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1 (第 2 3届全俄中学奥林匹克竞赛试题 ,11年级 )求方程 (x2 - y2 ) 2 =1+ 16 y的整数解 .解 以下将证明方程(x2 - y2 ) 2 =1+ 16 y (1)的解是 (- 4,5 ) ,(4,5 ) ,(- 1,0 ) ,(1,0 ) ,(- 4,3) ,(4,3) .设x ,y是满足方程 (1)的两个整数 .注意到 ,若 y <0 ,则 1+ 16 y <0 ,则 1+ 16 y不是一个完全平方数 ;若 (x ,y)就是 (1)的解 .不失一般性 ,可设x≥ 0 .情形 1:若x≥y ,可令x =y +a且a∈N .方程 (1)可改写为 :4a2 y2 + 4 (a3- 4) y +a4 - 1=0 .故 y是二次方程 4a2 X2 + 4 (a3- 4)X +a4 - 1=0的一个解 .此时Δ =16 (- 8a3+a2 + 16 ) ,则一… 相似文献
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1 (第 4 7届拉脱维亚数学奥林匹克 )已知a ,b是互不相同的自然数 ,求证 :存在无穷多个自然数n ,使得a +n与b +n互素 .证 不妨设c =a -b >0 ,则存在非负整数 q ,r ,使得b =qc +r ,这里 0≤r≤c -1 ,令n =c +1 -r +kc ,这里k为非负整数 ,则a +n =(b +c) +(c+1 -r +kc)=qc+r +2c+1 -r +kc=(q +k +2 )c+1 .b +n =(q +n +1 )c +1 .设d是a +n与b +n的最大公约数 ,则d|(a +n) - (b +n) =a -b =c,∴d|1 ,∴d =1 .∴a +n与b +n互素 .2 (拉脱维亚第 4 7届数学奥林匹克 )是否… 相似文献
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1(2000年俄罗斯数学奥林匹克)求证:存在10个不同的实数a1,a2,…,a10使得方程(x-a1)(x-a2)…(x-a10)=(x+a1)(x+n2)…(x+a10)(1) 相似文献
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1 (意大利 1995年数学奥林匹克 )求出所有正整数x ,y ,使得x2 615=2 y ( 1)解 对于非负整数k ,2 2k 1=4 k·2≡ ( - 1) k·2≡ 2或 3(mod 5) ,又∵x2 ≡ 0或 1或 4 (mod 5) ,∴ y必须是偶数 .令 y =2z ,代入 ( 1)得( 2 z-x) ( 2 z x) =615=3× 5× 4 1∴ 2 z x =6152 z-x =1( 2 ) 或 2 z x =2 0 52 z-x =3 ( 3) 或 2 z x =12 32 z-x =5( 4 ) 或 2 z x =4 12 z-x =15( 5)显然 ,方程组 ( 2 ) ,( 3) ,( 5)无正整数解 .由方程组 ( 4 )得 :2 z=64,∴z =6,x =59,… 相似文献
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1 求证:对任意实数a3,a4,…,a85,方程a85x^85 a84x^84 … a3x^3 3x^2 2x 1=0的根不全为实数. 相似文献
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1 能否将集合{1,2,…,33}等分为11个互不相容的子集合,每个子集合含3个元素,使得每个子集合中一个元素是另两个元素之和? 相似文献
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本文中|A|表示集合A的元素个数.
1设P(x)=x^3-3x+1.求一个多项式Q(x),使得Q(x)的根是P(x)的根的5次幂. 相似文献
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1(2000年中国台湾数学奥林匹克)设,是正整数集到非负整数集的映射,满足f(1)=0,f(n)=max 1≤j≤n-1 {f(j)+f(n~j)+j|(n≥2),求f(2000)。 相似文献
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1 (俄罗斯1999年数学奥林匹克竞赛)是否存在19个不同的正整数使得它们的和是1999而且每个数的数字之和是相等的? 相似文献
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一道东南数学奥林匹克试题的推广 总被引:1,自引:0,他引:1
题目(第三届(2006年)东南数学奥林匹克第6题):求最小的实数m,使不等式m(a3 b3 c3)≥6(a2 b2 c2) 1(1)对满足a b c=1的任意正实数a,b,c恒成立.本文给出此题的一个推广.推广设ai>0,i=1,2,…,n,n≥2,∑ni=1ai=1,B>0,A>-Bn,求最小的实数m,使不等式m∑ni=1ai3≥A∑ni=1ai2 B(2)恒成立.注:在推广中取n=3,A=6,B=1即得上述东南竞赛题.解ai=1n,i=1,2,…,n,得m≥An Bn2.下面证明,当ai>0,i=1,2,…,n,n≥2,∑ni=1ai=1,B>0,A>-Bn时,有(An Bn2)∑ni=1ai3≥A∑ni=1ai2 B(3)下面证明(3)式成立.不妨设a1≥a2≥…≥an,则a12≥a22≥…≥an2,由切比雪夫不… 相似文献
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文[1]给出了一道德国奥林匹克试题的解法,本人觉得其解法不常规,下面给出此题的另一种简解,同时阐明多元函数最值的一般求法,与读者共勉. 相似文献
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1 △ABC的三边长分别为a ,b ,c ,b <c,AD是∠A的平分线 ,点D在边BC上 ,1)求在线段AB ,AC内分别存在点E ,F(不是顶点 )满足BE =CF和∠BDE =∠CDF的充要条件(用角A ,B ,C表示 ) ;图 1 题 1图2 )在点E和F存在的情况下 ,用a ,b ,c表示BE的长 .解 1)设∠FDC =∠EDB =α ,则在△DFC中 ,由正弦定理得CFsinα =CDsin∠DFC =CDsin(α +C) .即 CF =CDsinαsin(C +α) (1)在△DEB中 ,同理有 BE =DBsinαsin(B +α) (2 )由 (1) ,(2 )及BE … 相似文献
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在本刊2005年第19期P48上,刊登了2005年巴尔干数学奥林匹克试题,当中的第3题为:设a,b,c是正数,求证: 相似文献