参赛应用题选登

题 2 1　某航运部门欲造一种水上浮筒 (由薄铜板焊接而成 ) ,其结构是由底面半径均相同的一个正圆锥体 ,一个正圆柱体和另一个正圆锥体上中下依次对接组合而成 ,如图所示 .现设定浮筒的内部容积为常数Ｖ ,其圆锥部分和圆柱部分的底面半径为Ｒ ,上下两个正圆锥的高度分别为ｈ1 和ｈ2 ,中间的正圆柱体的高度为Ｈ .试确定ｈ1 Ｒ ,ＨＲ ,ｈ2Ｒ 的值 ,使得浮筒的材料为最省 ,即整个组合体 (浮筒 )的表面积Ｓ为最小 (Ｓ是上下两个正圆锥的侧面积和正圆柱的侧面积之和 ) .解　由题意得 :Ｖ =π·Ｒ2 ·(Ｈ ｈ1 3 ｈ23 ) ,Ｓ =πＲ·( 2Ｈ Ｒ2 …     

一道极值题的错解,正解与简解

在立几问题中 ,有一类运用平均不等式求极值的问题 ,搞不好就会掉入陷阱 .图 1　题目图题　若球半径为Ｒ ,试求它的内接圆柱体积Ｖ的最大值 .错解 :设圆柱底面半径为ｒ ,则 :4ｒ2 =4Ｒ2 -ｈ2 ,Ｖ =πｒ2 ｈ=π4 ( 4Ｒ2 -ｈ2 )ｈ=π4 ( 2Ｒ ｈ) ( 2Ｒ -ｈ)ｈ=π8( 2Ｒ ｈ) ( 4Ｒ - 2ｈ)ｈ≤ π82Ｒ ｈ 4Ｒ - 2ｈ ｈ33=π8( 2Ｒ) 3 =πＲ3 .分析 :初看上去 ,会感到解法似乎无懈可击 ,但细心的同学不难发现 :当且仅当2Ｒ ｈ =4Ｒ - 2ｈ =ｈ ( 1)时 ,上式中“≤”取等号 .但方程组 ( 1)无解 ,即“≤”不能取等号 .由此可知以上解法有漏洞…     

证明球体积公式的又一参照体

众所周知 ,证明球的体积公式时 ,首先是构造一个可求体积的几何体 ,即从一个底面半径和高都等于Ｒ的圆柱中 ,挖去一个以圆柱的上底面为底面 ,下底面圆心为顶点的圆锥后剩下部分所形成的几何体 ,然后证明该几何体与半径为Ｒ的半球符合祖日桓原理的条件 .在证明过程中有个关键的式子 :πＲ2 -πｌ2 (ｌ为任一截面截两个几何体时 ,截面到底面的距离 ) ,若将其变形为 (πＲ2 ) - (πｌ) 2 ,就可以看成是以πＲπｌ为边长的两个正方形的面积差 ,这样我们就能构造出一个参照体———从底面是边长为πＲ的正方形、高为Ｒ的直四棱柱中挖去一个以直四…     

导数在生活中的应用3则

在日常生活中 ,人们常常会碰到这样一些问题 :图 1　例 1图在一定条件下 ,怎样使“用料最省”、“利润最大”、“成本最低”、“选址最佳”等等 ,这类问题一般都可以应用导数知识得到解决 .1　材料利用问题例 1　某车工欲将一半径为Ｒ的金属球切削成圆柱形零件 ,当零件高为多少时 ,材料利用率最高 ?分析　当圆柱体体积最大时 ,材料利用率最高 .因此 ,可根据题设条件找出圆柱体体积Ｖ与Ｒ ,ｈ之间的关系建模 ,利用导数研究函数极值 ,从而确定ｈ值 .解　设零件底面半径为ｒ ,高为ｈ ,则圆柱体体积为Ｖ =πｒ2 ｈ .由图 1可知 :ＡＥ·ＥＢ =Ｃ…     

锥体的两个性质及运用

我们知道锥体被平行于底面的平面所截,那么截面和底面的面积比等于截得的锥体的高和原锥体的高的平方比．这是一个很重要的性质,此外,以下两条锥体的性质也是很有用的．设锥体的高为ｈ,侧面积为Ｓ,体积为Ｖ;该锥体被平行于底面的平面所截,截得的锥图１体的高为ｈ′,侧面积为Ｓ′,体积为Ｖ′．这时有以下两个性质：（ｉ）Ｓ′Ｓ＝ｈ′２ｈ２;（ｉｉ）Ｖ′Ｖ＝ｈ′３ｈ３．下面就性质（ｉ）,当锥体为棱锥时简要证明：如图１,设棱锥Ｐ—ＡＢＣ的高为ｈ,侧面积为Ｓ,截面Ａ′Ｂ′Ｃ′∥底面ＡＢＣ,截得的棱锥Ｐ—Ａ′Ｂ′Ｃ′的高…     

