祖暅原理的探索性内涵

1教材关于半球体积的求法 在使用祖暅原理推出半球的体积时，高中数学教材《立体几何》使用的方法是：取一个底面半径和高都等于R的圆柱，从这个圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面中心为顶点的倒立圆锥，之后把所得的几何体和底面朝下的半球放在同一个平面α上，然后证明这两个几何体合乎祖暅原理的要求，断定它们的体积相等，从而求出半球的体积。     

祖■原理辅助体新构

利用祖晅原理求球体积时,要设计辅助体。课本《立体几何》中,设计的是一个底面半径与高相等的圆柱,中间挖去一个倒置圆锥所得的几何体。除此辅助体外,还能不能设计出别的辅助体?关键是按祖晅定理的条件构成图形。下面我们来介绍两个新的比课本上更简单的辅助体。设计一:如图1,乙为一躺放着的四棱锥P-ABCD,底ABCD为矩形,BC=2π~(1/2)R,CD=R,PD底ABCD,PD=π~(1/2)R.     

用祖暅原理求椭球体积

文 [1 ]给出了证明球体积公式的又一参照体 ,读后很受启发 .笔者尝试构造椭球的两个参照体 ,分别利用祖日恒原理求椭球的体积 .预备知识1　若椭圆的长、短半轴长分别为a ,b ,则有 :S椭圆 =πab .下面利用面积射影公式S =S射影cosθ作简要证明 :图 1　圆柱如图 1 ,在底面半径为b的圆柱体中 ,作一倾斜角为arccos ba 的截面 ,那么 ,该截面是分别以a ,b为长、短半轴长的椭圆面 .它在圆柱底面上的射影恰好是底面 .由面积射影公式 ,可得 :S椭圆 =S底面cosθ=πb2ba=πab .2　从椭圆上任一点 (非短轴顶点 )引短轴的垂线段 .若垂足到中心的距离为l…     

内接（外切）旋转体的几个结论

文 [1 ]介绍了旋转体与内切球的几个最值问题 .在平时教学中 ,本人也总结出了几个类似结论 .结论 1　在定圆锥 (底面半径为ｒ ,高为ｈ)的内接圆柱中 ,体积最大的圆柱与定圆锥的体积之比等于该圆柱与定圆锥的底面积之比 ,即Ｖ最大圆柱Ｖ锥 =Ｓ最大圆柱底Ｓ锥底 =49.当且仅当圆柱的底面半径等于 23ｒ ,高为 13ｈ时取等号 .证　设圆锥的底面半径为ｒ ,高为ｈ ,圆柱底面半径为ｘ ,体积为Ｖ ,由相似三角形可知 ,圆柱的高为ｒ -ｘｒ ｈ ,故Ｖ =πｘ2 ·ｒ -ｘｒ ｈ=πｈｒｘ2 (ｒ-ｘ)=πｈ2ｒｘ2 ( 2ｒ - 2ｘ)≤πｈ2ｒｘ +ｘ + ( 2ｒ - 2ｘ)33=42…     

椭圆面积公式S=πab的一种初等证法

椭圆的面积公式S=πab的证明,要用到微积分的知识,在这里,给出一种初等证法。高中《平面解析几何》上有这样的题(P126第23题):底面直径为12cm的圆柱被与底面成30°角的平面所截,截面为一椭圆。求该椭圆的方程。其图如右(图1),不难发现:椭圆的长半轴a、短半轴b与底面圆的半径r有如下关系: a·cosa=r b=r (a为椭圆面与底面成的角) “—一·—L_/ 由此,我们以椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1的短半轴b为底面圆半径,构造一个圆柱(高h足够大),然后用一个平面去截圆柱,当截面与底面成a角时,得到椭圆截面x~2/a~2     

