上期课外练习解答

高一年级1 .在ＡＢ上取一点Ｄ ,使ＤＢ =ＣＢ ,设Ｅ为Ｄ关于ＡＣ的对称点 .连ＥＡ ,ＥＢ ,ＥＤ ,ＣＤ .易证△ＤＣＥ为正三角形 .ＢＥ为ＤＣ的中垂线 ,ＡＣ为ＤＥ的中垂线 ,有 :∠ＥＢＡ =4 0° =∠ＥＡＢ ,ＥＢ =ＥＡ =ＡＤ =ｂ -ａ .在△ＡＢＥ中 ,ｃｏｓ∠ＡＥＢ =2 (ｂ-ａ) 2 -ｂ22 (ｂ -ａ) 2 ;在△ＡＢＣ中 ,ｃｏｓ∠ＡＢＣ =ａ2 +ｂ2 -ｂ22ａｂ ;由ｃｏｓ∠ＡＥＢ =-ｃｏｓ∠ＡＢＣ ,得2 (ｂ-ａ) 2 -ｂ22 (ｂ-ａ) 2 =- ａ2ｂ.整理 ,得　ａ3+ｂ3=3ａｂ2 .2 .ｙ=1 -ｓｉｎｘｃｏｓｘ1 +ｓｉｎｘｃｏｓｘ=212 ｓｉｎ2ｘ + 1- 1 .∵　 π…     

值得注意的一点

题　已知△ＡＢＣ的外接圆半径为 6 ,ａ ,ｂ ,ｃ分别是角Ａ ,Ｂ ,Ｃ所对应的边 ,角Ｂ ,Ｃ和面积Ｓ满足条件Ｓ =ａ2 - (ｂ -ｃ) 2 且ｓｉｎＢ+ｓｉｎＣ =43,求△ＡＢＣ的面积Ｓ的最大值 .乍一看 ,这是一道易解的与不等式知识结合的三角题 ,可以很快给出解答如下 .解　由余弦定理 ,得ａ2 =ｂ2 +ｃ2 -2ｂｃｃｏｓＡ ,即ａ2 =(ｂ -ｃ) 2 + 2ｂｃ( 1 -ｃｏｓＡ) ( 1 )又∵Ｓ =12 ｂｃｓｉｎＡ =ａ2 - (ｂ -ｃ) 2 ( 2 )由 ( 1 ) ,( 2 )可得　ｓｉｎＡ =4 ( 1 -ｃｏｓＡ) ,∴1 -ｃｏｓＡｓｉｎＡ =14 ,∴ｔａｎ Ａ2 =14 ,∴ｓｉｎＡ =81 7.又∵ｓｉ…     

名校基础知识自测

★高一年级一、选择题1 .已知△ＡＢＣ中 ,若ｓｉｎＡ >ｓｉｎＢ ,则必有 (　　 ) .(Ａ)Ａ >Ｂ　　　 (Ｂ)ｃｏｓＡ >ｃｏｓＢ(Ｃ)ｃｏｓＡ <ｃｏｓＢ (Ｄ)ｔａｎＡ >ｔａｎＢ或ｔａｎＡ <ｔａｎＢ2 .在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ =60° ,ＡＣ =1 ,Ｓ△ＡＢＣ =3 ,则ａ +ｂ +ｃｓｉｎＡ +ｓｉｎＢ +ｓｉｎＣ=(　　 ) .(Ａ) 3 3　 (Ｂ) 2 3 93 　 (Ｃ) 2 633 　 (Ｄ) 3 923 .已知△ＡＢＣ中的三边为ａ ,ｂ ,ｃ,且ａ -ｂ =Ｃ·ｃｏｓＢ-Ｃ·ｃｏｓＡ ,则△ＡＢＣ为 (　　 ) .(Ａ)直角三角形　　　 (Ｂ)等腰三角形(Ｃ)等腰直角三角形　 (Ｄ)等腰或直角三…     