平卧放置的圆柱形油罐贮油量的计算

问题　某加油站有长为ｌ,半径为ｒ的圆柱形油罐 (平卧放置 )若干 .为了检查油罐贮油量的多少 ,试求贮油量 (Ｖ)随高度 (ｈ)变化的计算公式 .图 1　油罐的横截面图数学模型分析画出圆柱直截面图 (如图 1 ) .由油罐平卧放置贮油量 (Ｖ)即是底面为弓形、长为ｌ的柱体的体积 ,高度ｈ是指弓形的高 .问题转化为Ｖ =ｌ·Ｓ弓 ＡＣＢ.计算Ｓ弓 的关键是计算Ｓ扇 ＯＡＣＢ,因而需求ＡＣＢ的弧长 ,进而需求∠ＡＯＢ的弧度数 ,只要求出∠ＢＯＨ的弧度数 .计算　由柱体的体积公式知Ｖ =Ｓ弓·ｌ.当ｈ <ｒ时 ,Ｓ弓 =Ｓ扇 ＯＡＣＢ-Ｓ△ＯＡＢ=12ＡＣＢ…     

2000届高三第一次全国大联考数学试题

参考公式 :三角函数的和差化积、积化和差公式 :(略 )正棱锥、圆锥的侧面积公式 :Ｓ锥侧 =12 ｃｌ.其中ｃ表示底面周长 ,ｌ表示斜高或母线长 .台体的体积公式 :Ｖ台体 =13(Ｓ′ ＳＳ′ Ｓ)ｈ .其中Ｓ′ ,Ｓ分别表示上、下底面积 ,ｈ表示高 .选择题 (本大题共 14小题 ,第 1- 10题每小题 4分 ,第 11- 14题每小题 5分 ,共 6 0分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .)1　把 - 11π4 表示成 2ｋπ θ(ｋ∈Ｚ)的形式 ,使 |θ|最小的θ的值是 (　 )(Ａ) - 3π4 .　 (Ｂ) - π4 .　 (Ｃ) π4 .　(Ｄ) 3π4 .2　 [理 ]直线 ρ…     

体积法解一道微积分题

问题　求由曲线ｙ =x~2 在x轴正半轴与直线x=ｎ所围成的图形的面积Ｓ .此题已超出高一所学的知识范围 ,但我们合理运用祖日恒原理 ,化未知为已知 ,利用等体积的方法求解 .解　如图 ,构造正四棱锥Ｏ ＡＢＣＤ ,底面边长ＡＢ=ｎ ,高ＯＥ =ｎ ;又构造柱体ＯＨ ,以ＯＨＫ为中截面 ,高ＦＧ =1 .(其中ＯＨＫ即是曲线ｙ =ｘ2 与ｘ轴正半轴及直线ｘ =ｎ围成的图形 ) .设任一平行于底面的截面到点Ｏ的距离为ｘ ,则两截面的面积均为ｘ2 ,即有ＳⅠ =ＳⅡ .根据祖日恒原理 ,得ＶⅠ =ＶⅡ .∵　ＶⅡ =13 Ｓ底 ｈ =13 ＳＡＢＣＤ·ＯＥ =ｎ33 ,∴　ＶⅠ =…     

高一年级第二学期末数学自测题

选择题(共14小题,第1-10题每小题4分,第11-14题每小题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1　ｔｇ67°30′=(　　)(Ａ)3 1.　　　　　　(Ｂ)3-1.(Ｃ)2 1.　　　　　　(Ｄ)2-1.2　下列函数中,以π4为最小正周期的是(　　)(Ａ)ｙ=ｃｏｓ22ｘ-ｓｉｎ22ｘ.(Ｂ)ｙ=ｔｇｘ21 ｔｇ2ｘ2.(Ｃ)ｙ=1 ｓｉｎ4ｘｃｏｓ4ｘ.(Ｄ)ｙ=ｔｇ2ｘ1-ｔｇ22ｘ.3　已知圆锥底面面积是π,母线与底面所成的角为60°,则它的侧面积是(　　)(Ａ)2π.(Ｂ)3π.(Ｃ)3π.(Ｄ)33π.4　用半径为10ｃｍ的半圆形薄铁板卷成一个无底的圆锥筒,若不计损耗,…     

