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《数学通报》2002,(5)
20 0 2年 4月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 366 如图 ,⊙O1 和⊙O2 是△ABC的边AB、AC外的两个旁切圆 ,E、J、G和F、K、H是切点 ,直线EG、FH交于P点 ,直线EJ、FK交于I点 ,AD ⊥BC于D ,求证 :P、A、I、D四点共线 .(江苏省苏州市第十中学 沈建平 2 1 5 0 0 6)证明 设BC=a ,CA=b,AB =c ,R是△ABC外接圆半径 ,直线EG、AD交于P′ ,直线FH、AD交于P″,下面设法证明P、P′、P″是同一点 .因为c+AH=a+CF ,所以c + (b-CF) =a +CF ,CF =b+c-a2 .在Rt△… 相似文献
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关于三角形的高与旁切圆半径的不等式 总被引:1,自引:0,他引:1
以下约定△ABC的内切圆半径、外切圆半径与面积分别为r,R ,△ ,BC =a ,CA=b,AB=c,s=12 (a+b +c) ,其相应边上的高线 ,角平分线与旁切圆半径分别记为ha,hb,hc;wa,wb,wc;ra,rb,rc.文 [1 ]介绍在一个锐角三角形中 ,有不等式∑wawb ≥ ∑hara (1 )不等式形式简洁 ,但美中不足的是有“在一个锐角三角形中”这个较强的条件 ,在一般三角形中 ,循环和∑hara 有什么结论呢 ?本文研究了循环和∑hara,得到了两个结论 .定理 1 在△ABC中 ,有s2 ≥ ∑hara (2 )等号当且仅当△ABC为正三… 相似文献
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《中学生数学》2003,(11)
高一年级1 .在AB上取一点D ,使DB =CB ,设E为D关于AC的对称点 .连EA ,EB ,ED ,CD .易证△DCE为正三角形 .BE为DC的中垂线 ,AC为DE的中垂线 ,有 :∠EBA =4 0° =∠EAB ,EB =EA =AD =b -a .在△ABE中 ,cos∠AEB =2 (b-a) 2 -b22 (b -a) 2 ;在△ABC中 ,cos∠ABC =a2 +b2 -b22ab ;由cos∠AEB =-cos∠ABC ,得2 (b-a) 2 -b22 (b-a) 2 =- a2b.整理 ,得 a3+b3=3ab2 .2 .y=1 -sinxcosx1 +sinxcosx=212 sin2x + 1- 1 .∵ π… 相似文献
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1 △ABC的三边长分别为a ,b ,c ,b <c,AD是∠A的平分线 ,点D在边BC上 ,1)求在线段AB ,AC内分别存在点E ,F(不是顶点 )满足BE =CF和∠BDE =∠CDF的充要条件(用角A ,B ,C表示 ) ;图 1 题 1图2 )在点E和F存在的情况下 ,用a ,b ,c表示BE的长 .解 1)设∠FDC =∠EDB =α ,则在△DFC中 ,由正弦定理得CFsinα =CDsin∠DFC =CDsin(α +C) .即 CF =CDsinαsin(C +α) (1)在△DEB中 ,同理有 BE =DBsinαsin(B +α) (2 )由 (1) ,(2 )及BE … 相似文献
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A组一、填空题 (每小题 3分 ,共 30分 )1.已知平行四边形ABCD的面积是 16cm2 ,P是AB边上的任意一点 ,△CPD的面积是 .2 .已知a =1,b =2 ,c=3,它们的第四比例项d =;a ,c的比例中项x =.3.菱形的两条对角线长之比为 3∶ 2 ,面积为12cm2 ,则菱形的周长为 .4 .已知AD是△ABC中∠A的平分线 ,△ABD和△ACD的面积的比是 2∶3,则AB∶AC =.5.已知 :如图 1,在△ABC中 ,E ,F分别是AB ,AC的中点 ,延长BC到D ,使CD =13BC ,DE交AC于O ,则CD∶EF =,OC∶OA =.6 .如图 2 ,在Rt△ABC… 相似文献