一个猜想不等式的证明

设△ＡＢＣ的三边为ａ、ｂ、ｃ,相应边上的旁切圆半径为ｒａ、ｒｂ、ｒｃ,文 [1]证明了　　 ∑(ｒｂ +ｒｃ) 2 ≥ 34∑(ｂ +ｃ) 2 ( 1)并提出关于指数推广的猜想 :　 ∑(ｒｂ+ｒｃ) ｋ ≥ ( 32 ) ｋ∑(ｂ+ｃ) ｋ ( 2 )其中ｋ &;gt;0 ,∑ 表示对ａ、ｂ、ｃ轮换求和 .本文证明猜想不等式 ( 2 )成立 .引理　 ∑ ｒｂ+ｒｃｂ +ｃ ≥ 332 ( 3)证明　由公式ｒａ =ｒｓｓ -ａ(ｒ、ｓ分别是△ＡＢＣ的内切圆半径和半周长 )易证ｒａ(ｒｂ +ｒｃ) =ａｓ ,于是　ｒｂ+ｒｃ =ａｓｒａ=ａ(ｓ-ａ)ｒ =ａｃｔｇ Ａ2 ( 4)所以 ,( 3)式等价于刘健证得的不等式[2 ] :　　 ∑ ａｂ +ｃｃｔｇ Ａ2 ≥ 332 ( 5)因此 ,引理得证 .不等式 ( 2 )的证明如下 :(ｉ)当 0 &;lt;ｋ&;lt;1时由 ( 4)式及熟知不等式 :ｓ ≤ 332 Ｒ (Ｒ是△ＡＢＣ的外接圆半径 ) ,知　 (ｒｂ+ｒｃ) (ｒｃ+ｒａ) (ｒａ+ｒｂ)=ａｂｃ(ｓ -ａ) (ｓ-ｂ) (ｓ -ｃ)ｒ3=4Ｒｓ2 ≥ ( 23ｓ) 3,于是 ∑(ｒｂ +ｒｃ) ｋ ≥ 3[(ｒｂ...     

关于椭圆的十个最值问题

本文利用初等方法讨论了与椭圆有关的若干几何最值问题 ,得到了十个有趣的结论 ,为方便读者选用 ,现用定理形式叙述如下 .定理 1　椭圆ｂ2 ｘ2 +ａ2 ｙ2 =ａ2 ｂ2 (ａ>ｂ >0 )的内接三角形的面积的最大值为3 34ａｂ .证明　设该椭圆内接三角形ＡＢＣ三顶点坐标按逆时针方向依次为Ａ(ａｃｏｓθ1 ,ｂｓｉｎθ1 ) ,Ｂ(ａｃｏｓθ2 ,ｂｓｉｎθ2 ) ,Ｃ(ａｃｏｓθ3,ｂｓｉｎθ3) ,则 △ ＡＢＣ的面积为Ｓ=121　ａｃｏｓθ1 　ｂｓｉｎθ11　ａｃｏｓθ2 　ｂｓｉｎθ21　ａｃｏｓθ3　ｂｓｉｎθ3=12 ａｂ1　ｃｏｓθ1 　ｓｉｎθ11　ｃｏｓθ2…     

再谈“广义三角形角的关系及应用”

文 [1]从三角形中的正、余弦定理的角度出发 ,将余弦定理ａ2 =ｂ2 +ｃ2 - 2ｂｃｃｏｓＡ和正弦定理 ａｓｉｎＡ= ｂｓｉｎＢ=ｃｓｉｎＣ=2Ｒ结合得 :定理 1　在△ＡＢＣ中 ,ｓｉｎ2 Ａ =ｓｉｎ2 Ｂ +ｓｉｎ2 Ｃ -2ｓｉｎＢｓｉｎＣｃｏｓＡ .并将其推广到广义三角形中 ,即得 :定理 1′　若∠Ａ +∠Ｂ +∠Ｃ =π ,则ｓｉｎ2 Ｂ +ｓｉｎ2 Ｃ - 2ｓｉｎＢｓｉｎＣｃｏｓＡ =ｓｉｎ2 Ａ .定理 1称为三角函数形式余弦定理 ,它揭示了三角形内角的关系 .定理 1′称为广义三角函数形式余弦定理 ,它揭示了广义三角形内角的关系 .在教学中 ,笔者曾对课…     

一道选择题的错解与分析

题目　ＡＤ为△ＡＢＣ的高线 ,ＢＤ =ａ ,ＤＣ =ｂ(ａ <ｂ) ,将△ＡＢＣ沿ＡＤ折叠成二面角Ｂ ＡＤ Ｃ ,其平面角为θ ,若ｃｏｓθ =ａｂ,则四面体Ａ ＢＣＤ的侧面ＡＢＣ是 (　　 ) .(Ａ)锐角三角形　 (Ｂ)钝角三角形(Ｃ)直角三角形　 (Ｄ)由ａ、ｂ的值确定错解　首先考察θ为直角时 ,ＤＡ ,ＤＢ ,ＤＣ两两垂直 ,易证△ＡＢＣ的三个角均为锐角(可用公式ｃｏｓθ =ｃｏｓθ1 ·ｃｏｓθ2 ) ,即△ＡＢＣ为锐角三角形 .因ｃｏｓθ =ａｂ >0 ,θ为锐角 (上述情形可看作θ的一个极端状态 ) ,即二面角Ｂ ＡＤ Ｃ由直二面角连续折叠成了锐二面角 .…     

