不等式的解法、含有绝对值的不等式

选择题1　与不等式2ｘ - 3ｘ - 2 ≥ 1同解的不等式是 (　　 )(Ａ) (2ｘ - 3) (ｘ - 2 )≥ 1.(Ｂ) (ｘ - 1) (ｘ - 2 )≥ 0 .(Ｃ)ｌｇ(ｘ2 - 3ｘ 2 ) >0 .(Ｄ) ｘ3 -ｘ2 ｘ - 1ｘ - 2 ≥ 0 .2　若ａ≠ｂ ,关于ｘ的不等式ａ2 ｘ ｂ2 (1-ｘ)≥[ａｘ ｂ(1-ｘ) ]2 的解集是 (　　 )(Ａ) {ｘ| 0≤ｘ≤ 1} .　　　 (Ｂ) {ｘ| 0 <ｘ <1} .(Ｃ) {ｘ| 0≤ｘ <2 } . (Ｄ) {ｘ| 0≤ｘ≤ 2 } .3　若不等式ｌｏｇ81ｘ ｌｏｇ9ｘ ｌｏｇ3 ｘ <74 的解集为Ｍ ,不等式 8ｘ- 4 ｘ 2 ｘ<1的解集为Ｎ ,则Ｍ∩Ｎ为 (　　 )(Ａ) . (Ｂ) {ｘ| 0 <ｘ <3} .…     

高二数学“不等式的性质与证明”自测题

选择题1　给出如下四个命题 :①若ａ >ｂ ,则ａｃ2 >ｂｃ2 ;②若 ａｃ2 >ｂｃ2 ,则ａ >ｂ ;③若ａ≥ｂ ,ａｃ≥ｂｃ,则ｃ≥ 0 ;④若ａ >ｂ ,则ｌｇ(ａ2 1) >ｌｇ(ｂ2 1) .其中正确命题的个数是 (　　 )(Ａ) 1个 .　 (Ｂ) 2个 .　 (Ｃ) 3个 .　 (Ｄ) 4个 .2　实数ａ ,ｂ满足 0 <ａ <ｂ且ａ ｂ =1,则下列四个数中最大的是 (　　 )(Ａ) 12 .　　　　 (Ｂ)ａ2 ｂ2 .(Ｃ) 2ａｂ . (Ｄ)ａ .3　设ｘ >0 ,ｙ >0 ,ｘ ｙ =1,则使 ｘ ｙ≤ａ恒成立的ａ的最小值是 (　　 )(Ａ) 22 .　　　　　　 (Ｂ) 2 .(Ｃ) 2 . (Ｄ) 2 2 .4　已知 0 <2ｍ <1,则…     

二元不等式（组）解集的图示及应用

对于不等式 ｇ(ｘ ,ｙ)≤ 0 ,或 ｇ(ｘ ,ｙ)≥0 ,若曲线 ｇ(ｘ ,ｙ) =0将平面分成两部分 ,则不等式的解集通常是其中的一部分 ,利用平面上的点集表示二元不等式 (组 )的解集 ,可为求以二元不等式 (组 )为约束条件的某些二元函数的最值提供方便 ,新教材中关于线性规划问题的求解正是这一思想的体现 .例 1　已知ｘ + ｙ≤ 4ｘ - 2 ｙ≤ 03ｘ - ｙ≥ 0( 1 )( 2 )( 3)求ｘ2 + ｙ2 的最大值 .图 1　例 1图解　如图 1 ,不等式 ( 1 )的解集是直线ｘ+ ｙ =4下方的半平面 .不等式 ( 2 )的解集是直线ｘ - 2 ｙ =0上方的半平面 .不等式 ( 3)的解集是直…     

