圆锥曲线的一个性质

20 0 1年全国初中数学竞赛试题Ｂ卷第 14题 :如图 1,已知点Ｐ是⊙Ｏ外一点 ,ＰＳ ,ＰＴ是⊙Ｏ的两条切线 ,过点Ｐ作⊙Ｏ的割线ＰＡＢ ,交⊙Ｏ于Ａ ,Ｂ两点 ,并交ＳＴ于点Ｃ ,求证 :1ＰＣ=12 (1ＰＡ+ 1ＰＢ) .分析 :先研究此题结论 ,由 1ＰＣ=12 (1ＰＡ+ 1ＰＢ) 2ＰＣ=1ＰＡ+ 1ＰＢ,即ＰＡ ,ＰＣ ,ＰＢ的倒数成等差数列 .此题的平面几何证法有多种 ,这里从略 .现运用解析几何知识给出证明 .图 2　 14题图证　如图 2建立坐标系 ,圆外一点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 ) ,圆的方程ｘ2 + ｙ2 =ｒ2 ,可求ＳＴ的直线方程ｘｘ0 + ｙｙ0 =ｒ2 (1)设⊙Ｏ的割线ＰＡＢ…     

用模型探究三角形内角和

在数学实验课上 ,我利用硬纸块三角形模型探究“三角形三个内角的和有什么规律” .其探究如下 :先用硬纸块制出两个完全一样的三角形△ＡＢＣ和△Ａ′Ｂ′Ｃ′(图 1、图 2 ) ,再把△Ａ′Ｂ′Ｃ′沿虚线剪下∠ 1、∠ 2、∠ 3三个角 ,随意在△ＡＢＣ模型的顶点处拼放∠ 1、∠ 2、∠ 3三个角 ,惊奇地得到图 3、图 4的情形 ,发现∠ 1、∠ 2、∠ 3三个角刚好拼成一个平角 .显而易见 ,三角形三个内角的和等于 180° .图 1　　　　　　　　　图 2图 3　　　　　　　　　图 4为了验证上面的结论 ,我又重新拼放∠ 1、∠ 2、∠ 3三个角 ,拼成图 5情形 …     

数形结合解2001年高考选择题

由于客观题的解答不要求写过程 ,所以数形结合思想对解客观题有独到的作用 .下面对 2 0 0 1年高考题中的 5道题用此法作出解答 .例 1　 (2 0 0 1年高考理 (1 )题 )若ｓｉｎθｃｏｓθ >0 ,则θ在 (　　 )(Ａ)第一、二象限 .　 (Ｂ)第一、三象限 .(Ｃ)第一、四象限 .　 (Ｄ)第二、四象限 .图 1　例 1图分析　借助于直角坐标系如图 1 ,易知选(Ｂ) .例 2　 (2 0 0 1年高考理 (2 )题 )过点Ａ (1 ,- 1 ) ,Ｂ(- 1 ,1 )且圆心在直线ｘ ｙ - 2 =0上的圆的方程是 (　　 )(Ａ) (ｘ - 3 ) 2 (ｙ 1 ) 2 =4.(Ｂ) (ｘ 3 ) 2 (ｙ - 1 ) 2 =4.(Ｃ) (ｘ …     

参赛应用题选登

题 3 3　如图 1 ,设甲楼座落在正南正北方向 ,楼高ＡＢ =1 6ｍ ,又要在甲楼的后面盖一座乙楼ＣＤ .已知冬天太阳最低时的高度为3 2° ,问 :1 )若两楼相距ＢＤ =2 0ｍ ,则甲楼的影子落在乙楼上有多高 ?2 )如果甲楼的影子不会落在乙楼上 ,那么两楼之间的距离ＢＤ至少是多少米 ?图 1　题 33图解　 1 )如图 1所示 ,过点Ｅ作ＥＦ⊥ＡＢ ,垂足为Ｆ .在△ＡＥＦ中 ,∠ＡＥＦ =3 2°,∠ＡＦＥ =90° ,ＥＦ=ＢＤ =2 0ｍ ,所以ＡＦ =2 0ｔｇ3 2°≈1 2 .5(米 ) ,ＥＤ =1 6- 1 2 .5=3 .5(米 ) .即甲楼的影子落在乙楼上有 3 .5米高 .2 )在Ｒｔ△ＡＢＤ中…     