课外练习

高一年级1.在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ =2 0° ,ＡＢ =ＡＣ =ｂ ,ＢＣ=ａ .求证 :ａ3 +ｂ3 =3ａｂ2 .2 .若 π6 ≤ｘ≤ π3,求函数 ｙ =ｔａｎｘ -ｓｉｎ2 ｘｔａｎｘ +ｓｉｎ2 ｘ的最大值和最小值 .3 .若函数ｆ(ｘ)在 (-∞ ,3]上是减函数 ,且ｆ(ａ2 -ｓｉｎｘ)≤ｆ(ａ+ 1+ｃｏｓ2 ｘ)对一切ｘ∈Ｒ恒成立 ,求实数ａ的取值范围 .高二年级1.在棱长为ａ的正方体ＡＢＣＤ -Ａ1 Ｂ1 Ｃ1 Ｄ1中 ,过ＢＤ1 的截面分别交ＡＡ1 、ＣＣ1 于Ｅ、Ｆ两点 ,求四边形ＢＥＤ1 Ｆ面积的最小值 .(北京　含　笑 )2 .已知 :ｘ ,ｙ∈Ｒ+ ,且ｘ + ｙ =1.求ｕ =1ｘ3 +12ｙ的…     

抛物线内接等腰三角形的一个性质

抛物线ｙ =ａｘ2 +ｂｘ+ｃ如果与ｘ轴有两个交点 ,以这两点及与ｙ轴交点为顶点的三角形是等腰三角形的充分必要条件是ｂ =0或者ｂ2 =ａｃ(ａｃ+3 ) 2ａｃ+2 .下面加以分析 :(1 )不难证明当ｂ=0时 ,△ＡＢＣ为等腰三角形 (ＡＣ =ＢＣ) .当ＡＣ =ＢＣ时 ,ｂ=0 .图 2图 1(2 )如图 2 ,设Ａ(ｘ1 ,0 ) ,Ｂ(ｘ2 ,0 ) .Ｃ点坐标为 (0 ,ｃ) .因此　ｘ1 =-ｂ- ｂ2 - 4ａｃ2ａ ,ｘ2 =-ｂ +ｂ2 - 4ａｃ2ａ .又∠ＢＯＣ =90°由勾股定理知ＢＣ2 =ＯＢ2 +ＯＣ2= -ｂ+ｂ2 - 4ａｃ2ａ2 +ｃ2 而ＡＢ=ｂ2 - 4ａｃａ(这里以ａ>0为例 ) .当ＡＢ =ＢＣ时 ,则ｂ2 -…     

美国纽约州立大学招生会考试卷数学B

(考试时间 :2 0 0 2年 8月 1 3日上午 8:3 0 - 1 1 :3 0 )注意 :考试中需要下列工具 :计算器、圆规、直尺 .参考公式 :三角形的面积ｋ =12 ａｂｓｉｎＣ两角和与差的三角函数ｓｉｎ(Ａ +Ｂ) =ｓｉｎＡｃｏｓＢ +ｃｏｓＡｓｉｎＢｃｏｓ(Ａ +Ｂ) =ｃｏｓＡｃｏｓＢ -ｓｉｎＡｓｉｎＢｓｉｎ(Ａ -Ｂ) =ｓｉｎＡｃｏｓＢ -ｃｏｓＡｓｉｎＢｃｏｓ(Ａ -Ｂ) =ｃｏｓＡｃｏｓＢ +ｓｉｎＡｓｉｎＢ正弦定理ａｓｉｎＡ=ｂｓｉｎＢ=ｃｓｉｎＣ余弦定理ａ2 =ｂ2 +ｃ2 - 2ｂｃｃｏｓＡ二倍角公式ｓｉｎ2Ａ =2ｓｉｎＡｃｏｓＡｃｏｓ2Ａ =ｃｏｓ2 Ａ -ｓ…     

