两个优美不等式的推广

本刊文[1]介绍了一组俄罗斯杂志《中学数学》刊登的不等式题，其中有下面的瓦西列夫不等式和彼得罗夫不等式：     

一个分式不等式的再推广

1993年,冯跃峰老师在《上海中学数学》第2期上提出一个不等式问题:已知x,y,z∈R ,x y z=1,求证:x4y(1-y) z(1y-4z) x(1z-4x)≥16.(1)次年,尹文华老师将其推广,得到如下结果[1]:若x,y,z∈R ,且x y z=1,求证:x4y(1-y2) z(1y-4z2) x(1z-4x2)≥81.(2)2004年,李铁烽老师将上述两个不等式统一推广为[2]:若x,y,z∈R ,且x y z=1,n是正整数,求证:x4y(1-yn) z(1y-4zn) x(1z-4xn)≥3n 32n-9.(3)本短文旨在推广不等式(3),笔者提出并证明下述定理若x,y,z,n∈R ,m≥2,且x y z=1,则xmy(1-yn) z(1y-mzn) x(1z-mxn)≥33nn--m 12.(4)证明由幂平均不等式,可得…     

瓦西列夫不等式的加强

本刊曾刊登了瓦西列夫提出的如下优美的不等式：设a，b，C〉0，a＋b＋c=1，则，^2a＋b/b＋c＋b^2＋c/c＋a＋c^2＋a/＋a＋b≥2①笔者经过探索，得到了①的一个加强结果：     

阿·尼·瓦西列夫不等式的再推广

文[1]介绍了阿.尼.瓦西列夫不等式:设a,b,c为满足a b c=1的正数,则a2 bb c bc2 ac ca2 ba≥2(1)文[2]将其推广为设a,b,c为满足a b c=1的正数,则λa2 bb c λcb2 ac λac2 ba≥λ2 3(λ≥1)(2)文[3]将(2)式中的λ≥1改进为λ≥41,并提出λ的最好正的下界是什么?借助杨路教授     

一道数学奥林匹克题的再推广

1999年加拿大数学奥林匹克试题第 5题 :已知 x,y,z为满足 x+ y+ z=1的非负实数 ,试证 :x2 y+ y2 z+ z2 x≤ 42 7( 1 )并指出等号成立的条件 .文 [1 ]将其多元推广为 :若 x1 ,x2 ,… ,xn( n≥ 3)为满足 x1 + x2 +… + xn=1的非负实数 ,则x21 x2 + x22 x3+… + x2n- 1 xn+ x2nx1 ≤ 42 7( 2 )当 x1 ,x2 ,… ,xn中一个为 23,另一个为 13,其余 n- 2个均为 0时等号成立 .今对赛题 ( 1 )式与文 [1 ]推广 ( 2 )式分别作指数推广 .1　赛题的指数推广定理 1　若 x,y,z为满足 x+ y+ z=1的非负实数 ,n,m∈N+且 n≥m,则　xnym+ ynzm+ znxm≤13nnmm( n+ …     

一个分式不等式的再推广

《数学通报》1 996年第 5期第 1 0 1 3号问题 :设ａ ,ｂ ,ｃ为正数 ,且满足ａｂｃ =1 ,试证1ａ3(ｂ+ｃ) +1ｂ3(ｃ+ａ) +1ｃ3(ａ+ｂ) ≥ 32 (1 )近年来 ,多篇文章用不同的方法给出了不等式 (1 )的证明和幂指数推广 ,文 [1 ]列出了 1 5篇参考书目 ,并给出了不等式 (1 )的两个漂亮的幂指数推广 .本文从指数和项数方面考虑 ,给出不等式(1 )的两个推广 ,文 [1 ]中的两个推广定理是本文的两个推广定理的特例 .利用均值不等式 ,易证 :若ａ,ｂ是正数 ,且ａｂ= 1 ,ｍ为任意实数 ,有ａｍｂ +ｂｍａ ≥ 2 (2 )定理 1　设ｘｉ∈Ｒ+,(ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ) ,…     

一个优美不等式的再推广

瓦西列夫不等式： 设n，b，c〉0，n＋b＋c=1，则a^2＋b/b＋c＋b^2＋c/c＋a＋c^2＋a/a＋b≥2.     

一个不等式的再推广

问题[1 ] 　设ａ1 ,ａ2 ,ａ3,ａ4∈Ｒ ,求证ａ31 ａ2 ａ3 ａ4 ａ32ａ3 ａ4 ａ1 ａ33ａ4 ａ1 ａ2 ａ34ａ1 ａ2 ａ3≥ (ａ1 ａ2 ａ3 ａ4) 21 2 ( 1 )文 [1 ]讲 ,此不等式的证明需要在较高的理论层次上去探讨 ,这不是中学课堂上所能解决的 .但文 [2 ]仅仅使用了中学生最熟悉的基本不等式 ,给出不等式 ( 1 )的两个简单证明 ,并将其推广为 :设ａ1 ,ａ2 ,… ,ａｎ ∈Ｒ ,且ａ1 ａ2 … ａｎ =ｓ,则有ａ31 ｓ -ａ1 ａ32ｓ -ａ2 … ａ3ｎｓ -ａｎ ≥ ｓ2ｎ(ｎ - 1 ) (ｎ≥3) ( 2 )事实上 ,应用基本不等式 ,不等式 ( 2 )还可以进一…     

