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《数学通讯》2000,(17)
题 11 将一个用细铁丝制成的正四面体浸入肥皂水中 ,使铁丝上布满肥皂水的薄膜 ,取出后发现正四面体铁丝上的薄膜的面积是正四面体的中心及六条棱组成的三角形的面积和 .试证明 :正四面体铁图 1 题 11图丝上的薄膜面积最小 .解 建立如下立体几何模型 :正四面体内一点与各棱所构成的三角形的面积和最小当且仅当该点为正四面体的中心 .如图 1,正四面体ABCD内一点P在三组对棱上的垂足分别是P1 ,P2 ,P3 ,P4,P5 ,P6 .AB ,CD ,BC ,AD ,BD ,AC的中点分别为Q1 ,Q2 ,Q3,Q4,Q5 ,Q6 .易知 ,Q1 Q2 ,Q3Q4,Q5 Q6 分… 相似文献
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等腰四面体就是三对棱分别相等的四面体.竞赛中常会出现关于等腰四面体的问题,通过把等腰四面体补全为立(长)方体,我们就会有“山重水复疑图1无路,柳暗花明又一村”的感觉.例1(2000年全国高中数学联赛题)一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为a,则这个球的体积是. 相似文献
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由立几课本 P1 0 8习题十三的第一题可知 ,正方体截去四个直角后 ,得到一个正四面体 .如图 1 ,若设正方体的棱长为 a,正四面体的棱长为 a′,正方体及正四面体的外接球半径分别为 R、R′,正方体的内切球及正四面体的棱切球半径分别为 r、r′,易知有如下结论 :1正四面体内接于一正方体 ,且 a′=2 a;2 V正四面体 =13V正方体 ;3R =R′; 4 r =r′.(证明略 )利用上述结论可迅速解决如下各题 :图 1 图 2例 1 正三棱锥 S- ABC的侧棱与底面边长相等 ,如果 E、F分别为 SC、AB的中点 ,那么异面直线 EF与 SA所成的角等于( … 相似文献
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有如下一道立体几何判断题 :底面是正三角形 ,相邻两侧面所成二面角都相等的三棱锥是正三棱锥吗 ?甲同学给出了否定的回答 ,并构造了如下“反例” :图 1 甲同学所举反例示意图如图 1 ,P -BCE为正三棱锥 ,在PE上取一点A ,使AB =BE ,连AB ,AC .推知AB =BC =CA ,即△ABC为正三角形 ,从而三棱锥P -ABC的底面为正三角形 ,相邻两侧面所成的二面角都相等 ,而非正三棱锥 .图 2 乙同学证明用图但 ,乙同学不同意甲的判断 ,并给出了如下“证明” :如图 2 ,设三棱锥P -ABC满足所设条件 .作AH⊥面PBC ,垂足为H ,… 相似文献
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解立体几何题时,我们常会遇到求点到面、线与面、面与面及异面直线之间距离的问题.用直接法解就是作出垂线段,再求其长,但多数情况下,垂线段是难以作出的,因此求它的长也就十分困难了.我们不妨换一种思路.图1 例1图例1 如图,ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体,M,N分别是A1B1,B1C1的中点,求A1到平面AMN的距离.分析:本题直接作A1到平面AMN的垂线段有一定难度.但我们可以过A1构造一条平行于平面AMN的线段,再求线面距离.为了方便解题我们还可把平面AMN拓展为平面ACNM.解 连接AC,BD,A1C1,B1D1,CN,设… 相似文献
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我们知道 ,要断定一个命题是真命题 ,必须要进行严格的论证 ,即证明对满足题设的所有情况结论都正确 .但要否定一个命题却只要举出一个反例即可 .因此 ,当我们难以肯定一个命题是真命题时 ,就应考虑是否能够找到一个满足题设却不是题中结论的例子 (即反例 ) ,若能找到 ,便可以判定该命题是假命题 .现就立体几何中的几个假命题举反例如下 ,供大家参考 .命题 1 侧面是全等的等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 .图 1 命题 1的反例示意图反例 如图 1,令三棱锥V ABC中的棱VA=VB =BC =AC ,AB =VC ,VA≠AB ,则三棱锥V ABC是… 相似文献
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立体几何中最值问题是近年来高考的热点 .它涉及的知识面广 ,属灵活性大、综合性强的问题 .为了能使学生全面地、系统地掌握此类问题 ,现将其分为四类进行探究 .以飨大家 .1 最短线长问题1.1 多面体表面上最短线长图 1 例 1图例 1 一只蚂蚁从正三棱锥S ABC形物体的A点出发沿侧面爬行 ,经过棱SB上一点M、SC上一点N、再爬回到A处 .已知∠ASB =4 0° ,SA =3cm .求蚂蚁爬行的最短路线长为多少 ?解 沿侧棱SA剪开 ,将正三棱锥S ABC的侧图 2 例 1解答用图面展开成平面图形SABCA′ .如图 2 .由平面几何知识知 ,… 相似文献
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空间中角的概念 ,包括异面直线所成的角 ,直线和平面所成的角和二面角 .1 异面直线所成的角根据异面直线所成角的定义 ,平移其中的一条使之和另一条相交 ,就可以得到异面直线所成的角 .而平移通常是以作平行线的方法来达到这一目的 .图 1 例 1图例 1 ( 1989年北京高一竞赛题 )如图 1,三棱柱ABC -A′B′C′中 ,全部九条棱长都等于 1,且∠A′AB =∠A′AC =∠BAC ,P为侧面A′ABB′的对角线A′B上的一点 ,A′P =33,连PC′ ,求异面直线PC′与AC所成角的度数 .解 由A′C∥AC ,故∠A′C′P的度数即为异… 相似文献