对一个不等式的深入思考

问题　在△ＡＢＣ中 ,角Ａ ,Ｂ ,Ｃ的对边分别为ａ ,ｂ ,ｃ ,若Ａ +Ｃ≤ 2Ｂ ,求证 :ａ4+ｃ4≤ 2ｂ4.这是《数学教学》2 0 0 1年第 6期问题栏的一道新题 ,我们的深入思考是 :从次数方向探索 ,对自然数ｎ ,此题有无推广的新题呢 ?推广 1　在△ＡＢＣ中 ,角Ａ ,Ｂ ,Ｃ的对边分别为ａ ,ｂ ,ｃ ,若Ａ +Ｃ≤ 2Ｂ ,求证 :1 )对于 1≤ｎ≤ 4 (ｎ∈Ｎ) ,不等式ａｎ+ｃｎ≤ 2ｂｎ 均成立 ;2 )对于ｎ >4 (ｎ∈Ｎ) ,不等式ａｎ+ｃｎ≤2ｂｎ不能成立 .证　 1 )由原不等式ａ4+ｃ4≤ 2ｂ4的证明过程易知 ,其等号当且仅当ｃｏｓＢ =12 ,且ｂ2 =ａｃ,即ａ =…     

三角形的一个边角变换的推广

王开广老师在贵刊 2 0 0 1年第 5期给出了一个三角形边到角的三角函数的变换 :定理　 ｆ (ａ ,ｂ ,ｃ,△ )≡ ｆ (ｃｏｓ Ａ2 ,ｃｏｓ Ｂ2 ,ｃｏｓ Ｃ2 ,18(ｓｉｎＡ ｓｉｎＢ ｓｉｎＣ) ) ,其中ａ ,ｂ ,ｃ ,△分别是△ＡＢＣ的三边和面积 .下同 .本文予以推广推广　ｆ(ａ ,ｂ ,ｃ,△ )≡ｆ(ａ′ ,ｂ′ ,ｃ′ ,△′) ,其中　　ａ′ =ｙ2 ｚ2 2 ｙｚｃｏｓＡ,ｂ′=ｚ2 ｘ2 2ｚｘｃｏｓＢ ,ｃ′ =ｘ2 ｙ2 2ｘｙｃｏｓＣ,△′ =12 | ｙｚｓｉｎＡ ｚｘｓｉｎＢ ｘｙｓｉｎＣ| .ｘ ,ｙ ,ｚ是任意实数 ,且ｘｙｚ≠ 0 .为证明该推广…     

圆锥曲线间的有趣变换

文 [1 ]中给出了双曲线的一个有趣的性质 ,受此启发 ,进一步研究 ,得到圆锥曲线间的一个有趣的变换 .定理 1　设椭圆Ｃ :ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1 (ａ>ｂ>0 ) ,ＰＰ′是Ｃ上的垂直于ｘ轴的一条弦 ,Ａ(-ａ,0 ) ,Ａ′(ａ,0 )是Ｃ的两个顶点 ,则直线ＰＡ与Ｐ′Ａ′的交点在双曲线ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2 =1上 .证明　设Ｐ(ａｃｏｓｔ,ｂｓｉｎｔ) ,则Ｐ′(ａｃｏｓｔ,-ｂｓｉｎｔ) ,直线ＰＡ :ｙｂｓｉｎｔ=ｘ+ａａｃｏｓｔ+ａ (1 )直线Ｐ′Ａ′:ｙ-ｂｓｉｎｔ=ｘ-ａａｃｏｓｔ-ａ (2 )由 (1 ) ,(2 )解得 ｘ=ａｓｅｃｔ,ｙ=ｂｔａｎｔ.所以ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2 =1…     

对三角形三边定理的异议

文 [1 ]对△ＡＢＣ的恒等式ｃｏｓ2 Ａ ｃｏｓ2 Ｂ ｃｏｓ2 Ｃ 2ｃｏｓＡ·ｃｏｓＢ·ｃｏｓＣ =1用余弦定理代换为边的表达式而得到了三角形三边定理 :-2ａ2 (ａ2 ｂ2 -ｃ2 ) (ｃ2 ａ2 -ｂ2 )(ａ2 ｂ2 -ｃ2 ) -2ｂ2 (ｂ2 ｃ2 -ａ2 )(ｃ2 ａ2 -ｂ2 ) (ｂ2 ｃ2 -ａ2 ) -2ｃ2=0( )即　ｆ(ａ ,ｂ ,ｃ) =0　 (( )为笔者所加 ) .笔者首先指出 ( )为恒等式 .由行列式的性质 ,将行列式 ( )左边第 2列、第 3列都加到第 1列后 ,行列式的值不变 .∴-2ａ2 (ａ2 ｂ2 -ｃ2 ) (ｃ2 ａ2 -ｂ2 )(ａ2 ｂ2 -ｃ2 ) -2ｂ2 (ｂ2 ｃ2 -ａ2 )(ｃ2 ａ2 -…     