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题 1 在锐角三角形ABC中 ,求证 :sinA sinB sinC >cosA cosB cosC .这是一道三角不等式 ,证明的方法比较多 ,下面给出二种几何证法 .图 1 证法 1图证 [方法 1] 设△ABC的外接圆圆心为O(由于△ABC为锐角三角形 ,O在△ABC内部 ) ,设其直径为 1,连结AO ,BO ,CO并延长交⊙O分别于D ,E ,F .顺次连结A ,F ,B ,D ,C ,E ,A .设△ABC三边长分别为a ,b ,c.∠BAC ,∠ABC ,∠ACB简记为∠A ,∠B ,∠C .∵∠A =∠BEC ,在Rt△BEC中 ,sin∠BEC =a ,cos… 相似文献
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关于几何恒等式有好多 ,不胜枚举 .今介绍如下一个几何恒等式 ,并给出它的应用 .定理 1 设△ABC的三边a、b、c上的高分别为ha、hb、hc,P为△ABC内部的任意一点 ,过P向三边作垂线段PD =ra,PE=rb,PF =rc,若设△ABC、△DEF的面积为△与△′ ,则有 4△△′ =rarbhahb rbrchbhc rcrahcha. ( 1)证明 如图 1,因为PD⊥BC ,PE ⊥CA ,PF ⊥AB ,故 ∠A ∠EPF =π ,∠B ∠FPD =π ,∠C ∠DPE =π .由三角形的面积公式可得 △′ =S△EPF S△FPD … 相似文献
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设△ABC的三边为a、b、c,相应边上的旁切圆半径为ra、rb、rc,文 [1]证明了 ∑(rb +rc) 2 ≥ 34∑(b +c) 2 ( 1)并提出关于指数推广的猜想 : ∑(rb+rc) k ≥ ( 32 ) k∑(b+c) k ( 2 )其中k &;gt;0 ,∑ 表示对a、b、c轮换求和 .本文证明猜想不等式 ( 2 )成立 .引理 ∑ rb+rcb +c ≥ 332 ( 3)证明 由公式ra =rss -a(r、s分别是△ABC的内切圆半径和半周长 )易证ra(rb +rc) =as ,于是 rb+rc =asra=a(s-a)r =actg A2 ( 4)所以 ,( 3)式等价于刘健证得的不等式[2 ] : ∑ ab +cctg A2 ≥ 332 ( 5)因此 ,引理得证 .不等式 ( 2 )的证明如下 :(i)当 0 &;lt;k&;lt;1时由 ( 4)式及熟知不等式 :s ≤ 332 R (R是△ABC的外接圆半径 ) ,知 (rb+rc) (rc+ra) (ra+rb)=abc(s -a) (s-b) (s -c)r3=4Rs2 ≥ ( 23s) 3,于是 ∑(rb +rc) k ≥ 3[(rb... 相似文献
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几个三角形面积比定理的统一证明 总被引:2,自引:1,他引:1
本文约定:△ABC的三内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,面积为S,且△ABC的半周长为p=12(a+b+c),内切圆半径长为r(=4RsinA2sinB2sinC2).本刊文[1]给出了下面关于锐角三角形的内接三角形面积的一个不等式链S垂足△?.. 相似文献
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设△ABC的边BC、CA、AB与外接圆半径、面积和半周长分别为a、b、c、R、△、s.P是△ABC内任意一点,AP、BP、CP分别交BC、CA、AB于L、M、N.1966年荷兰的O.Botema建立了不等式ALBMCNS△LMN≥4s(1)等号当且仅... 相似文献
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设△ABC的边BC、CA、AB与外接圆半径、面积和半周长分别为a、b、c、R、△、s.P是△ABC内任意一点,AP、BP、CP分别交BC、CA、AB于L、M、N.1966年荷兰的O.Bottema建立了不等式: AL·BM·CNS△LMN≥4s(1)等号当且仅当P是△ABC的内心时成立.类似上式,贵刊文[1]P26刊载了刘键先生建立的不等式:AL·BM·CNa·PL+b·PM+c·PN≥△R(2)等号当且仅当△ABC为锐角三角形且P为垂心时成立.文[2]给出了(2)式的简证,受其启发,笔者通… 相似文献