一个用料最省问题的讨论

要在矩形的纸上画一个底半径为ｒ,高为ｈ的圆锥的侧面展开图,这个矩形的两边长最少是多长?这个问题的实质是用一个矩形的纸,做一个圆锥,这个矩形的长、宽各为多少时用料最省(即矩形的面积最小).为便于研究,假设圆锥的母线长为ｌ,底面半径为ｒ,矩形的边长最小分别为ａ,ｂ,矩形的面积为Ｓ.根据圆锥的侧面展开图,扇形的圆心角α的大图1　扇形画法1小分以下几种情况:1　若0<α<π2,此时应有两类画法:1)圆锥的顶点在矩形的一边上,扇形的圆弧两端点分别在矩形的两边上,如图1.2)圆锥的顶点在矩形的一边上,扇形的圆弧与矩形的一边相切,两端点分别在…     

应用均值不等式求圆锥体积的最大值

求满足一定条件时圆锥体积的最大值 ,通常可采用三角法处理 .能否采用均值不等式来求 ,是很多学生和教师很关心的问题 ,经过仔细深入地探讨 ,笔者发现圆锥全面积一定、或圆锥轴截面三角形周长一定、或圆锥侧面积一定时 ,圆锥体积的最大值可采用均值不等式求解 .例 1　已知圆锥的全面积为πa2 (a >0 ) .求圆锥体积的最大值 .解　设圆锥的高为h ,底面圆的半径为r ,体积为V ,则有πr2 +πrr2 +h2 =πa2 ,∴a2 =r2 +rr2 +h2=r2 +r r2 + 18h2 + 18h2 +… + 18h2≥r2 +r 99r2 188(h2 ) 8=r2 + 3· 1243r109h89=r2 + 1243r109h89+ 1243r109h89+124…     

巧用三棱台的一个性质妙解题

众所周知 ,任何一个平面多边形都可以分割成若干个三角形 ,任何一个多面体均可分割成若干个三棱锥 .三棱台ＡＢＣ Ａ1Ｂ1Ｃ1可分割成如图 1所示的三个三棱锥Ａ Ａ1Ｂ1Ｃ1,Ｃ ＡＢ1Ｃ1,Ｂ1 ＡＢＣ ,设三棱台的上、下底面积分别为Ｓ1,Ｓ2 ,高为ｈ ,体积为Ｖ ,则其体积为Ｖ =13(Ｓ1+Ｓ2 +Ｓ1Ｓ2 )ｈ =13ｈＳ1+ 13ｈＳ2+ 13ｈＳ1Ｓ2 .因为ＶＡ Ａ1Ｂ1Ｃ1=13ｈＳ1,ＶＢ1 ＡＢＣ=13ｈＳ2 ,所以ＶＣ ＡＢ1Ｃ1=13ｈＳ1Ｓ2 .图 1　三棱台的分割图设ＶＡ Ａ1Ｂ1Ｃ1=Ｖ1,ＶＣ ＡＢ1Ｃ1=Ｖ2 ,ＶＢ1 ＡＢＣ=Ｖ3 ,设 ＡＢＡ1Ｂ1=ｋ ,则 Ｖ2Ｖ1=Ｖ3 Ｖ2=Ｓ2…     

祖■原理辅助体新构

利用祖晅原理求球体积时,要设计辅助体。课本《立体几何》中,设计的是一个底面半径与高相等的圆柱,中间挖去一个倒置圆锥所得的几何体。除此辅助体外,还能不能设计出别的辅助体?关键是按祖晅定理的条件构成图形。下面我们来介绍两个新的比课本上更简单的辅助体。设计一:如图1,乙为一躺放着的四棱锥P-ABCD,底ABCD为矩形,BC=2π~(1/2)R,CD=R,PD底ABCD,PD=π~(1/2)R.     