一道不等式试题的再推广

题目（美国大学生竞赛试题）给定正数a，b，c，d，证明：     

一个不等式的再证与推广

已知ａ>13,ｂ>13,ａｂ=29,求证ａ ｂ<1 ,文 [1 ]采取构造二次方程来证明此不等式 ,文 [2 ]又给出了一个更为简捷的证法 ,的确是三言两语便说明了问题 .但要说证法最优 ,倒很难判定 :什么叫“最”优证法 ?有独一无二的“最”优证法吗 ?现将上面的题目稍加推广 :已知　ａ1 >14,ａ2 >14,ａ3>14;ａ1 ａ2 ａ3=24 3.求证　ａ1 ａ2 ａ3<1 .要用文 [1 ]、[2 ]的证法给予证明便行不通了 ,可见 ,这两种证法都有局限性 ,适用范围不广 .另外 ,文 [1 ]在构造二次方程ｘ2 -ｔｘ 29=0中 ,还可由判别式Δ=ｔ2 - 89≥ 0 ,得到不等式　ｔ=ａ ｂ≥2 23.当然…     

一个代数不等式的再推广

文 [1 ]中给出了一个代数不等式并由此推出了一系列的结果 ,文 [2 ]中对这一不等式作了推广 .本文将其再推广 ,给出更具一般性的形式 .定理　设ｘ =ｘ(ｔ) ,ｙ =ｙ(ｔ) ,ｔ∈Ｄ Ｒ ,ｘ >0 ,ｙ >0 ,ｘ ,ｙ是Ｄ上单调函数 (可不严格 ) ,Ａ =ｘ(ｔ1)·[ｙ(ｔ1) - ｙ(ｔ2 ) ]+ｘ(ｔ2 )[ｙ(ｔ2 ) - ｙ(ｔ3) ]+… +ｘ(ｔｎ -1) [ｙ(ｔｎ -1) -ｙ(ｔｎ) ]+ｘ(ｔｎ) [ｙ(ｔｎ) - ｙ(ｔ1) ],ｎ >1 ,ｎ∈Ｎ .则1 )若ｘ ,ｙ增减性相同 ,得Ａ≥ 0 ,且当且仅当ｘ(ｔ1) =… =ｘ(ｔｎ)或 ｙ(ｔ1) =… =ｙ(ｔｎ)时 ,Ａ =0 ;2 )若ｘ ,ｙ增减性相反 ,得Ａ≤ 0…     

一个三角形面积不等式的推广

文献 [1]给出一个三角形面积不等式 :设面积为△的△ ABC的三边长为 a、b、c,令a1=(b c) ,b1=(c a) ,c1=(a b) ,则以 a1、b1、c1为边可作成△ A1B1C1,并设其面积为△ 1,则有　　　　　△≤△ 1. (1)本文将围绕上述定理进行推广 .1　预备知识引理 1[2 ] 　设△ ABC的三边长及     

两个不等式的再推广

《数学通讯》2000年第13期《两个不等式的指数推广》一文中,作者将文[1]中的两个不等式进行了推广,给出下面一般结果。     

平均不等式及其应用

不等式是中学数学的重要内容之一 ,而平均不等式是不等式中的重要不等式 ,这“重中之重”决定了它是永不衰退的高考热点 .事实也正是如此 ,近三年高考题中 ,1997年全国文、理第 2 2题 ,1998年全国文、理第 2 2题 ,1999年全国文、理第 2 0题都涉及到平均不等式 .因此正确理解、灵活运用平均不等式 ,掌握平均不等式求最值的技巧 ,将会使复杂的问题变得简单 ,收到事半功倍的效果 .1　正确理解平均不等式高中《代数》(必修 )下册Ｐ15第 11,12题所示两不等式稍作变形并结合起来是ａ2 ｂ22 ≥ ａ ｂ2 ≥ ａｂ≥ 21ａ 1ｂ(ａ ,ｂ∈Ｒ ) .其推广…     

柯西不等式的微小改动

刘治和在 [1 ]中把柯西 (Ｃａｕｃｈｙ)不等式叙述为 :(ａ1ｂ1+ａ2 ｂ2 +… +ａｎｂｎ) 2 ≤ａ21+ａ22 +… +ａ2 ｎ ｂ21+ｂ22 +… +ｂ2 ｎ(ａｉ,ｂｉ∈Ｒ ,ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ) ,当且仅当ａ1ｂ1=ａ2ｂ2 =… =ａｎｂｎ时等号成立 .这是错误的 .诚然ａ1ｂ1=ａ2ｂ2 =… =ａｎｂｎ ａ1ｂ1+ａ2 ｂ2 +… +ａｎｂｎ 2= ａ21+ａ22 +… +ａ2 ｎ ｂ21+ｂ22 +… +ｂ2 ｎ但ａ1ｂ1+ａ2 ｂ2 +… +ａｎｂｎ 2= ａ21+ａ22 +… +ａ2 ｎ ｂ21+ｂ22 +… +ｂ2 ｎ \ａ1ｂ1=ａ2ｂ2 =… =ａｎｂｎ.反例　ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ∈Ｒ ,ｂ1=ｂ2 =… =ｂｎ= 0 ,ａ1ｂ1+ａ2 ｂ2…     

一个不等式的再推广及应用

2003年第64届普特兰数学竞赛A2题： 设a1，a2，…，an和b1，b2，…，bn都是非负实数，证明：