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设△ABC的边BC ,CA ,AB与外接圆半径、面积和半周长分别为a,b ,c,R ,△ ,s.P是△ABC内的任意一点 ,AP ,BP ,CP分别交BC ,CA ,AB于L ,M ,N .1966年荷兰的O .Bottema建立了不等式 :AL·BM·CNS△LMN≥ 4s ( 1)等号当且仅当P是△ABC的内心时成立 .类似上式 ,文 [1]刊载了刘健先生建立的不等式 :AL·BM·CNa·PL b·PM c·PN≥ △R ( 2 )等号当且仅当△ABC是锐角三角形且P为其垂心时成立 .文 [2 ]给出了 ( 2 )式的一种简证 ,受其启发 ,笔者通过探究 ,将 ( 2 )式… 相似文献
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一个几何不等式的加强周才凯(湖南省炎陵县一中412500)文[1]给出了如下不等式:设△ABC的三条边长BC=a,CA=b,的平分线长分别为ta,tb,tc.若其外接圆半径和内切圆半径分别为R,r,则在△ABC中,如我们用ma,mb,mc分别表示边B... 相似文献
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众所周知 ,相似三角形有许多重要的性质 .如果在探讨三角问题时 ,构造一些相似三角形 ,对我们研究问题和解决问题是大有帮助的 .下面不妨介绍一个重要性质及它在三角中的应用 .1 一个重要性质在△ABC中 ,以sinA ,sinB ,sinC为边可以构造一个△A′B′C′ ,且△ABC~△A′B′C′ .△A′B′C′外接圆半径为 12 .图 1 三角形边角关系证 (如图 1)设△ABC外接圆半径为R ,由正弦定理有 :sinA sinB =12R(a b)>c2R=sinC .同理sinB sinC >sinA ,sinC sinA >sinB .因… 相似文献
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一个不等式的加强及类比 总被引:2,自引:0,他引:2
在△ABC中,有以下不等式[1]:wabc+wbca+wcab≤332.(1)本文先给出它的一个加强.定理1设wa、wb、wc为△ABC三边a、b、c上的角平分线长,R、r为其外接圆半径与内切圆半径,则w2abc+w2bca+w2cab≤4R+r2R... 相似文献
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题 已知△ABC的外接圆半径为 6 ,a ,b ,c分别是角A ,B ,C所对应的边 ,角B ,C和面积S满足条件S =a2 - (b -c) 2 且sinB+sinC =43,求△ABC的面积S的最大值 .乍一看 ,这是一道易解的与不等式知识结合的三角题 ,可以很快给出解答如下 .解 由余弦定理 ,得a2 =b2 +c2 -2bccosA ,即a2 =(b -c) 2 + 2bc( 1 -cosA) ( 1 )又∵S =12 bcsinA =a2 - (b -c) 2 ( 2 )由 ( 1 ) ,( 2 )可得 sinA =4 ( 1 -cosA) ,∴1 -cosAsinA =14 ,∴tan A2 =14 ,∴sinA =81 7.又∵si… 相似文献
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一、已知a <0 ,-1 <b <0 ,则a ,ab ,ab2 之间的大小关系如何 ?解 :∵ -1 <b <0 ,∴b<b2 <1 .又a<0 , ∴ab >ab2 >a .二、如果二次不等式ax2 +8ax+2 1 <0的解是 -7<x <-1 ,求a的值 .解 :考虑二次函数y =ax2 +8ax +2 1的图象 ,由已知条件可知它与Ox轴的两个交点为 (-1 ,0 ) ,(-7,0 ) ,故由韦达定理知 (-7)× (-1 ) =2 1a .∴a=3 .答 :略 .三、在△ABC中 ,∠CBA =72° ,E是边AC的中点 ,D在BC边上且 2BD =DC ,AD与BE交于F ,求△BDF和四边形FDCE的面积之比 .解 :过E作EG∥AD交… 相似文献