关于分段函数的几个问题

分段函数在教材中是以例题的形式出现的 ,并未作深入说明 ,许多同学对此认识往往比较肤浅 .本文就分段函数的有关问题整理、归纳如下 :1.分段函数的含义所谓“分段函数” ,习惯上指在定义域的不同部分 ,有不同的对应法则的函数 ,对它应有以下两点基本认识 :(1)分段函数是一个函数 ,不要把它误认为是几个函数 ;(2 )分段函数的定义域是各段定义域的并集 ,值域是各段值域的并集 .2 .求分段函数的函数值例 1已知函数 ｆ(ｘ) =2 ｘ3ｌｏｇ13ｘ(ｘ <0 ) ,(0≤ｘ≤ 1) ,(ｘ >1) ,求ｆ(ｆ(ｆ(ａ) ) ) ,(ａ <0 ) .分析　求分段函数的函数值时 ,首先应…     

求函数值域时的常见错误分析

函数值域是函数的三大要素之一 (另两个为定义域和对应法则 ) ,求值域的问题 ,能综合地体现出学生运用函数性质、运用不等式等数学知识的能力 ,同时更能促进学生对函数概念的理解 ,所以它成为练习和考试的热点之一 .在求值域时 ,最容易出现下列的错误 .1　草率代入例 1　求函数 ｆ(ｘ) =ｘ2 - 2ｘ + 2 ,ｘ∈ [0 ,3]的值域 .错解 :代入得 ｆ(0 ) =2 ,ｆ(3) =5 ,故值域为 [2 ,5 ].分析 :没有考虑在所给区间 [0 ,3]上函数是否单调 .事实上只有当ｆ(ｘ)在定义域 [α ,β]上单调递增时 ,才可以说值域是 [ｆ(α) ,ｆ(β) ],递减时值域为[ｆ(β) ,…     

一类不宜提倡的问题

参考资料上常见如下类型的题目 :“若函数 ｙ =ｆ(ｘ 1)的定义域是 [- 2 ,3],则 ｙ=ｆ( 2ｘ - 1)的定义域是 .”本题目的实质是“已知ｆ[ｇ(ｘ) ]的定义域求ｆ(ｘ)的定义域 ,再求ｆ[(ｘ) ]的定义域”的问题 .其解法是∵ｆ(ｘ 1)的定义域是 [- 2 ,3],∴ - 2≤ｘ≤ 3.∴ｘ 1∈ [- 1,4 ].又由 - 1≤ 2ｘ - 1≤ 4　得 0≤ｘ≤ 52 .∴ｙ =ｆ( 2ｘ - 1)的定义域是 [0 ,52 ].上述解答中 ,由ｆ[ｇ(ｘ) ]定义域求ｆ(ｘ)定义域的过程中 ,用到了如下假设 :即内函数 ｇ(ｘ)的值域与外函数ｆ(ｘ)的定义域相等 .而此假设在复合函数中是不恒成立的 .众…     

分段函数问题综述

所谓分段函数 ,现行高一数学教材是这样描述的 :有些函数在它的定义域中 ,对于自变量x的不同取值范围 ,对应法则不同 ,这样的函数通常称为分段函数 .对于分段函数 ,不论它分多少段 ,它总是一个函数 ,而不是几个函数 .分段函数的定义域是各段解析式中自变量取值集合的并集 ,值域是各段解析式函数值集合的并集 .本文结合实例对分段函数的常见问题及解法作一归纳 .1　求分段函数解析式例 1　已知偶函数 y =f(x) ,当x≥ 0时 f(x) =-x2 +2x ,求R上 f(x)的解析式 .解　设x <0 ,则 -x >0 .因为当x≥ 0时 ,f(x) =-x2 +2x ,所以 f(-x) =-x2- 2x .又…     

