巧算“百分比”

下班了,工会的老张在厂门口遇到了修机工小王.老张知道小王聪明好学,爱动脑筋,想考考他.就叫住了小王. “小王,一块儿走.” “噢!张师傅,有事吗?”小王推着自行车凑过来. “最近,咱厂做了一下调查,”老张说,“近几年买了洗衣机、电冰箱、彩电的职工可真不少!” “可不是吗!我们家早买了洗衣机,现在想买彩电,就是搞不到票”. “我让小赵统计了一下,”老张接着说,“这‘三大件’都没有的家庭只占职工总数的百分之二,有彩电的家庭占百分之三十四,有冰箱的家庭占百分之三十八,有洗衣机的更多,占百分之五十六.” “有的人家‘三大件’都齐了”.小…     

也谈巧算“百分比”──“百分比”问题的另一解法

《数理统计与管理》1988年第6期发表了勤学同志的文章《巧算“百分比”》,文中采用从”中心”向外推算的办法计算出“三大件”齐备的家庭所占的百分比。如果利用概率的一般加法公式计算将更简便。 设A=｛有彩电｝,B=｛有冰箱｝,C=｛有洗衣机｝,已知P(A)=0.34, P(B)=0.38,P(C)=0.56,P(A∩B)=0.09,P(B ∩ C)=0.11,P(A∩C)=0.13,P(A∩B∩C)= 0.02.注意到 A ∩ B ∩ C= A∪B∪C,可知 P(A ∪ B ∪ C)= 0. 98,将上述结果代入一般加法公式P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(B∩C)-P(A∩C)+P(A∩B∩C)立得 P(A∩B∩C)=0.…     

2003年全国各地高考数学模拟试题分析——平面向量

从 2 0 0 0年至 2 0 0 3年新课程高考数学试题中可以看出 ,在新增内容中 ,平面向量与空间向量是每年高考必考内容 .其中立体几何试题 ,从 2 0 0 0年至 2 0 0 2年 ,每年都是用 (甲 )、(乙 )两种形式给出的 ,甲是用空间向量求解的 ,乙是用传统方法求解的 ,都是 1 2分 ,考生可以选择 .而 2 0 0 3年新课程高考试题中 ,立体几何只出了一道解答题 ,此题既可以用空间向量求解 ,也可以用传统方法求解 ,达到一举两得的效果 .从整个试卷来看 ,这些新增内容所占分数比例略高于该内容所占课时比例 .本文紧扣新修订后的高考考试大纲的说明 ,并根据 2 0 0 …     

考查素质教育的好指挥棒：2001年理（20）题试卷评析

20 0 1年理 (2 0 )题是一道考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力的证明题 .由于近十几年来关于排列、组合和二项式定理内容仅限于考选择题和填空题 ,从未出现过证明题 .因此中学教师未对学生进行类似题目的演练 ,甚至教师有些话误导了学生或限制了学生的思维 .面对新型试题 ,学生感到措手不及而无从下手 .尽管今年高考数学成绩比往年略有提高 ,但此题得分率仅为 2 7% ,得 0分者达 40 % ,得 2分者占 3 0 % ,而得 1 0分以上者不足 1 % ,得满分 (1 2分 )者不足 0 1 % .其实这并不是一道难题 ,如果考生具备基本的排列…     

2004年高考数学浙江省试卷分析

20 0 4年高考数学浙江省卷共 2 2题 ,其中选择题 1 2题 (共 60分 ,占 40 % )、填空题 4题 (共 1 6分 ,占 1 0 % )、解答题 6题 (74分 ,占 50 % ) ,严格保持了全国卷的结构、题型与分值配置 ,较好地体现了全国卷与浙江省卷平稳过渡的原则。试卷考查范围为教育部考试大纲规定的全国新教材高中数学内容 ,突出了对数学基础知识、基本思想方法的考查 ,不同程度地体现了对数学三大能力、数学知识的综合应用、数学思维品质的重视。试卷主要特点为 :(1 )试卷体现了知识与能力并重的设计原则 ,重视数学基础知识与基本能力的考查 ;重视数学知识的综合…     