参赛应用题选登

题 2 1　某航运部门欲造一种水上浮筒 (由薄铜板焊接而成 ) ,其结构是由底面半径均相同的一个正圆锥体 ,一个正圆柱体和另一个正圆锥体上中下依次对接组合而成 ,如图所示 .现设定浮筒的内部容积为常数Ｖ ,其圆锥部分和圆柱部分的底面半径为Ｒ ,上下两个正圆锥的高度分别为ｈ1 和ｈ2 ,中间的正圆柱体的高度为Ｈ .试确定ｈ1 Ｒ ,ＨＲ ,ｈ2Ｒ 的值 ,使得浮筒的材料为最省 ,即整个组合体 (浮筒 )的表面积Ｓ为最小 (Ｓ是上下两个正圆锥的侧面积和正圆柱的侧面积之和 ) .解　由题意得 :Ｖ =π·Ｒ2 ·(Ｈ ｈ1 3 ｈ23 ) ,Ｓ =πＲ·( 2Ｈ Ｒ2 …     

考点31 简单几何体及其体积

1.(全国卷,3)一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π,则球的表面积为().(A)82π(B)8π(C)42π(D)4π2.(全国卷,4)设三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V,P、Q分别是侧棱AA1、CC1上的点,且PA=QC1,则四棱锥B-APQC的体积为().(A)61V(B)41V(C)31V(D)21V3.(广东卷,4)已知高为3的直棱柱ABC-A′B′C′的底面是边长为1的正三角形(如图所示),则三棱锥B′-ABC的体积为().(A)41(B)21(C)63(D)43第3题图第4题图4.(全国卷,5)如图,在多面体ABCDEF中,已知ABCD是边长为1的正方形,且△ADE、△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多…     

一道极值题的错解,正解与简解

在立几问题中 ,有一类运用平均不等式求极值的问题 ,搞不好就会掉入陷阱 .图 1　题目图题　若球半径为Ｒ ,试求它的内接圆柱体积Ｖ的最大值 .错解 :设圆柱底面半径为ｒ ,则 :4ｒ2 =4Ｒ2 -ｈ2 ,Ｖ =πｒ2 ｈ=π4 ( 4Ｒ2 -ｈ2 )ｈ=π4 ( 2Ｒ ｈ) ( 2Ｒ -ｈ)ｈ=π8( 2Ｒ ｈ) ( 4Ｒ - 2ｈ)ｈ≤ π82Ｒ ｈ 4Ｒ - 2ｈ ｈ33=π8( 2Ｒ) 3 =πＲ3 .分析 :初看上去 ,会感到解法似乎无懈可击 ,但细心的同学不难发现 :当且仅当2Ｒ ｈ =4Ｒ - 2ｈ =ｈ ( 1)时 ,上式中“≤”取等号 .但方程组 ( 1)无解 ,即“≤”不能取等号 .由此可知以上解法有漏洞…     

利用祖日恒原理时构造半球参照体的若干方法

利用祖日恒原理推证球的体积公式时,我们是先构造一个能够求出体积的几何体,使该几何体和半球都能夹在两个平行面之间,当用平行于这两个平面的任意一个平面去截它们时,截得的截面面积总相等,那么半球与这个所构造的几何体体积相等．这个所构造的几何体我们称之为参照...     

浅谈旋转体中一类截面面积最值的统一性

经过两条母线的截面是圆柱、圆锥、圆台中的一类重要截面 ,其面积的最值问题是这类截面的一个研究重点 .从目前的一些资料和刊物发表的文章来看 ,仅有圆柱、圆锥方面的结论 (见下文中的结论 1、结论 2 ) ,而缺少最重要的圆台方面的结论 .作为补充和完善 ,本文将给出圆台中过两条母线的截面面积最值的一般性结论 ,并进一步阐释圆柱、圆锥、圆台三者之间的和谐统一关系 ,供读者教学或研究时参与 .结论 1　设圆柱的底面半径为ｒ,母线长为ｌ,则过两条母线的截面面积的最大值为 2ｒｌ.证明略 .结论 2　设圆锥的母线长为ｌ,轴截面顶角为 ,则过两…     

