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1993年,冯跃峰老师在《上海中学数学》第2期上提出一个不等式问题:已知x,y,z∈R ,x y z=1,求证:x4y(1-y) z(1y-4z) x(1z-4x)≥16.(1)次年,尹文华老师将其推广,得到如下结果[1]:若x,y,z∈R ,且x y z=1,求证:x4y(1-y2) z(1y-4z2) x(1z-4x2)≥81.(2)2004年,李铁烽老师将上述两个不等式统一推广为[2]:若x,y,z∈R ,且x y z=1,n是正整数,求证:x4y(1-yn) z(1y-4zn) x(1z-4xn)≥3n 32n-9.(3)本短文旨在推广不等式(3),笔者提出并证明下述定理若x,y,z,n∈R ,m≥2,且x y z=1,则xmy(1-yn) z(1y-mzn) x(1z-mxn)≥33nn--m 12.(4)证明由幂平均不等式,可得… 相似文献
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瓦西列夫不等式的加强 总被引:2,自引:0,他引:2
本刊曾刊登了瓦西列夫提出的如下优美的不等式:设a,b,C〉0,a+b+c=1,则,^2a+b/b+c+b^2+c/c+a+c^2+a/+a+b≥2①笔者经过探索,得到了①的一个加强结果: 相似文献
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文[1]介绍了阿.尼.瓦西列夫不等式:设a,b,c为满足a b c=1的正数,则a2 bb c bc2 ac ca2 ba≥2(1)文[2]将其推广为设a,b,c为满足a b c=1的正数,则λa2 bb c λcb2 ac λac2 ba≥λ2 3(λ≥1)(2)文[3]将(2)式中的λ≥1改进为λ≥41,并提出λ的最好正的下界是什么?借助杨路教授 相似文献
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1999年加拿大数学奥林匹克试题第 5题 :已知 x,y,z为满足 x+ y+ z=1的非负实数 ,试证 :x2 y+ y2 z+ z2 x≤ 42 7( 1 )并指出等号成立的条件 .文 [1 ]将其多元推广为 :若 x1 ,x2 ,… ,xn( n≥ 3)为满足 x1 + x2 +… + xn=1的非负实数 ,则x21 x2 + x22 x3+… + x2n- 1 xn+ x2nx1 ≤ 42 7( 2 )当 x1 ,x2 ,… ,xn中一个为 23,另一个为 13,其余 n- 2个均为 0时等号成立 .今对赛题 ( 1 )式与文 [1 ]推广 ( 2 )式分别作指数推广 .1 赛题的指数推广定理 1 若 x,y,z为满足 x+ y+ z=1的非负实数 ,n,m∈N+且 n≥m,则 xnym+ ynzm+ znxm≤13nnmm( n+ … 相似文献
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一个分式不等式的再推广 总被引:1,自引:0,他引:1
《数学通报》1 996年第 5期第 1 0 1 3号问题 :设a ,b ,c为正数 ,且满足abc =1 ,试证1a3(b+c) +1b3(c+a) +1c3(a+b) ≥ 32 (1 )近年来 ,多篇文章用不同的方法给出了不等式 (1 )的证明和幂指数推广 ,文 [1 ]列出了 1 5篇参考书目 ,并给出了不等式 (1 )的两个漂亮的幂指数推广 .本文从指数和项数方面考虑 ,给出不等式(1 )的两个推广 ,文 [1 ]中的两个推广定理是本文的两个推广定理的特例 .利用均值不等式 ,易证 :若a,b是正数 ,且ab= 1 ,m为任意实数 ,有amb +bma ≥ 2 (2 )定理 1 设xi∈R+,(i=1 ,2 ,… ,n) ,… 相似文献
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瓦西列夫不等式:
设n,b,c〉0,n+b+c=1,则a^2+b/b+c+b^2+c/c+a+c^2+a/a+b≥2. 相似文献
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一个不等式的再推广 总被引:8,自引:0,他引:8
问题[1 ] 设a1 ,a2 ,a3,a4∈R ,求证a31 a2 a3 a4 a32a3 a4 a1 a33a4 a1 a2 a34a1 a2 a3≥ (a1 a2 a3 a4) 21 2 ( 1 )文 [1 ]讲 ,此不等式的证明需要在较高的理论层次上去探讨 ,这不是中学课堂上所能解决的 .但文 [2 ]仅仅使用了中学生最熟悉的基本不等式 ,给出不等式 ( 1 )的两个简单证明 ,并将其推广为 :设a1 ,a2 ,… ,an ∈R ,且a1 a2 … an =s,则有a31 s -a1 a32s -a2 … a3ns -an ≥ s2n(n - 1 ) (n≥3) ( 2 )事实上 ,应用基本不等式 ,不等式 ( 2 )还可以进一… 相似文献