新教材高中数学第二册几个值得商讨的问题

新教材凝聚着广大编者和教者的智慧和心血 ,为了更好地发挥新教材的作用 ,现将笔者在使用中认为有争议地方提出探讨 .高中《数学》第二册上Ｐ10 6例 3:一炮弹在某处爆炸 ,在Ａ处听到爆炸声的时间比在Ｂ处晚 2ｓ.(1 )爆炸点应在什么样的曲线上 ?解答是 :“由声速及Ａ ,Ｂ两处听到爆炸声的时间差 ,可知Ａ ,Ｂ两处与爆炸点的距离的差 ,因此爆炸点应位于以Ａ ,Ｂ为焦点的双曲线上 .因为爆炸点离Ａ处比离Ｂ处更远 ,所以爆炸点应在靠近Ｂ处一支上 .”分析 :设爆炸点为Ｐ ,则 |ＰＡ|- |ＰＢ|=6 80 ,若 |ＰＡ|- |ＰＢ|=|ＡＢ|,则爆炸点在以Ｂ为端点 …     

新编应用题选登

题 75 　有一旗杆高 1 2米 ,从它的顶端挂下 2条长 1 3米的绳子 ,拉紧绳子 ,把它的下端放在地平面两点 ,而这两点和旗杆的脚不在同一条直线上 ,如果这两点和旗杆脚的距离都是 5米 ,请问旗杆和地面垂直吗 ?并证明你的结论 .解　旗杆与地面垂直 .证明如下 :图 1　题 75图如图 1 ,在△ＰＯＡ中 ,ＰＯ =1 2米 ,ＰＡ =1 3米 ,ＯＡ =5米 ,有ＯＡ2 +ＰＯ2 =ＰＡ2 ,所以∠ＰＯＡ=90°,同理∠ＰＯＢ =90° ,得ＰＯ⊥ＯＡ ,ＰＯ⊥ＯＢ .又Ｏ ,Ａ ,Ｂ不在一直线上 ,由线面垂直的判定定理可得 :ＰＯ⊥地面 .背景材料　本题的素材来源于一学生在学习立体…     

从一道赛题到一个著名定理

学数学离不开习题 ,但解题不可盲目 ,应少而精 .与其泛泛地解许多题而印象淡薄 ,不如深入剖析一道题 ,并研究它的发展与变化 ,从而对知识有透彻地理解 .这样便会收到以少胜多的效果 .下面以一赛题为例 ,略加阐述 .一题目与解法图 1题目　如图 1,在△ＡＢＣ中 ,ＡＤ∶ＤＣ =1∶3 ,ＢＥ∶ＥＤ =1∶1.试求ＢＦ∶ＦＣ .这原是美国犹他州 2 0 0 0年数学竞赛中的一道选择题 ,这里改成求解形式 .见《中等数学》2 0 0 0年第 2期 .图 2解　本题有中点 ,因此容易想到中位线 ,为此 ,取ＢＣ的中点Ｍ ,如图 2 .则由ＥＭ∥ＤＣ知　ＦＭＦＣ=ＥＭＡＣ=12Ｄ…     

巧找规律解决问题

同学们在解题时 ,会常常遇到一些数值较大的题目 ,有些同学就不知所措 ,硬解强算 ,导致遇到一些不必要的麻烦和错误 .如第十三届“希望杯”全国数学邀请赛初二第二试的最后一道题目就是一道典型的范例 .下面介绍这道题目的两种巧解 ,供参考 .题目　在线段ＡＢ上 ,先在Ａ点标注 0 ,在Ｂ点标注 2 0 0 2 ,这称为第一次操作 ;然后在ＡＢ的中点Ｃ处标注0 + 2 0 0 22 =10 0 1,称为第二次操作 ;又分别在得到的线段ＡＣ、ＢＤ的中点Ｄ、Ｅ处标注对应线段两端所标注的数字和的一半 ,即0 + 10 0 12 与10 0 1+ 2 0 0 22 ,称为第三次操作 ;照此下去 ,那…     