揭开“免费抽奖”的面纱

目前 ,社会上流行一些“有奖筹宾”、“有奖销售”活动 ,从市场营销的角度看它们是商家营销策略的一种手段 ,但其中却包含着有趣的概率问题。笔者遇见这样一家公司 ,它推出的促销项目极具吸引力 ,名曰 :“免费抽奖 ,有奖筹宾”。怎么回事呢 ?请看该公司发给行人的传单 :免费抽奖　有奖筹宾中奖方式 :袋中 2 0个球 ,1 0个 1 0分 ,十个 5分。从袋中摸出 1 0个球 ,分数加即为中奖分数。中奖分数如下 :一等奖到九等奖白白赠送。一等奖 :1 0 0分彩电一台价值 2 80 0元 ;二等奖 :50分洗衣机一台价值 80 0元 ;三等奖 :95分洗发精华素 8瓶 ;四等奖 :…     

“统计初步”创新题解析

两年前国家领导指出 :“创新是一个民族的灵魂” .随之 ,初中数学教学增加了“逐步形成数学创新意识”这一教学目的 ,并逐步实施了应试教育向素质教育的转轨 .与实际生活联系较紧密的统计知识在中考中发挥了作用 ,创新题不断出现 ,成为各地命题的热点 .据笔者手中资料统计 ,统计初步在中考中的创新题覆盖率约占80 % .为帮助同学们的学习 ,现就 2 0 0 2年各省市有关统计初步的创新题归类解析如下 .一阅读理解填空型例 1　(黄冈市 )在对某班的一次数学测验成绩进行统计分析中 ,各分数段的人数如图 1所示 ,(分数取正整数 ,满分10 0分 ) .请观察…     

试题研讨(3)

题 1　 (湖北襄樊市 2 0 0 2年 5月高三质量检测题 )已知二次函数 f ( x) =ax2 ( 2 a -1 ) x 1在区间 [- 32 ,2 ]上的最大值为 3,求参数 a的值 .命题溯源　此题与 2 0 0 1年湖北荆州市高中毕业班质量检查题第 1 9题、2 0 0 1年湖北黄冈市高三第二次模拟考试第 2 1题类似 .二次函数在某区间上的最值问题是高考命题中经久不衰的“热点”,是考查学生能力和数学素养的一个好素材 .原解思路　 ( 1 )当 a >0时 ,由于二次函数图像开口向上 ,则最大值只能在 [- 32 ,2 ]的端点处取得 .1若 f( - 32 ) =3,则得 a =- 23,与 a >0矛盾 ,舍去 .2若 f( 2…     

例习题教学的"新三讲"

从近几年高考试题来看 ,其特点之一是许多试题源于课本 ,高考命题要考查的数学思想、解题方法都分布在课本中 ,这意味着我们要重视例习题的教学 .过去我们对例习题的教学 ,往往采用一讲“一题多解”,二讲“一题多变”,三讲“一题多用”这三讲 ,用这三讲来体现数学思想、数学方法和数学能力 .现在 ,笔者在总结原“三讲”的基础上 ,根据自己的教学体会 ,结合《解析几何》课本中 P1 0 2的复习题 ,谈谈例习题教学的新“三讲”.题　 (解析几何 P1 0 2 )过抛物线焦点的一条直线与它交于两点 P、Q,通过点 P和抛物线顶点的直线交准线 l于点 M,求…     

求一类曲线弦的中点轨迹的简便方法

先看下面例子: 引例已知曲线方程Ax~2+By~2+Dx+Ey+F=0(A、B不同时为零),求此曲线中斜率为k的弦的中点的轨迹。此题可用多种方法求解,一般人会利用“韦达定理”消去参数以求解,但这样做计算量大,容易出错。虽然有些题可利用参数方程解,但并不都很简便。如果我们利用“两方程相减”后就会发现有关弦的中点轨迹竹求法。现据此法,解答上题如下: 解设动弦两端点坐标为p_1(x_1,y_1)、     