“由反函数的定义域求给定函数的值域法”是错误的

若已知函数ｙ =ｆ- 1 (ｘ)是函数ｙ =ｆ(ｘ)的反函数 ,那么 ,由函数ｙ =ｆ- 1 (ｘ)的定义域求得函数ｙ=ｆ(ｘ)的值域是无可非议的 .但是现在许多高中数学课外读物 (甚至教材[1 ] 上所介绍的“由反函数的定义域求给定函数的值域”法却值得商榷 .1　“由反函数的定义域求给定函数的值域法”在理论和实践上的失误以下两例 (或类似的例题 )常常被引为“由反函数的定义域求给定函数的值域法”的典型例题 :例 1　求函数ｙ =2ｘｘ 2 (ｘ≠- 2 )①的值域 .解　因为函数①的反函数是ｙ=2ｘ2 -ｘ它的定义域是 :(-∞ ,2 )∪ (2 , ∞ ) .所以函数①的值…     

解题中的定义域意识

定义域、对应法则和值域是构成函数的三个基本要素 .其中定义域是首要“构件” ,是处理函数问题的前提条件 .因此 ,在解有关函数问题时 ,要优先考虑定义域 ,并注意发挥定义域在解题中的简化与监控作用 .1 .定义域优先意识考虑函数问题 ,往往需要分析多方面的情况 ,但首先考虑定义域则是最基本的一点 .例 1　判断下列函数的奇偶性 :( 1 )ｆ(ｘ) =ｘ2 - 1 + 1 -ｘ2 ;( 2 )ｆ(ｘ) =1 +ｓｉｎｘ -ｃｏｓｘ1 +ｓｉｎｘ +ｃｏｓｘ.解　 ( 1 )由 ｘ2 - 1≥ 01 -ｘ2 ≥ 0 　得　ｘ =± 1 ,即函数定义域为 { 1 ,- 1 },∴　ｆ(ｘ) =0 ,即原函数既是奇…     

y的范围就是函数的值域吗?

在解有关函数值域问题时 ,不少同学误将函数 ｙ所应满足的一个不等式的取值范围当作函数的值域 .下面举例予以剖析 .例 1　已知函数 ｆ(ｘ)的值域为 [- 1 ,2 ],求函数 ｇ(ｘ) =ｆ(ｘ) + 2 - ｆ(ｘ)的值域 .错解 :∵ - 1≤ｆ(ｘ)≤ 2 ,　　　 1≤ ｆ(ｘ) + 2 ≤ 2 ( 1 )　　　 - 2≤ - ｆ(ｘ)≤ 1 ( 2 )∴ - 1≤ ｆ(ｘ) + 2 - ｆ(ｘ)≤ 3,即函数 ｇ(ｘ)的值域是 [- 1 ,3].剖析　这里利用不等式的性质推导得ｇ(ｘ) 的取值范围 .但是 ,( 1 )式在 ｆ(ｘ) =2时取最大值 2 ,而 ( 2 )式当 ｆ(ｘ) =- 1时取最大值 .所以 ,( 1 ) ,( 2 )式同时取最大值…     

分段函数——高考数学新视点

分段函数问题近年在高考试题中频繁出现 ,业已成为高考数学的一个热点 .但现行教材与复习资料对这类问题尚无系统介绍 ,现对其做一归纳整理 ,供同学们复习时参考 .1　分段函数的概念定义　一个函数在它的定义域中 ,对于自变量x的不同取值范围 ,对应法则不同 ,这样的函数叫做分段函数 .由定义可知 ,分段函数是“一个”函数 ,而不是几个函数 ,它是由各段上的解析式 (对应法则 )用符号“{”合并而成的一个整体 ,其定义域是各段自变量集合的并集 ,值域是各段函数值集合的并集 .2　分段函数考题的类型2 .1　分段函数的解析式 .例 1　 (2 0 0 0年…     

理解分段函数含义 领悟其研究方法

<正>分段函数在教材中是以例题的形式出现的,并未作深入说明.所谓"分段函数",习惯上指在定义域的不同部分,有不同的对应法则的函数.对它应有以下两点基本认识:(1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.下文谈谈领悟研究分段函数的方法.1.求分段函数的函数值求分段函数的函数值时,首先应确定自变     