一道高考题的错解·正解·启示

设函数 ｆ(ｘ) =ｘ2 1 -ａｘ ,其中ａ>0 .1 )解不等式ｆ(ｘ) ≤ 1 ;2 )求ａ的取值范围 ,使函数ｆ(ｘ) 在区间 [0 , ∞ )上是单调函数 .这是 2 0 0 0年理科数学高考第 1 9题 ,我参加了本题的阅卷工作 .众多试卷上的错解、妙解给人许多启迪 .对于 1 ) ,有下面典型性错解 :解原不等式 ,即解不等式　ｘ2 1≤ 1 ａｘ (ｉ) 1 ｘ2 ≤ (1 ａｘ) 2 (ｉｉ) ｘ≤ 0 ,(ａ2 - 1 )ｘ 2ａ≤ 0 (1 )或　 ｘ≥ 0(ａ2 - 1 )ｘ 2ａ≥ 0 (2 )(1 )的解为ｘ≤ 2ａ1 -ａ2 (ａ >1 ) ;(2 )的解为 :当ａ≥ 1时 ,ｘ≥ 0 ;当 0 <ａ<1时 ,0≤ｘ≤ 2ａ1 -ａ2 .…     

名校基础知识自测

选择题1.已知 :“ｘ与 3的商加上ｘ与 7的积不小于ｘ与 2的差 .”用不等式表示正确的是(　　 ) .(Ａ) (ｘ3 +ｘ)·7≥ 2 -ｘ(Ｂ) ｘ3 + 7ｘ≤ｘ -2(Ｃ) ｘ3 + 7ｘ≥ｘ -2(Ｄ) ｘ3 + 7ｘ≥ 2 -ｘ2 .若ａ、ｂ是有理数 ,则下列说法中正确的是(　　 ) .(Ａ)若ａ >ｂ ,则ａ2 >ｂ2(Ｂ)若 |ａ| >ｂ ,则ａ2 >ｂ2(Ｃ)若 |ａ|≠ |ｂ| ,则ａ2 ≠ｂ2(Ｄ)若ａ2 >ｂ2 ,则ａ >ｂ3 .下面说法不正确的是 (　　 ) .(Ａ)小于 -1的有理数比它的倒数小(Ｂ)小于 0的有理数的二次幂大于原数(Ｃ)小于 0的有理数的立方小于原数(Ｄ)非负数的相反数不一定比它本身小4.一…     

“x≥a and x≤2无解”即“a≤x≤2不成立”吗?

众所周知 ,“ ｘ≥ａｘ≤ 2 无解”即“ ｘ≥ａｘ≤ 2 的解集是 ” ,那么“ａ≤ｘ≤ 2不成立”又是什么意思呢 ?拙以为 ,设Ａ =ｘ ｘ≥ａｘ≤ 2 ,则ｘａ≤ｘ≤ 2不成立 =Ａ而Ａ =[ａ ,2 ]　　　 (ａ <2 ){ 2 }　　　　 (ａ=2 ) 　　　　　 (ａ>2 )故Ａ=(-∞ ,ａ) ∪ (2 , ∞ )　　 (ａ<2 )(-∞ ,2 ) ∪ (2 , ∞ )　　 (ａ=2 )　　　　Ｒ　　　　　　 (ａ>2 )再深究下去 ,“ａ≤ｘ≤ 2不成立 /　ａ >2”但“ａ >2 ａ≤ｘ≤ 2不成立”即“不等式ａ≤ｘ≤ 2不成立”是“ａ>2”的必要不充分条件 .文[1 ] 中介绍并解答了这样的问题 :已知集合…     

充分利用定义中的条件

二次根式的定义为 :式子 ａ(ａ≥ 0 )叫做二次根式 .这一定义中的条件ａ≥ 0极为重要 ,同学们在学习时应特别注意并在解题时充分利用 .现分几种情况举例说明 .一、若ａ有意义 ,则ａ≥ 0例 1　要使根式 1-ｘ有意义 ,那么ｘ的取值范围是 .( 2 0 0 2年福建省龙岩市中考试题 )解 :要使 1-ｘ有意义 ,必须 1-ｘ≥ 0 ,得ｘ≤ 1.例 2　ａｂ≠ 0 ,则等式 - - ａｂ5=1ｂ3 -ａｂ成立的条件是 (　 ) .Ａ .ａ >0 ,ｂ>0　　　Ｂ .ａ >0 ,ｂ <0Ｃ .ａ <0 ,ｂ >0Ｄ .ａ <0 ,ｂ <0( 2 0 0 2年山东省淄博市中考试题 )解 :∵ - - ａｂ5=1ｂ3 -ａｂ ,∴ｂ3 <0 ,…     