04年高考上海数学卷的亮点、不足与改进

04年数学试题感觉比 0 3年容易 ,但市平均分略低于 0 3年 .试卷有许多亮点 ,对教学的指导意义十分明显 ,但得分不高的原因在哪儿 ?以下是笔者研习 0 4年试卷的一些体会 ,与同行和专家交流 .1.试卷四大亮点一是开放题比例增加力度加大 ,有 1 1、第 2 1(3)和 2 2 (3) ,共计 1 4分 ,占总分值的 9.33% ,是多年来开放题分值最高的年份 ,且题号后移 .第 1 1题 :“教材中‘坐标平面上的直线’与‘圆锥曲线’两章内容体现出解析几何的本质是 .”考生可以根据数形结合或曲线与方程的理解去回答 .第 2 1 (3)问新颖别致 ,因构造性问题多年不见 ,故能较…     

由课本问题到欧拉常数的推广

1　引子高中《代数》下册复习题六第33题是:“用数学归纳法证明:1+ 12+ 13+…+1n>n (n>1,n∈N)”.此题很容易用数学归纳法证明,证明后我们自然会反思:此题是如何发现的?如何用推导的方法证明.使用放缩思想可得方法一:1+ 12+ 13+…+ 1n>1n+ 1n+…+ 1n=n·1n=n .由裂项求和的思想可想到方法二:n =(n - n- 1) + (n- 1-n- 2 ) + (n- 2 - n- 3) +…+ (2 - 1) +(1- 0 ) =1n + n- 1+ 1n- 1+ n- 2+…+12 + 1+ 11+ 0 .而n - n- 1=1n + n- 1,所以欲证原不等式,只需证1n>1n + n- 1(n>1) ,(当n=1时,取等号) .此不等式显然成立,所以原不等式得证.2　探索…     

分析转化出新知

文 [1 ]中提出了一个有趣的几何问题 :如图 1 ,Rt△ ABC中 ,∠ C =90°,CD⊥AB,O1、O2 分别是△ ACD和△ BCD的内心 ,O1O2 交 CD于 K,证明1AC 1BC=1CK ( 1 )本题的条件和结论相距较远 ,初看起来 ,是一个几何“险题”.所以 ,文 [1 ]用的是解析方法证明的 ;文 [2 ]用的是几何与三角综合证法 .文 [3]虽然说是用“纯几何方法”,但是它用了文 [2 ]的中间结果 ,所以并不能说是“纯几何”的 .图 1　　　　　　　　　图 2有没有更简洁、更漂亮的“纯几何”证明呢 ?我们来作如下分析 ,将它不断转化 ,以求用纯几何的方法证明 .1 .将 ( 1 …     

图形信息的处理

[复习说明 ]通过对图形的观察和分析 ,进而对所获取信息进行有效的加工和处理 ,是信息时代处理问题的实际需要 .高考紧扣时代脉搏 ,自1 998年全国高考出现“水瓶形状”图形信息题仅隔两年之后 ,2 0 0 1年高考又推出两道图形信息题 ,即第 ( 1 1 )题“屋顶面积”问题和第( 1 2 )题“网络传递”问题 .这些图形信息问题的背景新颖、构思巧妙 ,突破了常见题型的呈现形式 ,能有效地甄别考生的思维品质与学习潜力 .本专题复习的重点是掌握从图形中提取、加工和处理信息的常用方法 ,难点是对图形的位置特征 ,数值特征和结构特征的认知和转换 .[内容…     

抽象函数的求解

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式 ,只给出一些特殊条件 (如函数的定义域、经过的特殊点、递推式、部分图象特征等 )的函数 .它是高中数学函数部分的难点 ,也是高中与大学函数部分的一个衔接点 .热点分析以往抽象函数作为选择题或填空题偶尔出现在高考试题中 ,但从 2 0 0 1年起 ,解答题中也出现了抽象函数题 .如 :2 0 0 1年全国卷的 (10 ) ,(2 2 )题 ,2 0 0 2年北京卷文·理 (11) ,(12 ) ,(2 2 )题 ,2 0 0 3年上海卷的 (2 2 )题都是抽象函数 ;分值都在 2 0分左右 ,约占总分的 13% .这类试题主要涉及函数的概念、性质 (单调性、周期性、…     

最大值到底是几?

