例谈“以退求进”法解题策略

著名数学家华罗庚说过:善于退,足够的退,退到最原始而不失去重要的地方,是学好数学的一个诀窍.这里所谓的退,当然不是逃跑,而是养精蓄锐,蓄势待发,是在为进寻求途径,即以退为进.它的实质是借助转化的数学思想,把复杂的问题简单化,运动的问题静止化,高维问题低维化,变量问题常量化,抽象问题具体化,代数问     

数学转化的思想方法

数学转化思想是“把问题元素从一种形式向另一种形式转化的能力”．就解题的本质而言,解题既意味着转化,既把生疏问题转化为熟习问题,把抽象问题转化为具体问题,把复杂问题转化为简单问题,把一般问题转化为特殊问题,把高次问题转化为底次问题;把未知条件转化为已知条件,把一个综合问题转化为几个基本问题,     

数学解题中的"进"与"退"

数学中蕴含着丰富的辩证思想 ,毛泽东同志就指出“一切矛盾着的东西相互联系着 ,不但在一定条件下处于一个统一体中 ,而且在一定条件下相互转化 .”“进”与“退”既对立又统一 ,进退互用是重要的数学思维策略 .那么 ,何为“进” ?何为“退”呢 ?数学中的“进”是指将特殊的 ,具体的 ,局部的 ,低维低次的 ,抽象水平弱的问题“进一步”转化为一般的 ,抽象的 ,整体的 ,高维高次的 ,抽象水平高的问题来处理 .与之相反的是数学中的“退” .合理的“进”可起到居高临下 ,高瞻远瞩 ,深刻认识事物本质 ,透彻解决问题的目的 .善于“退” ,足够地“退…     

从“特殊化法”入手

许多数学问题,虽然其表现形式可能是较为复杂的一般情形,但其本质总存在着简单的一面．因此不妨从一般退到特殊,用“特殊化法”对问题进行整体处理或实施赋值、降维、减元等转化的策略,从特殊情况的探究中,寻找解题思路,发现解答问题的方向或途径,并能快速得出一般结论．     

PPDE 中的一个极限定理

PP 方法是近年来兴起的一种处理高维数据的统计方法。它最早是由 Kruskal(1969,1972)提出来的。PP 的基本思想是把高维数据投影到低维空间中去。这样,通过对某些感兴趣的投影方向上的数据处理来解决高维问题,因而 PP 方法中最根本的问题是投影方向的选择以及选定方向后如何导出高维结构。PP 是 Projection Pursuit 的缩写,一般译为投影寻踪。     

几类PP型检验统计量的性质

投影寻踪(Projection Pursuit,简称 PP)方法是一种新兴的处理高维数据的统计方法.其主要思想是:把高维数据(p 维),X_1,X_2,…,X_n 投影到低维空间(通常是一维),设 Q 为一能反映我们感兴趣的统计性质的指标(一般为分布的泛函).对于每个 P 维方向,计算出 Q(a~TX_1,a~TX_2,…,a~TX_n)找出使 Q(a~TX_1,a~TX_2,…,a~TX_n)达到最大的方向 a_0,通过研究数据 a_0~TX_1,…,a_0~TX_n 的性质,来了解原数据 X_1,X_2,…,X_n 的性质.详细论述见成平、李国英等[2],Huber[4].     

数值积分法研究近况综述

在我们的文章[1]中,曾着重介绍了近代高维数值积分方法的研究概貌.本文将进一步综述各种数值积分法研究的最近情况.为论述方便起见,本文共分这样四个部份:(一)略论一般概况;(二)关于一维数值积分方法;(三)关于高维数值积分方法;(四)数值积分中的几个特殊问题.     

非线性对流扩散问题的交替方向差分流线扩散法

1引言Peaceman,Douglas等人于1955年提出了差分格式的交替方向法。随后,Douglas,Dupont于1972年又提出了有限元格式的交替方向法[1]。其基本思想是:对两个或三个空间变量的二阶抛物型和双曲型问题,将交替方向法与Galerkin方法相结合,通过算子分裂技术,把高维问题转化为一系列低维问题,交替地沿各空间变量的方向求解。[2]、[3]和[4]给出了对更一般扩散问题(带对流项的抛物方程)的数值求解和误差分析。     

流形上次最优化解非线性规划算法的改进

§1.引言 Zangwill提出了流形上次最优化算法解下述的数学规划问题:其中f(x)为连续可微的凹函数,A为m×n维实矩阵,x∈E~n,b∈E~m。 Zangwill算法的主要内容是把问题(P)化为一系列如下的子问题:其中B为集合N={1,2,…,n}的某子集。他证明了,在一定的假设条件下,只要经过解有限个子问题(P_B),就能获得问题(P)的最优解。由于把高维问题化成低维问题;     

PP 型拟合优度检验

摄影寻踪(Projection Pursuit,简称PP)是一种新兴的用来处理高维数据的统计方法,其主要思想是通过极大化某个投影指标(通常是分布函数的泛函)来寻找低维投影,通过对其低维投影数据的研究来发现高维数据的性质.PP 方法自首次提出,已用于处理一些非正态多维数据分析问题,如回归、判别、聚类、密度估计等.     