综合题新编选登

题 6 5　 已知函数 ｆ(ｘ) =ｘ|ｘ -ａ|(ａ∈Ｒ) .1 )判断 ｆ(ｘ)的奇偶性 ;2 )解关于ｘ的不等式 :ｆ(ｘ)≥ 2ａ2 ;3)写出 ｆ(ｘ)的单调区间 .解　 1 )当ａ =0时 ,ｆ(-ｘ) =-ｘ|-ｘ|=-ｘ|ｘ|=- ｆ(ｘ) ;∴ｆ(ｘ)是奇函数 .当ａ≠ 0时 ,ｆ(ａ) =0且 ｆ(-ａ) =- 2ａ|ａ|.故 ｆ(-ａ)≠ｆ(ａ)且 ｆ(-ａ)≠ - ｆ(ａ) ,∴ｆ(ｘ)既不是奇函数 ,也不是偶函数 .2 )由题设知ｘ|ｘ -ａ|≥ 2ａ2 ,∴原不等式等价于　　 ｘ <ａ-ｘ2 +ａｘ≥ 2ａ2 (1 )　　 ｘ≥ａｘ2 -ａｘ≥ 2ａ2 (2 )由 (1 ) ,得 ｘ <ａ ,ｘ2 -ａｘ +2ａ2 ≤ 0 .　　无解 .由 (2 ) ,得 …     

2003年中考数学模拟试题(10)

一、选择题 (本大题满分 3 6分 ,每小题 3分 )1 .如果ａ <0 ,则ａ与它的相反数的差的绝对值是(　 ) .Ａ .0　　Ｂ .ａ　　Ｃ . -2ａ　　Ｄ .2ａ2 .已知 -4ｘｍ +ｎｙｍ -ｎ与 3ｘ7-ｍｙ1+ｎ是同类项 ,则ｍ ,ｎ的值分别是 (　 ) .Ａ .ｍ =-1 ,ｎ =-7　　　Ｂ .ｍ =3 ,ｎ =1Ｃ .ｍ =2 91 0 ,ｎ =65 Ｄ .ｍ =54,ｎ =-43 .不等式组 2ｘ -3 <53ｘ +1 >-2 的解集是 (　 ) .Ａ . -1 <ｘ <4　　　Ｂ .ｘ >4或ｘ <-1Ｃ .ｘ >4Ｄ .ｘ <-14.如果点Ｐ(ａ ,ｂ)关于ｘ轴的对称点Ｐ′在第三象限 ,那么直线 ｙ=ａｘ +ｂ的图象不经过 (　 ) .Ａ .第一象限　　…     

构造点的坐标证明不等式

有些不等式的证明 ,若采用常规方法 ,往往不易下手或比较冗繁 ,但若从数形结合思想考虑 ,充分挖掘出不等式的几何背景 ,通过构造点的坐标 ,建立起不等式的几何模型 ,利用几何图形的不等性质 ,可使不等式较易得到证明 .一、构造点的坐标 ,利用点线距最短证明图 1不等式例 1　已知ａ≥0 ,ｂ≥ 0 ,且ａ +ｂ =1,求证 :(ａ + 2 ) 2 + (ｂ +2 ) 2 ≥2 52 .证明　设Ａ(-2 ,-2 ) ,Ｐ(ａ ,ｂ) ,则点Ｐ在线段ｘ +ｙ =1(0≤ｘ≤ 1)上 ,点Ａ到直线ｘ + ｙ =1的距离ｄ =| -2 -2 -1|2 =52 .如图 1,∵　 |ＡＰ|≥ｄ ,即　 (ａ + 2 ) 2 + (ｂ + 2 ) 2 ≥ 52 …     

