两道试题的统一研究

在《中等数学》数学奥林匹克问题中有如下一题:1.对所有的正实数a,b证明:a3a b b3b a≤1.无独有偶在《数学通报》数学问题中也有一题类似于上题:2.对所有的正实数a,b,证明:aa 3b bb 3a≥1事实上,我们将题2所证的不等式两边同时乘以3有:a13a b b13b a≥3.将此式与题1的结论进行比较,发现:对于正数λ的不同取值,aλa b bλb a的取值也相应的发生变化,为此我们来讨论该式的取值范围.将上式进行变形为:1λ ba 1λ ab,令x=ab,y=ba,则x>0,y>0,且xy=1,所以只要讨论1λ x 1λ y的取值范围,其中x,y∈R ,λ>0,xy=1.将上式平方有:(1λ x 1λ y)2=1λ x…     

一道经典不等式赛题的多种证法

<正>题目已知p>0,q>0,且p³+q3+q³=2,求证:p+q≤2.这是1986年江苏省宿州市初中数学竞赛题.稍作改动,成为1988年江苏省初中数学竞赛题:已知p3+q3=2,其中p,q都是实数,试求p+q的最大值.1993年,该题又成为北京市高一数学竞赛题:x,y为实数且x3=2,求证:p+q≤2.这是1986年江苏省宿州市初中数学竞赛题.稍作改动,成为1988年江苏省初中数学竞赛题:已知p3+q3=2,其中p,q都是实数,试求p+q的最大值.1993年,该题又成为北京市高一数学竞赛题:x,y为实数且x³+y3+y³=2,求x+y的取值范围.此题文字简洁,结构优美,设计精巧,内涵丰富,解法多样,赏心悦目.是一道很值得探究的好题.以下几种证法,在此与读者共享.     

一道数学奥林匹克题的再推广

1999年加拿大数学奥林匹克试题第 5题 :已知x ,y ,z为满足x + y +z =1的非负实数 ,试证 :x2 y + y2 z +z2 x≤ 42 7( 1 )并指出等号成立的条件 .文 [1 ]将其多元推广为 :若x1,x2 ,… ,xn(n≥ 3)为满足x1+x2+… +xn=1的非负实数 ,则x21x2 +x22 x3+… +x2n- 1xn+x2nx1≤ 42 7( 2 )当x1,x2 ,… ,xn 中一个为 23,另一个为 13,其余n - 2个均为 0时等号成立 .今对赛题 ( 1 )式与文 [1 ]推广 ( 2 )式分别作指数推广 .1　赛题的指数推广定理 1　若x ,y ,z为满足x + y +z =1的非负实数 ,n ,m∈N+且n≥m ,则　xnym + ynzm +znxm≤13nnmm(n +m) n +m　…     

一道数学奥林匹克题的再推广

1999年加拿大数学奥林匹克试题第 5题 :已知 x,y,z为满足 x+ y+ z=1的非负实数 ,试证 :x2 y+ y2 z+ z2 x≤ 42 7( 1 )并指出等号成立的条件 .文 [1 ]将其多元推广为 :若 x1 ,x2 ,… ,xn( n≥ 3)为满足 x1 + x2 +… + xn=1的非负实数 ,则x21 x2 + x22 x3+… + x2n- 1 xn+ x2nx1 ≤ 42 7( 2 )当 x1 ,x2 ,… ,xn中一个为 23,另一个为 13,其余 n- 2个均为 0时等号成立 .今对赛题 ( 1 )式与文 [1 ]推广 ( 2 )式分别作指数推广 .1　赛题的指数推广定理 1　若 x,y,z为满足 x+ y+ z=1的非负实数 ,n,m∈N+且 n≥m,则　xnym+ ynzm+ znxm≤13nnmm( n+ …     

对《巧求值》的指正和另解

<正>《中学生数学》2013年第6期(下)刊载的《智慧窗》第三题《巧求值》及"解答"如下:题目已知:x2-4x-3=0,y2-6y+2=0,求x2+2y2+4x-4y-2的值.参考答案将x2-4x-3=0化为(x+2)2-8(x+2)+9=0.将y2-6y+2=0化为(y+1)2-8(y+1)+9=0.因此,x+2,y+1是一元二次方程t2-8t+9=0的两个根.     

一道女子奥赛题的简单证明

本刊文[1][2]对如下一道女子奥赛题:"设正实数x,y满足x3+y3=x-y,求证:x2+4y2<1."分别给出了它的巧妙证法,读后受益匪浅.但掩卷之后,仍有一种意犹未尽之感,经过探究,发现一种更为简单自然的证法,现叙述如下:     

一道德国数学奥赛试题的简解及思维过程

2008年德国数学奥林匹克有一题如下.题目求最小的常数c,使得对所有的实数x,y,有1+(x+y)2≤c(1+x2)(1+y2).     

从一道题谈思维对象的结构对思维的调控

我们看2008年高考江苏数学卷第11题: 设x,y,z为正实数,满足x-2y+3z=0,则y2/xz的最小值是_.     