利用Tanh方法产生的(2+1)和(3+1)维非线性可积方程的精确解

主要利用Tanh函数方法,对两个高维五阶非线性可积方程进行了讨论,通过行波约化,分别将(2+1)和(3+1)维非线性可积方程转化为常微分方程.结合Riccati方程的性质,分别得到关于若干参变量的代数系统,借助于Mathematica软件符号运算功能,最终得到了上述两个高维方程的精确解.     

基于稀疏自编码器的金融市场指数预测模型

针对高维数据"维数灾难"问题,降维是最典型的处理方式之一。降维技术不仅可以减弱"维数灾难"的负面影响,而且能够剔除高维数据中的冗余特征,从而提升高维数据回归、分类等任务的效率。高维数据通常呈现出复杂或非线性结构,恰当的降维方法可以有效地将高维特征数据投影至低维空间,以实现原始数据的非线性特征提取。本文尝试使用无监督学习模型稀疏自编码网络对金融高维数据进行非线性特征提取,将提取到的特征作为有监督学习模型BP神经网络的输入以预测指数收益率。更进一步地,为了验证稀疏自编码算法在特征提取方面的优势与有效性,本文引入稀疏主成分模型进行对比分析。实证分析显示:本文所使用的稀疏自编码网络能够较好地提取非线性特征并进行预测,其预测精度优于以稀疏主成分为代表的线性降维方法。     

逼近转化论的一些研究

本文运用逼近转化的观点、方法研究实变函数的构造分析、转化原理及高维逼近的有关问题,文中最主要的定理为: 定理1 设f∈L_p(D)),并有m维n次多项式p_n,使得‖f-p_n‖_p≤ε(n),ε(t)。 则f与g∈L_p(D)等价,并且     

运用构造法解立几题

解题的过程是一个不断地把未知转化为已知的过程,构造法就是实现这种转化的重要思想方法。在立体几何中,常表现为根据题目的特征,精心构造一个相应的“模型”,把陌生问题转化为熟知问题,把复杂问题转化为简单问题。正方体是最特殊的四棱柱,它的六个面都是全等的正方形,线线、线面、面面之间都有垂直线或平行关系,这便提供了多姿的化繁为简的条件,以它为“模型”是最妙不过的了。     

浅谈高考数学试题对十种意识的考查

随着高考改革的深入,高考命题已趋于理性化,目前,已由考查知识型转向考查能力型,并逐步加大了对学习和运用数学的态度等方面数学意识的考查,值得中数教育界深思,近年来笔者研究发现高考数学试题中主要考查十种意识,现不揣浅陋总结于下,愿与同行切磋．１．转化意识此乃高考考查的重要意识之一,约占整卷７０左右的试题,需要转化后求解．数与式、数与形、特殊与一般、低维与高维、有穷与无穷等的转化为解题提供了广阔的思维空间,学生在应试中思维受阻与缺乏此种意识不无关系．例１　（９７理）设二次函数ｆ（ｘ）＝ａｘ２＋ｂｘ＋…     

计算高维数值积分的Nonte Carlo方法

<正> 由于古典的高维数值积分方法(如高斯法等,见[10])的精度随着维数 s 增加而迅速地下降,运算量却迅速地上升.因此,对高维数值积分来说,确定性的方法实际上已根本不能使用.所以,用 Monte Carlo 方法(简记为 MC 法)求高维数值积分,在50年代中期已为许多 MC 研究者们所研究.但是运算量大、精度低的问题并未取得明显进展.即使简单 MC 法(简记为 SMC 法)的误差阶为     

Mbius反演与高维算术Fourier变换

将 M bius反演公式推广到一般的惟一分解半群上 ,在建立了 n维整点与 n次代数整数环的环同构的基础上利用广义函数得到了高维 Fourier系数与M bius函数之间的一般关系 .它是一维算术 Fourier变换 (Arithmetic FourierTransform简称 AFT)在高维的自然推广 .     

辩证思维解题策略举要

数学中充满了辩证法 ,解决数学问题常常需要运用辩证思维 ,本文介绍几种常见的辩证思维解题策略 .1　一般与特殊一般性寓于特殊性之中 ,在解决数学问题时 ,将一般问题特殊化和将特殊问题一般化是常用的两种策略 .1 1　一般问题特殊化当我们在解决一般问题遇到困难时 ,如果先考虑其特殊情形常常能发现一般规律 ,从而使问题顺利解决 .例 1　已知函数ｆ(ｘ) =ｘ1 -ｘ2 ,并定义ｆｎ(ｘ)=ｆ(ｆ(…ｆｎ个(ｘ) ) ) ,其中ｎ为自然数 ,求ｆｎ(ｘ) .分析 :此题用直接代入的方法简直无从下手 .如果我们先考虑几个特殊情形 ,如ｆ1 (ｘ)、ｆ2 (ｘ)、ｆ3(…     

中国证券市场的高维混沌现象分析

将高维混沌理论应用到中国证券市场的分析之中,指出了当前许多文献中计算中国证券市场混沌特征指数出现较大差异的原因.通过比较上证综合指数与英国M organ S tan ley C ap ita l In ternationa l指数后指出,中国证券市场较复杂,且存在较多的高维(接近四维)混沌成分.     

高维仿射空间参数曲线的几个不变量

本文的目的是将仿射平面上有关参数曲线的几个不变量的研究扩广到高维仿射空间去,我们得到如下的 定理 m维仿射空间n(>m>2)次参数曲线一般具有m(n-m)-2个内在仿射不变量。 证 设曲线C_n的参数表示为