一类含根式的新不等式及应用

本文通过引入参数的方法发现了一类新的含根式的不等式 ,它们在不等式的证明以及处理一些非等变量的多元函数的极值问题中有着广泛的应用价值 .定理 1　设 0 ≤ｘ ≤λ≤ａ ,则ａ-ｘ≥ ａ-ｔｘ ,(1 )其中等号成立当且仅当ｘ=0或λ ;ｔ =1λ(ａ-ａ-λ) .证　∵ 0 ≤ｘ≤λ ,∴ｘ2 ≤λｘ(等号成立当且仅当ｘ=0或λ) ,于是 ,引入正参数ｔ,我们有(ａ-ｔｘ) 2 =ａ- 2 ａｔｘ ｔ2 ｘ2≤ａ (ｔ2 λ - 2ａｔ)ｘ ,①令ｔ2 λ - 2ａｔ =- 1 ,则方程λｔ2 - 2ａｔ 1 =0有正根ｔ =1λ(ａ -ａ -λ) .故①式两边开平方立得 (1 )式 ,由①取等号的条件知 ,…     

一个代数不等式的再研究

文 [1]发表了宋庆老师新发现的一个代数不等式及其证明 .笔者发现此代数不等式的背后蕴含着更一般的结论 .同样可利用幂函数的单调性来证明下面的定理成立 .定理 1　若ｘ ,ｙ ,ｚ∈Ｒ .则ｘｍ(ｘｎ- ｙｎ) ｙｍ(ｙｎ-ｚｎ) ｚｍ(ｚｎ-ｘｎ)≥ 0(1)其中ｍ·ｎ≥ 0 ;当ｍ·ｎ≤ 0时 ,不等式 (1)反向 .等号当且仅当ｘ =ｙ =ｚ或ｍ =0或ｎ =0时成立 .证　设ｘ≥ｙ >0 ,ｘ≥ｚ >0 .当ｍ·ｎ≥ 0时1)若ｍ≥ 0且ｎ≥ 0 ,则ｘｍ≥ｚｍ>0 ,ｘｎ≥ｙｎ>0 ,即ｘｎ- ｙｎ≥ 0 ,故ｘｍ(ｘｎ- ｙｎ)≥ｚｍ(ｘｎ- ｙｎ) ;2 )若ｍ≤ 0且ｎ≤ 0 ,则 0 <ｘ…     

两道代数题的几何解法

文 [1]日本高考题 :设θ∈ [0 ,π2 ],ｃｏｓ2 θ 2ｍｓｉｎθ - 2ｍ - 2 <0恒成立 ,求ｍ的取值范围 .原解答摘录如下 :解　原不等式等价于2 (1-ｍ) (1-ｓｉｎθ) <(1-ｓｉｎθ) 2 2 .令ｘ =1-ｓｉｎθ ,则 0≤ｘ≤ 1且2 (1-ｍ)ｘ <ｘ2 2 .1)若ｘ =0 ,不等式对任何ｍ总成立 .2 )若 0 <ｘ≤ 1,则2 (1-ｍ) <ｘ 2ｘ记 ｆ(ｘ) (1)由ｆ(ｘ) =ｘ 1ｘ 1ｘ ≥ 2 1=3知 ,当ｘ =1时 ,[ｆ(ｘ) ]ｍｉｎ=3,于是不等式 (1)对 0 <ｘ≤ 1恒成立当且仅当2 (1-ｍ) <[ｆ(ｘ) ]ｍｉｎ=3,即ｍ >- 12 .图 1　抛物线综合 1) ,2 )知ｍ的取值范围是 (- 12 , ∞…     