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一个不等式的再证与推广 总被引:3,自引:2,他引:1
已知a>13,b>13,ab=29,求证a b<1 ,文 [1 ]采取构造二次方程来证明此不等式 ,文 [2 ]又给出了一个更为简捷的证法 ,的确是三言两语便说明了问题 .但要说证法最优 ,倒很难判定 :什么叫“最”优证法 ?有独一无二的“最”优证法吗 ?现将上面的题目稍加推广 :已知 a1 >14,a2 >14,a3>14;a1 a2 a3=24 3.求证 a1 a2 a3<1 .要用文 [1 ]、[2 ]的证法给予证明便行不通了 ,可见 ,这两种证法都有局限性 ,适用范围不广 .另外 ,文 [1 ]在构造二次方程x2 -tx 29=0中 ,还可由判别式Δ=t2 - 89≥ 0 ,得到不等式 t=a b≥2 23.当然… 相似文献
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一个代数不等式的再推广 总被引:3,自引:0,他引:3
文 [1 ]中给出了一个代数不等式并由此推出了一系列的结果 ,文 [2 ]中对这一不等式作了推广 .本文将其再推广 ,给出更具一般性的形式 .定理 设x =x(t) ,y =y(t) ,t∈D R ,x >0 ,y >0 ,x ,y是D上单调函数 (可不严格 ) ,A =x(t1)·[y(t1) - y(t2 ) ]+x(t2 )[y(t2 ) - y(t3) ]+… +x(tn -1) [y(tn -1) -y(tn) ]+x(tn) [y(tn) - y(t1) ],n >1 ,n∈N .则1 )若x ,y增减性相同 ,得A≥ 0 ,且当且仅当x(t1) =… =x(tn)或 y(t1) =… =y(tn)时 ,A =0 ;2 )若x ,y增减性相反 ,得A≤ 0… 相似文献
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一个三角形面积不等式的推广 总被引:1,自引:1,他引:0
文献 [1]给出一个三角形面积不等式 :设面积为△的△ ABC的三边长为 a、b、c,令a1=(b c) ,b1=(c a) ,c1=(a b) ,则以 a1、b1、c1为边可作成△ A1B1C1,并设其面积为△ 1,则有 △≤△ 1. (1)本文将围绕上述定理进行推广 .1 预备知识引理 1[2 ] 设△ ABC的三边长及 相似文献
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不等式是中学数学的重要内容之一 ,而平均不等式是不等式中的重要不等式 ,这“重中之重”决定了它是永不衰退的高考热点 .事实也正是如此 ,近三年高考题中 ,1997年全国文、理第 2 2题 ,1998年全国文、理第 2 2题 ,1999年全国文、理第 2 0题都涉及到平均不等式 .因此正确理解、灵活运用平均不等式 ,掌握平均不等式求最值的技巧 ,将会使复杂的问题变得简单 ,收到事半功倍的效果 .1 正确理解平均不等式高中《代数》(必修 )下册P15第 11,12题所示两不等式稍作变形并结合起来是a2 b22 ≥ a b2 ≥ ab≥ 21a 1b(a ,b∈R ) .其推广… 相似文献
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刘治和在 [1 ]中把柯西 (Cauchy)不等式叙述为 :(a1b1+a2 b2 +… +anbn) 2 ≤a21+a22 +… +a2 n b21+b22 +… +b2 n(ai,bi∈R ,i=1 ,2 ,… ,n) ,当且仅当a1b1=a2b2 =… =anbn时等号成立 .这是错误的 .诚然a1b1=a2b2 =… =anbn a1b1+a2 b2 +… +anbn 2= a21+a22 +… +a2 n b21+b22 +… +b2 n但a1b1+a2 b2 +… +anbn 2= a21+a22 +… +a2 n b21+b22 +… +b2 n \a1b1=a2b2 =… =anbn.反例 a1,a2 ,… ,an∈R ,b1=b2 =… =bn= 0 ,a1b1+a2 b2… 相似文献
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