曲线束的应用

线束在解析几何和平面几何中有许多应用.例如证明一些共点问题和共线问题,以及有关线段乘积或比例问题.本文试就平面几何及解析几何中一些较复杂的问题,用线束法证明之.在证明之前,我们不加证明先引用Bezout定理. Bezout定理:如果阶数为m、n的两条曲线有多于mn个交点,那未,它们必定有公共的分量.     

一堂平面几何复习课的体会

在初中平面几何总复习阶段中,除了整理书本知识外,采取多种形式引导学生钻研典型习题,可以帮助学生巩固所学知识,提高分析能力。我在教学中,对一些典型习题采取固定其中的某些条件,类比变换另外一些条件,诱导学生不断提出“形同质”的新问题的方法,取得了较好效果,特别是使大多数学生举一反三,触类旁通的能力有了较大的提高。例如,我在指导学生复习三角形中的边角不等关系时,首先归纳、整理了用来证明不等关系的几个定理和一般方法,然后提出下面问题: 题1 在△ABC中,AB>AC,E为高AD上任一点,证明 EB>EC(见图一)。     

旋转变换在平几中的应用

在数学教学中,培养学生用变换的观点解题,无疑是很重要的,最常见的变换方法有变量代换法、降维变换法、运动变换法等．本文谈谈旋转变换在初中平面几何上的几点应用．平面几何中有一种最常用的证明角、线段相等或不等的方法,就是通过添加适当的辅助线构造全等三角形,...     

初中学生也可以用三角知识解某些平几问题

在平面几何中,证明成比例线段问题的常规方法是用相似三角形和平行线截割定理。对于其中有直角三角形条件的某些问题,利用锐角三角函数的定义和解直角三角形的方法也很方便。用这种方法可以直接推算证明,免去了找相似三角形对应边的麻烦,有其一定的优越性。初中学生在学过了三角函数定义和一些简单的三角变换后,引导他们把这些知识用于平面几何题目的证明,可以激发他们学习三角的兴趣。而这种方法又是解决平几中成比例线段问题的一种补充。这对活跃学生思维,揭示三角、几何之间的内在联     

面积问题与面积方法

面积问题与面积方法黄启林（华南师大附中５１０６３０）在各级各类国内外数学竟赛试题中，有不少关于面积的问题，面积问题是几何中的一个重要问题．面积方法─—利用面积知识来求解或证明命题的方法，是几何证明的重要方法，几乎所有的平面几何定理都可以用面积方法来加...     

向量内积应用例谈

平面几何竞赛题是数学竞赛的一个重要组成部分,其证明除了用一般的平面几何的方法以外,还可以用代数的方法,利用向量就是其中的一种形式.如果我们充分挖掘题目中的条件以及结论,把原来的某些图形向量化,再利用向量的某一些特定的性质,就可以     

用面积法解数学竞赛中的平几题

对于平面几何问题,借助于有关面积知识以使问题中几何量的关系变得明瞭,甚至使问题得到解决,是常用的证明方法之一。让我们来看下面的例题. 例1 AC、CE是正六边形ABCDEF的两条对角线,点M、N分别内分AC、CE,使AM:AC=CN:CE=r,如果B、M.N三点共线,求r(第23届IMO竞赛题). 解由题设B、M、N三点共线,得等式     

“几何法”探究圆锥曲线求解新视角

平面几何与解析几何是初等几何的两个重要的分支,解析几何的核心思想是运用代数方法来研究几何问题。平面几何着重用逻辑推理的手段来解决几何问题。在常规教学中,师生往往割裂了两者内在的联系,忽视了平面几何在解析几何试题中的应用,从而使得有一部分解析几何试题解决的过程复杂化。本文以教材中一道抛物线习题的解答为引例,谈谈平面几何知识在解析几何中的应用,供大家参考。     

在中学解析几何教学中注意灌输不变量的思想

在我们用解析几何的方法证明平面几何的命题时,如果坐标系建立得合适,做起来会简单得多。例如,证明“三角形三边上的高线交于一点”时,建立如图1的坐标系,就比如图2的坐标系做起来简便,但随     

四面体的一个体积定理的证明和应用

四面体的一个体积定理的证明和应用徐连清（内蒙赤峰巴林右旗大板三中０２５１５０）从所周知，平面几何中最简单的几何图形三角形有面积定理：“三角形的面积等于它任意两边和夹角正弦乘积的一半”，那么立体几何中最简单的几何体四面体是否也有类似的体积定理呢？下面就...     