两个不等式的指数推广

贵刊文[1]给出以下两个不等式:1　设ｘｉ∈Ｒ (ｉ=1,2,…,ｎ),且ｘ211 ｘ21 ｘ221 ｘ22 … ｘ2ｎ1 ｘ2ｎ=ａ(0<ａ<ｎ),求证:ｘ11 ｘ21 ｘ21 ｘ22 … ｘｎ1 ｘ2ｎ≤ａ(ｎ-ａ)(1)2　设ｘｉ∈Ｒ (ｉ=1,2,…,ｎ),且ｘ11 ｘ1 ｘ21 ｘ2 … ｘｎ1 ｘｎ=ａ(0<ａ<ｎ),求证:ｘ211 ｘ1 ｘ221 ｘ2 … ｘ2ｎ1 ｘｎ≥ａ2ｎ-ａ(2)笔者受该文的启发,将上述两个不等式从变量的指数上予以推广,得到下面几个命题.　命题1　设ｘｉ∈Ｒ (ｉ=1,2,…,ｎ),ｍ,ｋ∈Ｎ,且ｍ≥2,1≤ｋ≤ｍ-1,且ｘｍ11 ｘｍ ｘｍ21 ｘｍ2 … ｘｍｎ1 ｘｍｎ=ａ(0<ａ<ｎ),则有:ｘｋ11 ｘｍ…     

应用二次函数图象特点解题探索

二次函数是高中数学的重要内容之一 ,图象的直观特点常被数学竞赛命题者青睐 .设ｆ(ｘ) =ａｘ2 ｂｘ ｃ(ａ≠ 0 )性质 1 )　当ａ>0时 ,ｆ(ｘ)的图象特点是下凸的 ,则有 :ｆ(ｘ1 ) ｆ(ｘ2 ) … ｆ(ｘｎ)ｎ≥ｆ(ｘ1 ｘ2 … ｘｎｎ ) .当ａ<0时 ,ｆ(ｘ)的图象特点是上凸的 ,则有 :ｆ(ｘ1 ) ｆ(ｘ2 ) … ｆ(ｘｎ)ｎ≤ｆ(ｘ1 ｘ2 … ｘｎｎ ) .性质 2 )　若ｆ(ｘ) ≥ 0时 ,ｘ∈Ｒ恒成立 ,则ｆ(ｘ)的图象开口向上 ,且图像全在ｘ轴上方 (含ｘ轴上 ) ,这等价于ａ>0△ ≤ 0若ｆ(ｘ) ≤ 0时 ,ｘ∈Ｒ恒成立 ,类似有ａ <0△ ≤ 0性质 3)　…     

高中数学联赛中的化归方法

化归是一种重要的数学方法 ,许多难度较大的竞赛题通过化归往往会收到意想不到的效果 .例 1　 ( 1991年全国高中数学联赛试题 )已知 :0 <ａ <1,ｘ2 ｙ =0 .求证 :ｌｏｇａ(ａｘ ａｙ)≤ｌｏｇａ2 18.分析　由于 0 <ａ <1,故由对数函数的单调性 ,不等式ｌｏｇａ(ａｘ ａｙ)≤ｌｏｇａ2 18等价于　　　　　ａｘ ａｙ≥ 2ａ18( 1)这样原来的问题就转化为 :在 0 <ａ <1且ｘ2 ｙ =0的条件下 ,证明不等式 ( 1) .由条件ｘ2 ｙ =0 ,得 ｙ =-ｘ2 .从而不等式 ( 1)又可化归为ａｘ ａ-ｘ2 ≥ 2ａ18( 2 )注意到不等式 ( 2 )的右边有一个系数 2 ,显…     

二次函数在闭区间上的最值

求二次函数 ｆ(ｘ) =ａｘ2 ｂｘ ｃ在闭区间上的最值 ,由于可以较好地考查学生的数学思想和思维能力 ,因而是一类很典型的题型 .通过画图我们可直观的得到 :二次函数 ｆ(ｘ) =ａｘ2 ｂｘ ｃ(ａ >0 )在ｘ∈[ｘ1 ,ｘ2 ]上的最值为 :1　若ｘ1 ≥ - ｂ2ａ,则ｆ(ｘ)有最小值 ｆ(ｘ1 ) ,最大值ｆ(ｘ2 ) ;2　若ｘ1 ≤ - ｂ2ａ≤ｘ2 ,则 ｆ(ｘ)有最小值 ｆ( - ｂ2ａ) ,最大值ｍａｘ{ｆ(ｘ1 ) ,ｆ(ｘ2 ) };3　若ｘ2 ≤ - ｂ2ａ,则 ｆ(ｘ)有最小值 ｆ(ｘ2 ) ,最大值ｆ(ｘ1 ) .至于ａ <0的情况有类似的性质 .例 1　 ( 1996年全国高中数学联赛题 )如…     