四边形的余弦定理与六点问题

如图 1,在四边形ＡＢＣＤ中 ,设ＤＡ =ａ ,ＡＢ =ｂ ,ＢＣ =ｃ,ＣＤ =ｄ ,∠ＤＡＢ =α ,∠ＡＢＣ =β ,则有图 1　四边形ｄ2 =ａ2 ｂ2 ｃ2 - 2ａｂｃｏｓα- 2ｂｃｃｏｓβ 2ａｃｃｏｓ(α β) .这就是四边形的余弦定理 .证明很简单 ,把四边形ＡＢＣＤ放入直角坐标系 ,则有Ａ( 0 ,0 ) ,Ｂ(ｂ ,0 ) ,Ｃ (ｂ ｃｃｏｓ(π - β) ,ｃｓｉｎ(π - β) ) ,Ｄ( -ａｃｏｓ(π -α) ,ａｓｉｎ(π -α) ) .由此 ,并利用三角公式 ,容易得到结论 .具体推导见文 [1] .我们利用四边形余弦定理证明 :若平面上六点组成一凸六边形 ,最大边与最小边之…     

一个三角恒等式的发现

前不久 ,遇到了这样一道题目 :例 1　已知Ａ ,Ｂ ,Ｃ为△ＡＢＣ的三个内角 ,ｙ =2 +ｃｏｓＣｃｏｓ(Ａ -Ｂ) -ｃｏｓ2 Ｃ ,问 :随便怎样交换Ａ ,Ｂ ,Ｃ的位置 ,ｙ的值是否变化 ?试证明你的结论 .看到题目中有积的形式 ,我便理所当然地想到了积化和差 .解　ｙ =2 +ｃｏｓＣｃｏｓ(Ａ -Ｂ) -ｃｏｓ2 Ｃ=2 +12 [ｃｏｓ(Ｃ +Ａ -Ｂ) +ｃｏｓ(Ｃ -Ａ +Ｂ) ]-ｃｏｓ2 Ｃ=2 +12 [ｃｏｓ(π - 2Ｂ) +ｃｏｓ(π -2Ａ) ]-ｃｏｓ2 Ｃ=2 +12 (-ｃｏｓ2Ｂ -ｃｏｓ2Ａ) -ｃｏｓ2 Ｃ=2 +12 (- 2 +2ｓｉｎ2 Ｂ +2ｓｉｎ2 Ａ)- 1 +ｓｉｎ2 Ｃ=ｓｉｎ2 Ａ +ｓ…     

高二数学同步思考题

不　等　式收稿日期 :1999- 10 - 2 3作者简介 :安振平 (196 1— ) ,男 ,陕西永寿人 ,陕西咸阳市永寿中学高级教师 ,学士 .　　选择题1　设实数ａ ,ｂ ,ｃ满足　　 ｂ ｃ=3ａ2 - 4ａ 6 ,ｃ -ｂ =ａ2 - 4ａ 4,则ａ ,ｂ ,ｃ之间的大小关系是 (　　 )(Ａ)ｃ≥ｂ >ａ .　　 (Ｂ)ｂ >ｃ >ａ .(Ｃ)ａ≥ｃ>ｂ . (Ｄ)ｃ>ａ >ｂ .2　在△ＡＢＣ中 ,Ａ >Ｂ是ｃｏｓ 2Ａ <ｃｏｓＢ的 (　　 )(Ａ)充分非必要条件 .(Ｂ)必要非充分条件 .(Ｃ)充分且必要条件 .(Ｄ)既非充分又非必要条件 .3　已知ｘ ,ｙ∈Ｒ ,且 (ｌｏｇ2 3) ｘ (ｌｏｇ35) ｙ≥ (ｌｏｇ3…     