貌似神异题目的并组辨析

数学中有很多题目 ,表面相似 ,实质存在着差异 ,学生们常分辨不清 .通过并成题组 ,进行类比辨析 ,在比较之中加深理解 ,才能明确似在那里 ,异在何处 .例 1　 1)已知函数ｆ(ｘ) 的定义域为 [- 1,1],求函数 ｆ[ｌｏｇ 12 ( 3-ｘ) ]的定义域 .2 )已知函数 ｆ[ｌｏｇ12 ( 3-ｘ) ]的定义域为 [1,52 ],求函数ｆ(ｘ) 的定义域 .3)已知函数 ｙ =ｆ(ｌｏｇ2 ｘ)的定义域为 [12 ,2 ],求函数 ｆ[( 12 ) ｘ- 2 ]的定义域 .解　 1)求 ｆ[ｌｏｇ 12 ( 3-ｘ) ]的定义域是求其中ｘ的取值范围 ,而ｌｏｇ12 ( 3-ｘ)∈ [- 1,1],由 - 1≤ｌｏｇ 12 ( 3-ｘ)≤ 1,…     

分段函数常见错误辨析

<正>分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内,有不同的对应法则的函数,它是一个函数,却又常常被误认为是几个函数;它的定义域是各段函数定义域的并集,其值域也是各段函数值域的并集.关于分段函数的定义域、值域(最值)、函数的性质,以及与分段函数相关的不等式、方程、零点、解析式、应用题等,是高考考查的重点和热点.这类问题尽管难     

由f[g(x)]求f(x)的思考

在中学数学中复合函数是一种很常见的函数 .各种资料、杂志上对它的研究很多 ,但其中由ｆ[ｇ(ｘ) ]求ｆ(ｘ)的定义域和求ｆ(ｘ)的问题在各种资料中常常写法不一 ,存在着疑问 ,给教学带来了困惑 ,值得商榷 .第一个问题 :由ｆ[ｇ(ｘ) ]求ｆ(ｘ)的定义域 .问题 1　已知ｆ(1 -ｓｉｎｘ) =ｃｏｓ2 ｘ,求ｆ(ｘ)的定义域 .对这类问题各种教学参考书的处理一般都是 :令 1 -ｓｉｎｘ =ｔ得ｓｉｎｘ=1 -ｔ,ｓｉｎ2 ｘ=(1 -ｔ) 2 =1 -ｃｏｓ2 ｘ即ｃｏｓ2 ｘ =2ｔ-ｔ2 ,所以ｆ(ｔ) =2ｔ-ｔ2 ,又因为 -1 ≤ｓｉｎｘ=1 -ｔ≤ 1所以 0≤ｔ≤ 2 ,所以ｆ(ｘ)…     

解函数概念题容易出错的地方

函数是高中数学最重要的概念之一 ,函数知识是贯穿在中学数学中的一条主线 ,因而对函数的理解应高度重视 ;函数是其定义域到值域的一种映射 ,是一种特殊的对应关系 ,但由于其抽象性 ,许多同学常会因理解上的不足 ,解题时出现这样或那样的错误 .下面笔者试图用几个简单的事例 ,就同学们在学习函数一章时经常出现的几个问题 (常见错误、常见解法 )作一些分析 ,以引起同学们的注意 .一对函数定义域的理解例 1　函数ｆ( 2ｘ -1 )的定义域是 [0 ,1 ] ,求 ｆ( 1 -3ｘ)的定义域 .错解　∵　函数ｆ( 2ｘ -1 )的定义域是[0 ,1 ] ,∴　 0≤ 2ｘ -1≤ 1…     

高考分段层出不穷

所谓分段函数即对于自变量x的不同取值范围时,有着不同的对应法则.它是一个函数,而不是多个函数.分段函数的定义域是各段自变量x的并集,值域是各段函数值对应的并集.由于部分学生对分段函数的认识既肤浅又模糊,以致于解题时常常出错或束手无策.     

高考分段层出不穷

所谓分段函数即对于自变量x的不同取值范围时，有着不同的对应法则．它是一个函数，而不是多个函数．分段函数的定义域是各段自变量x的并集，值域是各段函数值对应的并集．由于部分学生对分段函数的认识既肤浅又模糊，以致于解题时常常出错或束手无策．     