体积比问题的类型及解法

体积问题是立体几何中的一类重要问题 ,其中求几个几何体的体积比是较常见的一类问题 ,且多以选择题、填空题设置 .通常可设法求出每一个几何体的体积 ,再求体积比 ;或借助几何体的体积关系 ,整体处理求得体积比 .对选择题、填空题型 ,也可采取特殊化 (赋予几何体相关特殊值、特殊图形、特殊位置等 )思维策略求解 .本文结合典型问题仅以解答题求解方式探究此类问题的求解方法 .1　直接法　对于某些规则几何体 ,若据题意其体积易于求得 ,则可直接求出其体积 ,再求其体积比 .例 1　 (1991年上海高考题 )一个圆柱的底面直径和高都等于一个球的…     

椭圆可“展开”成余弦曲线吗?

先看以下一个问题: 题目高为2m,底面半径为r的圆柱,被一个平面截成形状相同的两个几何体(如图1所示),现将实体部分(下半部分)的侧面沿母线AB剪开,则这侧面展开图是( ).     

Simpson公式的联想

文 [1 ]、[2 ]所介绍的 Simpson公式是指如下的定理　夹在两平行平面之间的几何体 ,如果被平行于这两个平面的任何平面所截 ,截得的截面面积是截面距底平面高度的不超过三次的多项式函数 ,则此几何体的体积为V=h6( S上 +4 S中 +S下 ) , ( 1 )其中 h是几何体的高 ,S上 、S下 和 S中 分别表示几何体的上、下底面和中截面面积 .( 1 )式很容易利用平行截面面积为已知 ,立体体积的定积分方法得到 .设此立体的底面垂直于 x轴 ,下底面过坐标原点、立体的高为 h,平行于底面的截面面积 S( x)=ax3 +bx2 +cx+d,其中 a,b,c,d为常数 ,则此立体体积V=…     

与球相接切的问题例析

在平时经常会遇到与球有关的接、切问题.下面通过几道例题加以分析,希望给同学们以启发.一、通过选择一个截面。转化为平面图形来解决例1已知球的半径为R,在球内作一个内接圆柱,这个圆柱底面半径与高为何值时,它的侧面积最大?侧面积的最大值是多少?     

以圆锥曲线为母线的旋转体的体积

１．某种旋转体的母线是抛物线的一部分,其方程为ｘ２＝２ｐｙ（ｐ＞０,０≤ｙ≤Ｈ）,ｙ轴为旋转轴,求该旋转体的体积;如图１,将旋转体置于平面α内,用与α平行且相距ｈ的平面去截,截得的截面圆面积为π（２ｐｈ）２＝２πｐｈ,视２πｐｈ为一个边长为２πｐ和ｈ的矩形面积,则可构造一个底面是腰长为Ｈ的等腰直角三角形,高为２πｐ的直三棱柱ＡＢＣ－Ａ′Ｂ′Ｃ′,如图１所示放置,显然符合祖日恒原理的条件,故旋转体体积＝直三棱柱体积＝１２·Ｈ·Ｈ·２πｐ＝πｐＨ２．２．某种旋转体的母线是椭圆的一部分,其方程为ｘ２ｂ…     

正方形与圆组成的阴影部分面积求法

图1问题1(人教版新课标九年级上P114习题24.4复习巩固3)如图1,正方形的边长为a,以各边为直径在正方形内画半圆,求图中阴影部分的面积.解如图1,过正方形对角线交点O作OO1⊥AB,垂足为O1,连AO.S弓AO=S扇AO1O-S△AO1O=14π·(a2)2-12·(a2)2=πa216-a28.S阴=8S弓AO=8×(πa216-a28)=πa22-a2.图2问题2如图2,正方形的边长为a,以正方形ABCD的四个顶点为圆心,a2为半径画弧,求图中阴影部分图形的面积.解S阴=S正-4S扇EAF=S正-S圆=a2-π(a2)2=4-π4·a2.     