不等式的解法、含有绝对值的不等式

本单元知识点及重要方法本单元必须掌握有理不等式 ,无理不等式 .指数与对数不等式 .含有绝对值的不等式的基本解法 .解不等式过程中用到的重要思想或方法有 :转化法 (主要指同解变形 ) ,换元法 ,分类讨论 ,数形结合 .练　习选择题1　不等式 2 -ｘ >ｘ的解集是 (　　 )(Ａ) {ｘ|ｘ <1}.(Ｂ) {ｘ|- 2 <ｘ <1}.(Ｃ) {ｘ|0≤ｘ <1}.(Ｄ) {ｘ|ｘ <0 }.2　不等式组ｘ >03 -ｘ3 ｘ>|2 -ｘ2 ｘ|的解集是 (　　 )(Ａ) {ｘ|0 <ｘ <2 }.(Ｂ) {ｘ|0 <ｘ <2 .5}.(Ｃ) {ｘ|0 <ｘ <6}(Ｄ) {ｘ|0 <ｘ <3 }.3　不等式 |ｘ2 - 2ｘ 3|<|3ｘ - 1|的解集是 (…     

高二同步测试题

选择题 :1　若1ｘ<ｘ ,则ｘ的取值范围是 (　　 )(Ａ) (-∞ ,- 1 )∪ (1 , ∞ ) .(Ｂ) (- 1 ,0 )∪ (1 , ∞ ) .(Ｃ) (- 1 ,1 ) .(Ｄ) (- 1 ,0 )∪ (0 ,1 ) .2　不等式ｌｏｇｘ 45 <1的解集是 (　　 )(Ａ) {ｘ| 0 <ｘ <45 }.(Ｂ) {ｘ|ｘ >45 }.(Ｃ) {ｘ| 45 <ｘ <1 }.(Ｄ) {ｘ| 0 <ｘ <45 }∪ {ｘ|ｘ >1 }.3　若 |ａ| <1 ,|ｂ| <1 ,则 |ａ ｂ| |ａ -ｂ|与 2的大小关系是 (　　 )(Ａ) |ａ ｂ| |ａ -ｂ| >2 .(Ｂ) |ａ ｂ| |ａ -ｂ| <2 .(Ｃ) |ａ ｂ| |ａ -ｂ| =2 .(Ｄ)不确定 .4　设ｘ∈Ｒ ,则 (1 - |ｘ| ) (1 ｘ) >0成立的充分…     

一个不等式的发现

文 [1]给出了下面的一道竞赛题的几种优美的证法 .题　 (第 2 6届独联体数学奥林匹克竞赛试题 )证明 :对任意实数ａ >1,ｂ >1,有不等式 ａ2ｂ - 1 ｂ2ａ - 1≥ 8.其中一种证法是 :设ａ - 1=ｘ ,ｂ - 1=ｙ ,则ｘ >0 ,ｙ >0 ,原不等式等价于(ｘ 1) 2ｙ (ｙ 1) 2ｘ ≥ 8.运用柯西不等式 ,得(ｘ 1) 2ｙ (ｙ 1) 2ｘ=(ｘ 1) 2ｙ (ｙ 1) 2ｘ (ｙｘ ｙ ｘｘ ｙ)≥(ｘ ｙ 2 ) 2ｘ ｙ =(ｘ ｙ) 2 4(ｘ ｙ) 4ｘ ｙ=(ｘ ｙ) 4ｘ ｙ 4≥ 8.证明简洁而易懂 .原文还给出了一个推广 ,即设ａｉ>0 (ｉ=1,2 ,… ,ｎ) ,则(ａ1 1) 2ａ2 (ａ…