简解一道高考题

大纲卷高考题(2011.重庆.文.15)若实数a,b,c满足2a+2b=2a+b,2a+2b+2c=2a+b+c,则c的最大值是.(答案:2-log23.)简解设x=2a,y=2b,z=2c,得该题等价于"已知正实数x,y,z满足x+y=xy,x+y+z=xyz,求z的最大值".由"正实数x,y,z满足x+y=xy"及     

新题征展(131)

A题组新编1.(张俊)(1)设实数x,y满足x+y=1,则1/x+4/y的取值范围为____;(2)设正实数x,y满足x+y≤1,则1/x+4/y的最小值为____;(3)设实数x,y满足x+y=1,则1/x+x/y的取值范围为____;(4)设正实数x,y满足x+y≤1,则1/x+x/y的最小值为____;(5)设实数x,y满足x+y=1,则1/x+1+4/y+1的取值范围为____;(6)设正实数x,y满足x+y≤1,则1/x+1+4/y+1的最小值为____;(7)设正实数x,y满足x+y≤1,则1/x+x/y+1的最小值为____;(8)设正实数x,y满足1/x+x/y≤1,则x+y最小值为____.     

简解一道高考题

<正>大纲卷高考题(2011.重庆.文.15)若实数a,b,c满足2a+2b=2a+b,2a+2b+2c=2a+b+c,则c的最大值是.(答案:2-log23.)简解设x=2a,y=2b,z=2c,得该题等价于"已知正实数x,y,z满足x+y=xy,x+y+z=xyz,求z的最大值".由"正实数x,y,z满足x+y=x...     

2020年浙江省高中数学夏令营压轴试题的探究

题1设非负实数x,y,z,证明:1/x+y+z+3-1/(x+1)(y+1)(z+1)<1/6√3.这是2020年浙江省高中数学夏令营压轴试题,本文先给出它的证明,然后给出它的加强和推广.     

一道竞赛题的多种解法

原题来自第二届"南方杯"数学邀请赛最后一道压轴题:原题设a、b是两个给定的正实数,实数x、y满足ax~2-bxy+ay~2=1,试求f=x~2+y~2的取值范围(值域).解法一:巧妙变换、数形结合令x=m+n,y=m-n.代入已知条件ax~2-bxy+ay~2=1得(2a-b)m~2+(2a+b)n~2=1(※)这表示的是什么曲线?椭圆、圆、双曲线?     

两个数学问题的简解与推广

《数学通报》1998年第6期数学问题1139题和第10期数学问题1156题的解答经研究发现都能简化.问题1139为:“求下述方程组的所有实数解:x6 y6=1　(1)x8 y8=1　(2)原解答用了换元,过程较繁,现简解如下:解　由题设易知-1≤x≤1,-1≤y≤1,且x,y不同时为零,从而1-x2≥0,1-y2≥0,且(1-x2),(1-y2)不同时为零.(1)-(2)得x6(1-x2) y6(1-y2)=0∴x6=01-y2=0或1-x2=0y6=0从而得到所有实数解为x=0y=-1　x=0y=1　x=-1y=0　x=1y=0由上面解法易得到此题的推广:“方程组x2n y2n=1x2n 2 y2n 2=1(n∈N )的所有实数解为:x=0y=-1　x=0y=1　x=1y=0　x=-1y=0.问题1156…     

不等式的多种证明及其推广

<正>2014年安徽省高中数学竞赛有如下一个不等式试题:已知正实数x,y,z满足x+y+z=1,求证:(z-y)/(x+2y)+(x-z)/(y+2z)+(y-x)/(z+2x)≥0.该题除标准答案提供的证法外,本文提供一些另外有趣的证明方式,同时给出不等式的一个推广.1.多种证法.证法一由x+y+z=1,可知原不等式等价于下述不等式     

巧变形 求最值

<正>《中学生数学》2013年第4月(下)课外练习题初三年级第1题是:题求函数y=2x+2x2+3x+3的最大值和最小值.参考答案用"判别式"给出了解答.本文再给出一种不用"判别式"的解法,供同学们参阅.另解y=2x+2x2+3x+3=2(x+1)(x+1)2+(x+1)+1,当x+1=0时,y=0,即y=0是函数的一个值;当x+1≠0时,y=2x+2x2+3x+3=2(x+1)(x+1)2+(x+1)+1=2(x+1)+1x+1+1.∵|x+1|+1|x+1|≥2|x+1|·1|x+1槡|=2,     

两道高考题的几何视角

2011年浙江省高考(文理)数学试卷中,有以下两道姊妹填空题:1.(文科题)若实数x,y满足x2+y2+xy=1,则x+y的最大值是____.2.(理科题)设x,y为实数,若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是____.上述两道高考题,形式稍异,真谛相同.均为在一个二元二次条件等式下,求二元线性目标函数的最大值.     

处理函数零点问题的多种思路

数学思想方法是数学的灵魂,渗透思想方法,多角度探索解题思路,是培养思维能力的有效途径.例题(2007年高考广东卷理科20题、文科21题)已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3-a.如果函数y=f(x)在区间[-1,     

一道2000年IMO试题的背景

第41届(2000年)国际数学奥林匹克试题第2题为[1]:设a、b、c是正实数,且满足abc=1,证明:(a-1 1b)(b-1 1c)(c-1 1a)≤1.(1)我们认为,该题是以1983年瑞士数学奥林匹克试题第2题为背景编制的:设x、y、z是正实数,证明:xyz≥(y z-x)(z x-y)(x y-z).(2)事实上,(2)式可变形为(yx-1 zx)(     

脚下本有多条路,缘何无法通“罗马”——从一道高考题谈高中生代数变换能力的培养

2011年安徽卷理科数学第19题如下:(1)设x≥1,y≥1,证明:x+y+1/xy≤1/x+1/y+xy;(2)设1 ＜a≤b≤c,证明:logab +logbc +logca≤logba+logcb+logac.由于第(2)问只需利用第(1)问的结论通过换元法即可证明,因此本文只讨论第(1)问.