五、多面体与旋转体

A 组一、填空 1.圆柱底面面积为Q,轴截面面积为S,则圆柱的体积为___。 2.矩形边长的比为l:2,以其边为轴旋转一周,则得到的两个圆柱的体积的比为__。 3.正三棱柱的棱长均为a,过底面一边和两底中心连线的中点作截面,则截面面积为__。 4.用平行于底的平面S截圆锥V,①若S把V分为体积相等的两部分,则截得的圆台与小圆锥的高之比为__;②若S把V分为侧面积相等的两部     

立体几何常见图形变式解题例谈

《立体几何》P1 1 2上说“生产和生活中的物体、形状虽然复杂 ,但是很多可以看作是由柱体、台体、球体、球缺等组合 (如铆钉 )或者切割 (如螺帽 )而成的”.这就是割补法的思想方法 .本文谈谈在几何体的割补分解中经常用到的几种常见的、基本的几何图形的变式 .1　平面展开利用几何体平面展开前后的对比 ,觅寻图中“变”与“不变”的位置关系 ,可以巧妙地解决一些问题 .“以直代曲”是将图形平展变式的结果 ,它是处理“质点沿几何体的表面曲线运动路径最短”这一典型问题的重要办法 .例 1　设正三棱锥 A— BCD的底面边长为 a,体积为 1 11 2 a3,过顶点 B作与侧棱 AC、AD都相交的截面 BEF,求此截面周长范围 .简析　如图 1中 (甲 ) ,设顶点 A在底面BCD的射影为 O,AO =h,　 13.12 a .asin 6 0&;#176;.h =1 11 2 a3 　 h =333a,　　 BO =33a,(甲 )　　　　　　　　　 (乙 )图 1为了求△ BEF的周长 ,如直接求三边的长 ,困难可想而知 .如将三边之和整体考虑 ,可将三棱锥沿 AB剪开平展成图 1 (乙 ) .则可用图 (乙 )中的直线段 B...     

对两个猜想的否定及改进

文[1]对一道高考试题进行了推广和引申,并在文末时提出了以下两个猜想.猜想1若几何体存在内切球,过内切球球心的任意戴面,将几何体分成两个几何体.若这两个几何体的体积分别为V1,V2,表面积分别为S1,S2,截面面积为S,则VV12=SS21--SS.猜想2若几何体存在内切球,过内切球球心的任意截面,将几何体分成两个几何体.若这两个几何体的体积分别为V1,V2,表面积分别为S1,S2,截面面积为S,几何体的体积为V几何体,表面积为S几何体,则VS几几何何体体=S1V-1S或VS几几何何体体=S2V-2S.本文举半球容球这一特例给予否定,我们一起考虑半球容球的情况.…     

一个旋转体体积计算公式

定理 1　凸ｎ边形面积为ｓｎ,直线ｌ不与其相交 ,ｎ边形重心Ｇｎ,到ｌ的距离记为ｄｎ,那么该凸ｎ边形绕直线ｌ旋转一周 ,所得几何体的体积为 :Ｖｎ=2πｄｎｓｎ.图 1　定理 1图证　ｎ =3时 ,如图过△Ａ1Ａ2 Ａ3 的顶点Ａ1作直线ｌ的垂线为ｘ轴 ,直线ｌ为ｙ轴 ,建立直角坐标系 .并设Ａ1(ｘ1,0 ) ,Ａ2 (ｘ2 ,ｙ2 ) ,Ａ3 (ｘ3 ,ｙ3 ) .又过Ａ2 ,Ａ3 分别作ｙ轴的垂线 ,这样△Ａ1Ａ2 Ａ3绕ｌ旋转 ,所成的几何体的体积是两个圆台体之和 ,再减去一个圆台的体积 .根据圆台体积计算公式 :Ｖ3 =π3·(ｙ3 -ｙ2 ) (ｘ23 ｘ22 ｘ3 ｘ2 ) π3·ｙ2 (…