新课标下平面几何变式教学几例

平面几何历来被认为是培养学生逻辑思维能力的课程,在当前提倡培养学生创新能力的情形下,平面几何似乎无用武之地.其实,这是一种误解.如果在平面几何教学中进行变式教学,不仅可以传授知识、培养学生的逻辑思维能力,也能培养学生的创新能力.     

巧用三点共线证明三线共点

<正>在平面几何中,证明某一类型命题时,如果能捕捉到相关类型命题的有关信息,那么我们就能另辟蹊径.例如在证明三线共点这类命题时,其中一种方法就是利用三点共线去证请看下面几例.例1证明三角形的三条中线共点.已知:AD、BE、CF为△ABC的三条中线.     

利用几何方法解决圆锥曲线问题

<正>圆锥曲线是中学数学重要内容,是高考必考的难点内容之一,这部分内容由于计算量比较大,方法灵活多变而使很多同学望题兴叹.在解题过程中如果能挖掘圆锥曲线的几何特征,用平面几何的方法解决圆锥曲线问题,问题变得简单明了.本文举例说明平面几何方法     

2020年全国高中数学联赛加试几何题的证明与思考

2020年全国高中数学联合竞赛加试(A卷)的第一题是一道平面几何问题,此题构形简洁,题目中内蕴较多的基本几何位置关系,证明此题也不需要过多高深的知识,既可以从代数运算的角度推证,也可以利用平面几何基础知识获解,是一道证法灵活、内涵丰富的试题,值得我们品味把玩与思考研习.     

用平面几何知识探究两道高考向量题的共同背景

向量既有大小也有方向,是联系几何与代数的桥梁纽带．对于向量问题如果能够充分利用相关的几何与代数知识,通常可以简单解决．现在的敦与学,过多关注向量的代数运算,很少关注向量的几何特征．然而有些向量问题用其代数运算是很难解决的,2011全国卷Ⅱ理科12题不论用坐标向量的代数运算,还是用非坐标向量的代数运算都很难解决,若利用平面几何知识则很容易解决．     

用数值代入的方法证明平面几何题

平面几何中的证明题很多可以用数值代入的方法去证明,其基本思想是这样的:首先将几何证明中的点的坐标用符号来表示,然后将几何条件转化为代数求解问题,最后对给定的符号用具体的数值来代替,从而达到证明的目的.     

极坐标法证平面几何题

极坐标法证平面几何题４３６５００黄梅实验中学何省三平面几何题的证明方法颇多，除自身的几何证法外，还可采用三角法、复数法、解析法等多种证法．选择证法时要因题而异，具体情况具体分析．本文介绍解析法中的极坐标法，既可巩固极坐标有关知识，又可以用强思维训练．...     

谈谈平几题的三角证法

三角函数是个比值,这个比值随着角的变化而变化。平面几何主要研究线段和角的有关问题,如果选定一个角为参数,就可以用三角函数式表示有关线段的相互关系,于是就能通过三角函数式的变换,解决平面几何问题。用三解法证平面几何题,思路比较清晰,不需要引过多的辅助线,关键是选好参数角,然后把有关的线段和角,表示为含有参数角的三角函数式,进而从三角函数式的变换解决欲证的命题,在三角教学中能练习解决平凡问题还可丰富平几知识。在不增加学生负担的情况下以补平几教学之不足。例1 求证等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和为定值。已知△ABC中,∠B=∠C,p为底边BC上任意一点(图1)。PE⊥ABPF⊥AC。求证 PE+PF为定值。分析△ABC给定后,其边长,角等都是定值,由于题目中有直角三角形,可以选底角为基本元素(参     

全等三角形的证明

全等三角形的性质是证明角或线段相等的重要依据.是初中几何的奠基石.因此掌握全等三角形的证明是学好平面几何的关键,是进一步学好后续知识的基础. 那么,怎样证明两个三角形全等呢?本文以近年中考试题为例谈几点看法,以期提高大家的证题能力.     

关于平面几何证明题的教学

一、讲清证明的意义在平面几何课中,讲解数学证明时,应该讲清如下的重要意义。什么是数学证明?从所需证明命题的条件出发,根据已知的定义、公理和已经证明过的定理推导出命题的结论,在数学上把这种推理过程叫做证明。数学证明的严谨性是数学的基本特点是发展学生逻辑思维的核心环节。任何一个论证的目的,都在于表明如果题设是真的,那么题断亦真,因此,在数学证明过程中严格要求学生言必有据,而不能用主观臆造和单凭直观感觉,是十