易拉罐的设计方案

在日常生活中,我们总会买些易拉罐装的饮料或食品.殊不知,这易拉罐的设计便包含了一定的数学道理. 对易拉罐的设计,经营者总是考虑让成本最低.如:设计一个体积固定为V的圆柱形易拉罐,什么样的设计方案最优? 要比较易拉罐优劣的标准,有下面两种不同的标准进行考虑. 第一种标准:根据制造过程中消耗铁皮的多少来判别优劣,即最优易拉罐应该具有的最小表面S. 分析设易拉罐的高为h,底面半径为r.由圆柱的体积公式V=πr2h,得h=V/πr2.又易拉罐的表面积S=2πr2 2πrh ①     

五、多面体与旋转体

A 组一、填空 1.圆柱底面面积为Q,轴截面面积为S,则圆柱的体积为___。 2.矩形边长的比为l:2,以其边为轴旋转一周,则得到的两个圆柱的体积的比为__。 3.正三棱柱的棱长均为a,过底面一边和两底中心连线的中点作截面,则截面面积为__。 4.用平行于底的平面S截圆锥V,①若S把V分为体积相等的两部分,则截得的圆台与小圆锥的高之比为__;②若S把V分为侧面积相等的两部     

用平面简单示意图代替多面体的直观图

在解答与棱锥、棱台底面平行的截面有关的问题时 ,用平面简单示意图代替直观图 ,既能省去画直观图的麻烦 ,又能起到想象出它们构造特点的作用 .再利用相似比 ,能顺利地解答这方面的问题 .例 1　已知三棱锥Ｐ ＡＢＣ的侧面积为Ｑ ,Ｍ为高ＰＯ上一点 ,且ＰＭ =13ＰＯ ,过Ｍ作平行于底面的截面 ,求截面与棱锥底面之间棱台部分的侧面积 .图 1　例 1图解　如图 1,设过Ｍ且平行于底面的截面为底的小棱锥的侧面积为Ｓ0 ,棱锥的高为 3ｈ ,则小棱锥的高为ｈ ,由相似比得Ｓ0Ｑ =( ｈ3ｈ) 2 =19,得Ｓ0 =19Ｑ .故所求棱台部分的侧面积为Ｑ -Ｓ0 =Ｑ - 19…     

过圆锥、圆台的母线的截面

在复习立体几何有关旋转体的截面问题时,我向学生提出这样一个问题:“过圆柱、圆锥、圆台的母线的所有截面中轴截面面积是否一定最大?”很多学生认为“轴截面面积一定最大。”有的学生甚至觉得这样一个问题不值得一提。其实不然,圆柱的轴截面面积最大是无可非议的,但圆锥、圆台就不一定如此。例如,高为1而底面半径为3~(1/2)的圆锥的轴截面面积是     

漏斗问题

现有一张圆形的马口铁皮 ,半径为R ,若要焊制一只漏斗 ,应该怎样下料才能使做好的漏斗有最大的容量 ?图 1分析　假设做得的圆锥体形状的漏斗如图1所示 ,若圆口半径为x ,高为h ,因为它是半径为R的铁皮制成的 ,故h =R2 -x2 ,所以圆锥的体积v =13 πx2 h =13 πx2 R2 -x2 .所以v2 =π32 ·x4 ·(R2 -x2 ) =π218·x2 ·x2 ·(2R2 -2x2 ) .又由于x2 +x2 + (2R2 -2x2 ) =2R2 为定值 ,运用平均不等式知x2 =2R2 -2x2 即x =63 R时 ,漏斗有最大的容量 ,于是角α的弧度为α=2πR -2πxR =2πR(R -63 R) =2π3 (3 -6) ,该角为 66°4′.当截去中心…     

圆柱、正棱柱和长方体的一个有趣共性

文[1]讨论了“圆柱容球”、“圆台容球”和“圆锥容球”等常见旋转体的一个有趣共性,归纳如下共同性质:球与其外切圆柱、外切圆台、外切圆锥表面积之比等于体积之比.文[2]讨论了“多面体容球”的一个有趣共性,即球与其外切多面体的表面积之比等于体积之比.文[3]讨论了“一类旋转体容球”的一个有趣共性,即圆柱、圆锥及圆台的组合旋转体与其内切球的表面积之比等于体积之比.文[1]、文[2]及文[3]都是讨论几何体与其内切球的性质,笔者思考,若将内切球改为内切椭球,会有怎样的性质呢?本文将讨论圆柱、正棱柱及长方体容球与容椭球的关系,现叙述如…     

对一只圆柱形杯子倾斜问题的探讨

例题一只无盖的圆柱形杯子放在水平的桌面上.杯子的底面半径为1,高为4,杯子原来盛满了水.现让杯底一点A接触桌面,将杯子倾斜,倒出5/6的水,如图1,则其水面与桌面的距离等于______.(A)1(B)2~(1/2)(C)4/3(D)4/(17)~(1/2)分析设圆柱底面半径为R,底面积为S,高为h,则R=1,h=4.设弓形ABC的面积为