一个几何命题的证法与延伸

《数学通报》2 0 0 0年第 1 2期 1 2号数学问题中给出了这样一道题目 :1 2 86　直三棱柱ＡＢＣ -Ａ1 Ｂ1 Ｃ1 中 ,ＡＢ1 ⊥ＢＣ1 、ＢＣ1 ⊥ＣＡ1 、ＣＡ1 ⊥ＡＢ1 (如右图 ) .求证 :该棱柱是正棱柱 .题中简捷的条件 ,直观的结论颇耐人寻味 ,《数学通报》2 0 0 1年第 1期给出的证法图形复杂 ,处理起来有一定的难度 ,今将自己的所得整理成下文 ,供同行参考 .1　关于命题的证明图 11 1　割补法证法一　如图 1在直三棱柱ＡＢＣ-Ａ1 Ｂ1 Ｃ1 的下面补上一个与之完全相同的直三棱柱 ,并设ＡＢ、ＢＣ、ＣＡ的长分别为ｃ、ａ、ｂ,设原直三棱柱的高…     

一道立体几何习题的引伸

统编教材《立体几何》习题八中有这样一道题 ,求证 :平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得截面是平行四边形 .此题易用直线与平面平行的性质证明 .下面通过此题的演变发现其与一道数学竞赛题的联系 ,从中领悟基础与能力、课内与课外的关系如何处理 .图 1　例 1图例 1　四面体ＡＢＣＤ中 ,已知对棱ＡＢ ,ＣＤ的长分别为ａ ,ｂ,ＡＢ ,ＣＤ所成角为θ ,截面ＥＦＧＨ平行于对棱ＡＢ和ＣＤ(Ｅ ,Ｆ ,Ｇ ,Ｈ在其它四条棱上 ) .1)试求截面在什么位置时面积最大 ?2 )求截面周长的取值范围 .(如图 1)1)解法 1　由习题知截面ＥＦＧＨ为平行四边…     

建立模型解“双点运动问题”

数学中常见的涉及速度的点的运动问题一般分为两类 :单点运动和多点运动 (平面或空间的两点以上的共同运动 ) .而后一类问题 ,多被设计为开放题 .我们知道 ,数学揭示的是事物运动变化规律的数量关系和空间形式 ;因此 ,对于上述后一类问题 ,一般可以通过寻求点的运动规律、建立适当数学模型的方法予以解决 .一建立方程模型图 1例 1　 (梯子问题 )如图 1,一个长为 10米的梯子ＡＢ斜靠在墙上 ,梯子的顶端Ａ距地面 8米 .如果Ａ以ａ米每秒的速度下滑 ,猜一猜 :底端Ｂ也以相同的速度滑动吗 ?并计算当ａ =1时Ｂ滑动的速度 .略解　设Ｂ滑动的速度为…     

课本习题新探索

结合条件、对照图形、分析结论是做几何题的三步曲 .从不同的角度去分析结论 ,将会得到不同的证题方法 .这对于开发证题思路 ,活跃思维空间 ,将起到良好的互补作用 .现就课本上的一题举例说明 .图 1题目　过△ＡＢＣ的顶点Ｃ任作一直线 ,与边ＡＢ及中线ＡＤ分别交于点Ｆ和Ｅ ,求证 :ＡＥ∶ＥＤ =2ＡＦ∶ＦＢ(提示 :过点Ｄ作ＤＭ∥ＣＦ交ＢＦ于点Ｍ) .(人教版《几何》第二册Ｐ2 5 5 第 17题 )[分析与证明一 ]　从课本给出的提示来看ＡＥＥＤ=ＡＦＦＭ ,而结论是 ＡＥＥＤ =2ＡＦＦＢ ,即　 ＡＥＥＤ =ＡＦ12 ＦＢ.如图 1,显然只须证明ＦＭ =1…     