反函数学习问答

反函数是中学数学中的一个重要内容 ,学习反函数时 ,如果对概念与定义内涵、性质的理解不深刻或有偏差 ,就会造成是非不清、知识错位 .下面以问答形式进行剖析 .1　函数ｘ =ｆ- 1( ｙ)和函数 ｙ =ｆ- 1(ｘ)是同一个函数 ,还是两个不同的函数 ?答 :是同一个函数 .因为函数定义域、值域及定义域到值域上的映射是函数三要素 .而对使用什么字母作自变量 ,什么字母表示函数并没有限制 .当没有指明函数的定义域时 ,一般是指使表达式有意义的自变量构成的集合 .但是 ,如果将ｘ =ｆ- 1( ｙ)和 ｙ =ｆ- 1(ｘ)作为方程看 ,这两者一般就不是同一个方程…     

从两道试题谈条件功能的挖掘

问题 1　已知函数ｆ(ｘ) =ｌｏｇａｘ -2ｘ 2 (ａ >0 ,ａ≠ 1) .1)求 ｆ(ｘ) 的定义域 ,并判定ｆ(ｘ) 在定义域内的单调性 ;2 )若ｘ∈ [ｍ ,ｎ] (ｎ >ｍ )时 ,ｆ(ｘ) 的值域为 [1 ｌｏｇａ(ｎ -1) ,1 ｌｏｇａ(ｍ -1) ] ,求ｍ和ａ的取值范围 .分析 :1)定义域为 (-∞ ,-2 )∪ (2 , ∞ ) ;当ａ∈ (0 ,1)时 ,ｆ(ｘ)分别在 (-∞ ,-2 )和 (2 , ∞ )上单调递减 ;当ａ∈ (1, ∞ )时 ,ｆ(ｘ)分别在 (-∞ ,-2 )和 (2 , ∞ )上单调递增 .2 )先由条件中的对数表达式ｌｏｇａ(ｍ -1)和ｌｏｇａ(ｎ -1)有意义知ｍ >1,ｎ >1,又由[ｍ ,ｎ] (-∞ ,-2 )∪…     

利用分段函数解数学应用题

在高中教材中 ,有分段函数定义 :“有些函数在它的定义域中 ,对于自变量ｘ的不同取值范围 ,对应法则不同 ,这样的函数通常称为分段函数” .分段函数在现实的市场经济中有着广泛的应用 .就在近年来的高考试题中也常出现 .现举例如下 ,供学习参考 .1　“工业生产”问题例 1　某车间生产某种产品 ,固定成本 2万元 ,每生产一件产品成本增加 1 0 0元 ,已知总收益Ｒ(总收益指工厂产品的全部收入 ,它是成本与总利润的和 ,单位 :元 )是年产量Ｑ(单位 :件 )的函数 ,满足关系式Ｒ =ｆ(Ｑ)=40 0Ｑ-12 Ｑ280 0 0 0　(0 ≤Ｑ ≤ 40 0 ) ,(Ｑ >40 0 ) .求…     

函数对应法则应用小议

函数有三要素:(1)定义域,(2)值域,(3)自变量与因变量之间的对应规律(以下简称函数的对应法则,即自变量按一定的计算程序与因变量对应,则这个计算程序叫函数的对应法则)。高中统编教材无论是甲种本或乙种本,对函数对应法则的地位和作用都强调得不够;尤其是对应法则的应用,教材举例也不多,致使学     

一道题的错解分析与一类题的解法规律

最近在一本中学数学杂志上见到这样一道题目 :已知函数ｆ(ｘ) =ｘ2 - 2ｘ- 4的定义域与值域都是Ｍ ,求Ｍ .原解　令ｘ2 - 2ｘ- 4=ｘ,解之得ｘ1 =- 1 ,ｘ2 =4.因为ａ>0 ,- ｂ2ａ =- - 22× 1 =1∈ ( - 1 ,4)= (ｘ1 ,ｘ2 ) .图 1由图 1可知 ,所求的Ｍ= [4,+∞ ) .1　解法分析上述解法是否正确呢 ?在回答这个问题之前 ,我们先来看解这道题的一个通法 .通解　先求满足条件的闭区间Ｍ .令Ｍ =[ｍ ,ｎ],分情况讨论如下 :( 1 )ｍ <ｎ≤ 1ｆ(ｘ)在 [ｍ ,ｎ]上单调递减 ,令 ｆ(ｍ) =ｎｆ(ｎ) =ｍ,即 ｍ2 - 2ｍ- 4=ｎｎ2 - 2ｎ- 4=ｍ,解得ｍ =1 - 2 12…