个顶点的距离均相等．证明只要证明O到任意两个相邻顶点的距离都相等，不妨考察顶点A1、A2，我们证明OA1＝OA2，注意在等腰三角形中若有一角为钝角或直角，则央这角的两边是等腰三角形的两腰．由已知，△OA1A2是等腰三角形，若A1OA2≥90°，则有OA1＝OA2；若△A1OA2＜90°，我们过O点作l1OA1，l2OA2，则l1、l2相交于O且将平面划分为四部分（图1）．若在③中有凸多边形的顶点Ak，则易知A1OAk、A2OAk均不小…     

由一道竞赛题谈起

2007年全国高中数学联赛山东赛区预赛第13题出了这样一道题: 若平面上有点A(1,1),B(4,2),C(2,3),则△ABC的内心坐标( ) 此三角形为等腰直角三角形,解法上可以利用向量知识求两个角的平分线,再求交点;也可以利用到角公式求两个角的平分线,再求交点;或者利用角平分线定理及定比分点坐标公式获解.     

对一道课本习题的完善

对一道课本习题的完善胡学荣吴玉珍（江苏省武进师范学校２１３１６６）证明：经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线和这个角两边的夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在直线．这是现行高中教材《立体几何》第３１页的第１１题．教学参考书...     

破解线面角求解的瓶颈——解2010年山东省高考题有感

求解线面角是立体几何问题中的一个主要题型,解决这类问题的最大瓶颈在于“如何确定射影的位置”,2010年山东省高考理科卷的19题在这一方面就提出了较高的要求,此时思路宜从何而起呢？本文试从几个不同的角度加以破解．     

解析几何中角平分线与中点问题的解题策略

<正>直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何的重要内容,此类问题中常常会涉及角平分线和中点.有些问题在题面上没有涉及中点,但若采用中点思想来进行解答,则可达到事半功倍的效果,下文将举例来加以说明.1利用角平分线性质定理例1 (江苏省泰兴中学2017届高二秋学     

用翻折法找辅助线位置

在解平面几何问题时,经常要作辅助线,有些问题的辅助线添加在什么位置,往往很难确定.学过了轴对称以后,根据轴对称原理,把图形绕某直线翻折,翻折图形中的某点(或线段)的座落位置,就是添加辅助线的位置,再恰当作出辅助线就容易解题了. (一)用角平分线所在直线为轴翻折找辅助线位置 角是关于它的平分线所在直线为轴的轴对称图形,图中若有角平分线或可证明是角平分线,就可以用角平分线所在直线为轴翻折,从而作出辅助线. 例1 已知如图1,AD为△ABC的中线,∠ADB和∠ADC的平分线分别交AB、AC于     

分与合:共顶点两倍角问题

笔者通过对“有公共顶点,而且其中一个角是另一个角的一半”这类条件的问题的研究,发现解题方法有一些共同之处,姑且把满足这类条件的问题称为共顶点两倍角问题. 图1就是共顶点的两倍角:∠COD,∠AOB有共同的顶点O,且∠AOB=2∠COD.为了叙述方便,把∠COD称为“小角”,∠AOB称为“大角”,可以将图1看做一个基本图形.     

对边乘积相等的圆内接四边形

正方形所在平面内任一点（不在其外接圆上）和正方形各顶点的联线所在直线与正方形外接圆的交点为顶点构成的四边形,则其对边乘积相等,且其两对角的平分线的交点在另一对顶点的对角线上．     

脍炙人口的“斯坦纳——雷米欧司”定理

“两条内角平分线相等的三角形是等腰三角形”,这是由雷米欧司提出面由斯坦纳首先证明的闻名全球的“斯坦纳——雷米欧司”定理．1840年,德国数学家雷米欧司(Lehmus)给当时的大数学家斯图姆的一封信中说到:“几何题在没有证明之前,很难说它是难还是容易．等腰三角形的两底角平分线相等,初中生都会证．但反过来,三角形的两内角平分线相等,这个三角形一定是等腰三角形吗?我至今还没想出来．”此后,斯图姆又向许多数学家提出了这个问题,请求给出一个纯几何的证明．一年多后,瑞士大几何学家斯坦纳(Steiner,1796-1873)首次证明了它,于是,这个问题以“斯坦纳——雷米欧司”定理而闻名于世．     

用角平分线的性质解题举例

在解决三角形的问题中,如果已知条件中涉及到角的平分线,我们则可以考虑利用角的平分线的性质解题:角平分线上的点到角的两边距离相等,及其逆定理:角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.现举例如下.一、证明线段相等例1如图1,在△ABC中,∠BAC的角平分线AD平分底边BC.求证AB=AC.     

运用复数乘法解题数例

中学数学中有许多问题涉及两线段的长及其夹角,对于这类问题,若能适当地运用复数乘法,不仅有利于沟通中学数学各部分知识间的联系,开拓解题思路,而且往往能使问题化繁为简,转难为易,现举例如下: 例1 已知正方形ABCD相对顶点4(0,-1)和C(2,5),求顶点B和D的坐标(81年高考文科试题) 依题设,|AB|/|AC|=2~(1/2)/2,∠BAC=π/4,故可用复数乘法来解     

利用最值范围调节处理两类多元问题

涉及多元的数学问题，有两类可以通过最值范围调节转化后简捷获解．1条件等式处于“最值状态”的相等问题如果多元问题中的条件等式（或其等价形式）处于一端恰好是另一端的最值的极端情形，则可利用取最值的条件沟通已知与所求之间的关系而收化难为易，以简驭繁之功效．这类问题的一个显著特点就是条件等式的个数少于“元”的个数．例1已知cosα＋cosβ－cos（α＋β）＝，求税角α、β的值。解化条件式为知等号成立，于是据二元平均值不等式取等号的条件得1－cosβ＝cosα且sinβ－sinα，注意到α、β为锐角知sinα＝sinβ＝，即例2已知…     

简析以正方形为基的中考题的做法

<正>正方形形不仅具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的所有性质,而且具有轴对称性和中心对称性的美,还体现了角平分线、线段垂直平分线等性质,以正方形为基的考题历来是中考数学命题的热点和焦点之一.这些题的结构特点是:利用正方形的一些性质,结合其它知识点构成中考题,题目形式多样,精彩纷呈,很好地考查了图形类的主要知识点,以及学生分析问题和解决问题的能力.解题的切入点就是很好的利用正方形的性质,再综合其它知识通盘考虑去解答.一、利用正方形的角是直角图1例1(2013年长春)如图1,MN是⊙O的弦,正方形OABC的顶点B、C在MN上,且点B是CM的中点.若正方形OABC的边长为7,则MN的长为.     

解几何中定值的探求与证明

解析几何中的定值问题,由于定值等于什么题中没有给出,这就如同轨迹问题一样,它是隐去了结论的一类“命题”,由于结论没有给出,思考起来有时就会比已知结论的情形要困难一些。若能对这类问题预先“探索”到结论的估