观察 归纳 应用

高中代数上册Ｐ 18第 13题是 :设Ｉ ={ａ ,ｂ ,ｃ ,ｄ ,ｅ ,ｆ},Ａ ={ａ ,ｃ,ｄ},Ｂ ={ｂ ,ｄ ,ｅ},求Ａ,Ｂ ,Ａ∩Ｂ ,Ａ∪Ｂ ,Ａ∩Ｂ ,Ａ∪Ｂ .看看求出的后四个集合中有没有相等的集合 .从本题的解答过程中 ,通过观察可归纳出结论Ａ∩Ｂ =Ａ∪Ｂ ,Ａ∪Ｂ =Ａ∩Ｂ ,且易证对于一般情形也成立 ,这就是集合运算中的反演律 ,可记忆为“一横分家 ,交并变号” .下面例谈在解题中的应用 .1　用于简化运算例 1　 ( 1990年全国高考题 )设全集Ｉ={(ｘ ,ｙ)|ｘ ,ｙ∈Ｒ},集合Ｍ ={(ｘ ,ｙ) |ｙ - 3ｘ - 2 =1},Ｎ ={(ｘ ,ｙ) |ｙ≠ｘ 1},那么 Ｍ∪Ｎ…     

从一道应用竞赛试题谈起

1　问题第二届北京市高中数学知识应用竞赛决赛试题六是一个构思颇巧的应用问题 :图 1如图 1 ,有一条河 ,两个工厂Ｐ和Ｑ位于河岸ｌ(直线 )的同一侧 .工厂Ｐ和Ｑ距离河岸ｌ分别为 1 0千米和 8千米 .两个工厂的距离为 1 4千米 ,现在要在河的工厂一侧选一点Ｒ ,在Ｒ处修建一个水泵站 ,从Ｒ修建直线输水管分别到两个工厂和河岸 ,使直线输水管的总长最小 ,请确定出Ｒ的位置 ,并分别求出水泵站Ｒ到两个工厂和河岸的三个距离 .2　引申在一般情形下 ,(如图 2 ) ,我们如何确定点Ｒ的位置 ?事实上 ,数据ｎ ,ｍ ,ｄ(ｄ >ｎ-ｍ)满足不同的关系 ,会有不…     

一道物理试题引发的思考

在一次高三物理测试中一道难度不大但数学应用性较强的选择题得分率较低 .由此引发笔者的三点思考 .现先将此题及其解析摘录如下 :题 :物体Ａ、Ｂ都静止在同一水平面上 ,它们的质量分别为ｍＡ、ｍＢ,与水平面间的动磨擦系数分别为 μＡ、μＢ,用平行于水平面的拉力Ｆ分别拉物体Ａ、Ｂ ,所得加速度ａ与拉力Ｆ关系图象分别如图所示 ,则可知 :(Ａ) μＡ =μＢ,ｍＡ <ｍＢ(Ｂ) μＡ <μＢ,ｍＡ >ｍＢ(Ｃ)可能ｍＡ =ｍＢ(Ｄ) μＡ >μＢ,ｍＡ <ｍＢ解析　由牛顿第二定律 ,得Ｆ- μｍｇ=ｍａ ①由图象联想到ａ为Ｆ的函数 ,得ａ=1ｍＦ- μｇ ②由此…     

研究性学习的一个案例

任务　对如下问题 1图 1　问题 1图问题 1　已知 :(如图1所示 )正三角形ＡＢＣ的边长为 1 0 ,点Ａ在平面α内 ,点Ｂ ,Ｃ与平面α的距离分别是 4 ,2 ;点Ｂ ,Ｃ在平面α的同侧 ,且Ｂ1,Ｃ1分别是Ｂ ,Ｃ在平面α的射影 ,求 :平面ＡＢＣ与平面α所成的角θ .1 .能用几种方法解决这道问题 ?并请你书写解答过程 .2 .请在查阅数学资料的基础上添加或删减原题中的条件 ,改变问题的结论 ,形成新的数学命题 .3.把你所改编的数学问题给出其尽可能多的不同解答 .4 .在你所改编的或解答的数学问题中 ,可以用到哪些基础知识 ?能列出吗 ?(以上作业必须用书面…     