数学问题解答

20 0 1年 1月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 2 91　在△ＡＢＣ中 ,ＢＣ=ａ ,顶点Ａ在平行于ＢＣ且与ＢＣ相距为ａ的直线上滑动 .求 ＡＢＡＣ的取值范围 .(江西永修一中　宋庆　 330 30 4 )解　令ＡＣ =ｘ ,ＡＢ=ｋｘ(ｘ>0 ,ｋ >0 ) ,则ａｓｉｎＡ =ｘｓｉｎＢ,且ｓｉｎＢ=ａｋｘ.于是 ,ａ2 =ｋｘ2 ｓｉｎＡ .在△ＡＢＣ中 ,由余弦定理可得ｘ2 ｋ2 ｘ2 -ｋｘ2 ｓｉｎＡ=2ｋｘ2 ｃｏｓＡ ,∴ｋ 1ｋ =ｓｉｎＡ 2ｃｏｓＡ=5ｓｉｎ(Ａ ａｒｃｔｇ2 )≤ 5,∴ｋ 1ｋ ≤ 5,∴ｋ2 - 5ｋ 1 ≤ 0 ,∴ 5- 12 ≤ｋ≤ 5 12 ,∴ 5- 12 ≤ ＡＢＡ…     

椭圆中最值问题错解析因

问题　Ｆ1 、Ｆ2 是椭圆 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1 (ａ >ｂ>0 )的左、右焦点 ,过焦点Ｆ1 作弦ＡＢ与椭圆相交于Ａ、Ｂ两点 ,求△ＡＢＦ2 面积的最大值 .错解　由椭圆的定义知|Ｆ1 Ｂ| + |Ｆ2 Ｂ| =2ａ ,|Ｆ1 Ａ| + |Ｆ2 Ａ| =2ａ ,∴　△ＡＢＦ2 的周长 2 ｐ =4ａ ｐ =2ａ .据海伦———秦九韶公式知Ｓ△ＡＢＦ2 =ｐ·( ｐ -ａ) ( ｐ -ｂ) ( ｐ -ｃ)≤ｐ·( ｐ3 ) 3=3·ｐ29=439ａ2 ,∴　△ＡＢＦ2 的面积的最大值为439ａ2 .剖析　忽视了等号成立的条件 ,ｐ -ａ =ｐ-ｂ =ｐ -ｃ即△ＡＢＦ2 为正三角形时 ,等号取得 .设Ｂ1 是椭圆短轴的一个端点 …     

构造几何模型证明两个三角不等式

题 1　若α、β、γ均为锐角 ,且满足ｃｏｓ2 α+ｃｏｓ2 β +ｃｏｓ2 γ=1.求证 :ｃｔｇ2 α +ｃｔｇ2 β+ｃｔｇ2 γ≥ 32 .证明　如图 1,设以ａ、ｂ、ｃ为三度的长方体ＡＢＣＤ Ａ1 Ｂ1 Ｃ1 Ｄ1 的对角线ＡＣ1 与三条棱ＡＤ、ＡＢ、ＡＡ1 所成角分别为α、β、γ ,则　　ｃｔｇα=ＡＤＤＣ1=ａｂ2 +ｃ2 ,ｃｔｇβ=ＡＢＢＣ1 =ｂａ2 +ｃ2 ,　　ｃｔｇγ=ＡＡ1 Ａ1 Ｃ1=ｃａ2 +ｂ2 ,∴　ｃｔｇ2 α +ｃｔｇ2 β+ｃｔｇ2 γ　 =ａ2ｂ2 +ｃ2 +ｂ2ａ2 +ｃ2 +ｃ2ａ2 +ｂ2　 =ａ2 +ｂ2 +ｃ2ｂ2 +ｃ2 +ａ2 +ｂ2 +ｃ2ａ2 +ｃ2 +ａ2 +ｂ2 +ｃ2ａ2 +ｂ2 -3　 =(ａ2 +ｂ2 +ｃ2 ) ( 1ｂ2 +ｃ2 +1ａ2 +ｃ2 +1ａ2 +ｂ2 ) -3　 =12 [(ｂ2 +ｃ2 ) +(ａ2 +ｃ2 ) +(ａ2 +ｂ2 ) ]&;#183;( 1ｂ2 +ｃ2 +1ａ2 +ｃ2 +1ａ2 +ｂ2 ) -3　≥ 12 [(ｂ2 +ｃ2 )&;#183; 1ｂ2 +ｃ2 +(ａ2 +ｃ2 )&;#183; 1ａ2 +ｃ2 +(ａ2 +ｂ2 )&;#183; 1ａ...