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选择题 1.(黄冈高中 6月模拟题 )关于异面直线a ,b ,有下列命题 ,其中正确的命题是 ( )(A)过空间任意一点 ,可作一个平面与a ,b都平行 .(B)过空间任意一点 ,可作一个平面与a ,b都垂直 .(C)过a有且仅有一个平面平行于b .(D)与a ,b都相交的两条直线也是异面直线 .2 .(湖北八校联考题 )从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条 ,使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线 ,则k的最大值为 ( )(A) 2 . (B) 3.图 1 第 3题图(C) 4 . (D) 6 .3 (黄冈高中 6月模拟题 )如图 1,已知A—BCD是棱长都… 相似文献
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在解答有关梯形的题目时 ,常常要添加辅助线 ,把梯形问题转化成三角形、平行四边形的问题来解 .解答梯形问题时 ,常引辅助线的方法有以下几种 :一、延长两腰 (使其相交 )得到两个相似三角形 ,如图 (一 ) .例 1 已知 ,梯形ABCD中 ,AB∥CD ,∠A =∠B ,求证 :AD =BC .分析 :结论要证两条线段相等 ,由题意知 ,此题不能用证两个三角形全等的方法来证明 .因此可考虑将结论中的两条线段集中到一个三角形中 .如图 ,延长AD与BC相交于点E ,由∠A =∠B知△EAB是等腰三角形 ,又因为DC∥AB ,所以△EDC也是等腰三角形 ,从… 相似文献
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统编教材《立体几何》习题八中有这样一道题 ,求证 :平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得截面是平行四边形 .此题易用直线与平面平行的性质证明 .下面通过此题的演变发现其与一道数学竞赛题的联系 ,从中领悟基础与能力、课内与课外的关系如何处理 .图 1 例 1图例 1 四面体ABCD中 ,已知对棱AB ,CD的长分别为a ,b,AB ,CD所成角为θ ,截面EFGH平行于对棱AB和CD(E ,F ,G ,H在其它四条棱上 ) .1)试求截面在什么位置时面积最大 ?2 )求截面周长的取值范围 .(如图 1)1)解法 1 由习题知截面EFGH为平行四边… 相似文献
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1 四个侧面是全等的三角形 ,且各侧面和底面所成的角都相等的四棱锥是正四棱锥图 1 问题 1图错 反例 :作菱形ABCD ,过对角线AC ,BD的交点O作平面ABCD的垂线 ,在垂线上任意取一点P ,连结PA ,PB ,PC ,PD .则四棱锥P ABCD满足题设条件 ,但它却不一定是正四棱锥 .2 各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥错 反例 :在上题中 ,适当地选取P点的位置 ,使OP =OB .一般地 ,当菱形的锐角为θ边长为a时 ,取OP =asin θ2 ,则可得AP =AB ,AP =AD ,CP =CB ,CP =CD ,因而四棱锥P ABC… 相似文献
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文[1]给出了如下趣题的简证:一个正三棱锥与一个正四棱锥的所有棱长均相等,将它们的一个面粘起来(如图),则所得的几本何体文是给斜出三两棱柱个. 相似文献
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题目 如图 1,已知平行六面体ABCD A1 B1 C1 D1 的底面ABCD是菱形 ,且∠C1 CB =∠C1 CD =∠BCD =6 0° .图 1 平行六面体1)证明 :C1 C⊥BD ;2 )假定CD =2 ,CC1 =32 ,记面C1 BD为α ,面CBD为 β ,求二面角α BD β的平面角的余弦值 ;3)当 CDCC1的值为多少时 ,能使A1 C⊥平面C1 BD ?请给出证明 . 1 探源此题的几何模型源于教材复习参考题二的第 11题 .1989年全国高考的立体几何解答题考过这一几何模型 ,一般复习资料上也都图 2 方法 1图有此几何模型 ,因此学生图感非常熟悉 ,易于下手 ,特… 相似文献
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所谓补形法 ,即以已知的几何体为基础 ,将其补形成为更好利用已知条件的几何体 ,从而使问题获解的方法 .这种方法在求多面体体积时经常用到 .1 将锥体补成锥体例 1 已知两条异面直线段的长分别为a ,b ,夹角为θ,距离为h ,求以此两条异面直线段为对棱的四面体的体积 .解 如图 1,四面体ABCD中 ,AB =a ,CD =b ,AB与CD的夹角为θ ,距离为h ,过B作BE∥DC ,过C作CE∥DB交BE于E ,连AE ,则∠ABE =θ或π -θ .因为CD∥平面ABE ,图 1 例 1解答用图∴AB与CD的距离为h ,即点C到平面ABE的距离为… 相似文献
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图形变换是一种重要的解题思想.在求解立体几何问题时,灵活地实施平移、对称、旋转、翻折、分割、补形、伸缩等图形变换,将不熟悉的(或不易计算的)图形变化为熟悉的(易于计算的)图形,将空间图形变为平面图形,从而创设生动的思维情境,优化解题途径.下面以一道1999年高考试题为例说明实施图形变换解题的若干技巧.例 如图,已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1,点E图1 例题图在棱D1D上,截面EAC∥D1B,且面EAC与底面ABCD所成的角为45°,AB=a.①求截面EAC的面积;②求异面直线A1B1与AC之间距离;③求三棱锥B1-EAC的体… 相似文献