利用空间向量解一道高考题

空间向量是高中数学试验教材中新增内容 ,它融数形于一体 ,是实现数形结合 ,解决数学问题的重要工具 ,特别在立体几何中的应用 ,尤显便捷明快 ,精巧鲜活 ,新颖有趣 .2 0 0 2年高考数学 (理 )的立体几何题———第 18题 ,难度适中 ,颇有新意 ,标准答案给出了传统几何解法 ,下面用空间向量来解 .图 1题目　如图 1,正方形ＡＢＣＤ、ＡＢＥＦ的边长都是 1,而且平面ＡＢＣＤ、ＡＢＥＦ互相垂直 .点Ｍ在ＡＣ上移动 ,点Ｎ在ＢＦ上移动 ,若ＣＭ =ＢＮ =ａ( 0 <ａ <2 ) .(Ⅰ )求ＭＮ的长 ;(Ⅱ )当ａ为何值时 ,ＭＮ的长最小 ;(Ⅲ )当ＭＮ长最小时 ,求…     

三角知识在立体几何中的应用

立体几何是研究空间图形的性质的一门学科,在处理线线、线面、面面的位置关系时,常要用到三角的有关知识来解决.1　三角函数性质的应用例1　(北京市高一数学竞赛,1993)在三棱锥ＡＢＣＤ中,∠ＤＡＢ ∠ＢＡＣ ∠ＤＡＣ=90°,∠ＡＤＢ=∠ＢＤＣ=∠ＡＤＣ=90°,若ｃｏｓ70°=0.3420.试证:二面角ＡＢＣＤ的度数大于70°.证　如图,设ＤＢ=ａ,ＤＣ=ｂ,ＤＡ=ｘ.图1　例1图　　　图2　例1展开图剪开ＤＡ,ＤＢ,ＤＣ展开在平面上,则∠Ｄ1ＡＤ2=90°,Ｄ1Ａ=Ｄ2Ａ=ｘ,延长Ｄ1Ｂ,Ｄ2Ｃ交于Ｋ,则ＡＤ1ＫＤ2为正方形.ＢＫ=ｘ-ａ,ＣＫ=ｘ-ｂ,ＢＣ=ａ2 ｂ2,由…     

上期课外练习参考解答

初一年级1 .两边连续乘以 2 ,得　12 ｘ + 2 =4,∴　ｘ =4.2 .∵　ＡＢ·ＡＡＡＡ =ＡＢ·ＡＡ·1 0 1 ,ＡＢＡＢ·ＡＡ =ＡＢ·1 0 1·ＡＡ ,∴　等式成立 .3.分类比较三个有理数的两种表达形式 ,得出ａ =-1 ,ｂ =1 .故所求式的值为 0 .初二年级1 .由已知得　 5 =ｘ -1 .∴　原式 =ｘ3 -( 2 +ｘ -1 )ｘ2 + ( 1 + 2ｘ-2 )ｘ -ｘ + 1 + 2 0 0 3=ｘ2 -2ｘ + 2 0 0 4=(ｘ -1 ) 2+ 2 0 0 3=2 0 0 8.2 .原式 =ａ2 ｄ2 -2ａｂｃｄ +ｂ2 ｃ2 +ａ2 ｃ2+ 2ａｂｃｄ +ｂ2 ｄ2=(ａ2 +ｂ2 ) (ｃ2 +ｄ2 )=1× 2 0 0 3=2 0 0 3.3.如图 ,记Ａｉ(ｉ =1 ,2 ,…     

一个三角不等式

本文通过实例引出一个三角学上的函数 ,然后以不等式为基本工具研究该函数的极值 ,由此导出一个十分简洁而有用的不等式 .实例　修建厂房中的一个数学应用题在修建厂房时 ,要把一批钢管运进车间 ,须经过如图所示的通道 .求此通道能水平通过钢管的最大长度 .图中的线段ＡＢ表示钢管 ,为简化计算 ,钢管的直径忽略不计 .设ＡＢ =Ｌ(米 ) ,ＡＢ与横墙所成的角为α ,α∈ 0 ,π2 ,要使ＡＢ最长 ,Ａ ,Ｂ应该紧靠通道的墙角 ,易得Ｌ =3ｓｉｎα+ 2ｃｏｓα,α∈ 0 ,π2 .Ｌ(米 )的最小值就是钢管水平通过通道的最大长度 .这里得到的函数是一个形如 …