题　函数 f( x) =sin x sin 2 x sin 3x的 (　　 ) .( A)最大值是 3( B)最大值不小于 3 32( C)最大值是 3　　 ( D)最小值是 1这是汪江松先生主编的《新编高中数学重难点手册》(供高一年级用 ) ( 2 0 0 0年 1月第9次印刷 ) P1 1 5的第 1 ( 8)题 ,汪先生提供的解答是 :f ( π4 ) =sin π4 sin π2 sin3π4　 =1 2 >3 32 ,从而应选择 ( B) .学生和教师在做此题时 ,都不满足仅得出正确的选择答案 ,而是异口同声地问 :此题的最大值到底是几 ?面对此题 ,大家都束手无策 .经探讨发现 ,此问题已超出高中数学知识范围 .汪先生将此题编…     

一个例题的注记

《中学生数学》2 0 0 2年 9月上期 13页例5 :“在等差数列 {an}中 ,已知a1 =2 5 ,S9=S1 7.求S2 6 的值 .”分析与解　根据等差数列前n项和的函数图像 ,确定S2 6 的大小 .因 {an}是等差数列 ,所以可设Sn=An2 +Bn .二次函数的图像过原点如图 .因S9=S1 7,由图可知S2 6 =0 .”这个方法被称为“借助图像减元” ,把很复杂的问题简化了 .除简化计算方法以外 ,上述解法或许还会启发我们问 :原题“已知a1 =2 5”是否是多给条件 ?(以上解法中没有用到这个条件 )今试用他法解之 :因S9=S1 7,　∴　a1 0 +a1 1 +… +a1 7=0也即 8a1 + 10 0d =0 .将a1…     

对2023年高考数学天津卷第15题的解法探究与背景思考

<正>2023年高考数学天津卷的第15题被誉为“最难小题”和“最美小题”,说其“难”主要是指此题如果用分类讨论的方法,则解题难度较大;说其“美”是因为其设计精巧,去绝对值时无论正负函数式都可以因式分解,非常具有美感．以下是对这道题的解法探究与命题背景思考,让我们一起来看．1原题呈现若函数f(x)=ax²-2x-|x²-ax+1|有且仅有两个不同的零点,则实数a的取值范围是________．     

雾里看花是错觉

读了 2 0 0 2年 9月上期《中学生数学》中 ,余炯沛老师的《这些解答对吗 ?》一文 ,让我颇受启发 ,于是我也搜集一些题 .请看 :例 1　x2 =2 x,有几个实数根 ?图 1错解　设 y1 =x2 ,y2 =2 x,并将这两条曲线画在同一个坐标系里 .据图 1可知x2 =2 x 只有两个实根 .正解　对于这种题采用数形结合便于求解 ,且这种题只问存在几个根 ,这已经提醒你用“数形结合” .此题的两个根 2 ,4是容易得出的 ,再加上图 1中x1 ,肯定存在 ,所以x2 =2 x 有 3个实根 .例 2　如果直线ax +by =4与圆x2 +y2=4有两个不同的交点 ,试判断点P(a ,b)与圆的位置关系 .错解…     

还有更好的方法吗?一道习题解法的探究教学片段及思考

近日,我校高三一次练习试卷上有这样一道题:“已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c满足(a-c)·(b-c)=0,则｜c ｜的最大值是____在上讲评课时,笔者就让一个此题做错的学生A(之前已让学生自己先订正)讲解题方法.生A解(这里作为解法1):可设a,b为直角坐标系中x,y轴正方向上的单位向量,即a＝(1,0),b=(0,1),设c=(x,y),则a-c=(1-x,-y),b-c=(-x,1-y)∵(a-c)·(b-c)=0,∴(1 -x)(-x)+(-y)(1-y)=0,即x2+y2=x+y.∵x2+y2≥(x+y)2/2(此处用了基本不等式的推广)∴(x+y)2/2≤x+y,.∴0≤x+y≤2∴｜c｜=√(x2+y2)=√x+y≤√2,即｜c｜的最大值是√2.学生A的解法让笔者惊喜,说实在的由于批改后,发现此题的正确率很高,也没有多加研究.笔者本来是准备用后面的解法3解决的,学生A的解法着实让笔者眼前一亮.于是问:“解得很好!你能回答怎么想到的呢?”