2002加拿大数学奥林匹克

有关本栏的稿件 ,请直接寄给熊斌 (2 0 0 0 6 2 ,华东师范大学数学系 .E -mail:xiongbin @publicl.sta.net.cn) ,或冯志刚 (2 0 0 0 2 31,上海市上海中学E -mail:zhgfeng @online .sh .cn) .提供试题及解答请尽量注明出处     

一道德国数学奥林匹克试题的解答

2008年德国数学奥林匹克有一题如下： 题目求最小的常数c,使得对所有的实数x、y,有1＋（x＋y）^2≤c（1＋x^2）（1＋y^2）．     

31届西班牙数学奥林匹克竞赛试题及解答

1 设a,b,c为互异的实数,P(x)为实系数多项式.如果 P(x)除以x-a余式为a,P(x)除以x-b余式为b,P(x)除以x-c余式为c.求P(x)除以(x-a)(x-b)(x-c)的余式.解 众所周知,P(x)除以x-a余式为P(a),依题意有P(a)=a,P(b)=b及P(c)=c.R(x)为P(x)除以(x-a)(x-b)(x-c)的余式,则R(x)的次数≤2且P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)Q(x) R(x),这里Q(x)为多项式.我们注意到R(a)=P(a)=a,类似地有R(b)=b和R(c)=c. 这样多项式R(x)-x的次数≤2且有三个互不相同的零点a,b,c.因此R(x)-x是一个零多项式,所以R(x)=x.注 此题也可用待定系数法或用拉格朗日插值公式求R(x)…     

一道数学奥林匹克试题的推广

文[1]介绍了美国第33届数学奥林匹克试题及解答。本文将第二天其中的第5题给出推广。     

2002年《通讯杯》高中数学综合应用能力竞赛试题及解答

(2 0 0 2年 5月 1 2日上午 8:30— 1 1 :0 0 )选择题 :本大题共 6小题 ,每小题 5分 ,共 30分 .在每小题给出的四个选项中 ,有且仅有一个符合题目要求 .把你认为符合题目要求的选项的代表字母填在黑方括号内 .填错、不填或填的代表字母超过一个 (不论是否写在黑方括号内 )均记 0分 .　　 1 .设集合Ａ ={ｘ|ｘ∈Ｒ且ｘ2 - 3ｘ + 2=0 },Ｂ =ｘ|ｃｏｓπ2 ｘ =0 ,ｘ∈Ｒ ,全集Ｉ ={- 3,- 2 ,- 1 ,0 ,1 ,2 ,3},则Ａ∩Ｂ =【　　】(Ａ) {- 3,- 1 ,0 ,3}.(Ｂ) {- 3,- 1 ,1 ,3}.(Ｃ) {- 3,- 1 ,3}.　 (Ｄ) {- 3,3}.2 .直线ａ在平面α内 ,直线ｂ在平…     

数学竞赛之窗——2004西部数学奥林匹克试题与解答（第1天）

本期给出2004西部数学奥林匹克试题与解答，由命题组提供。     

湖南省2002年高中数学竞赛试题及解答

一、选择题 (本大题共 6个小题 ,每小题 6分 ,满分 36分 )1.定义在实数集Ｒ上的函数 ｙ =ｆ(-ｘ)的反函数是 ｙ =ｆ- 1(-ｘ) ,则 (　　 )(Ａ) ｙ =ｆ(ｘ)是奇函数(Ｂ) ｙ =ｆ(ｘ)是偶函数 .(Ｃ) ｙ =ｆ(ｘ)既是奇函数 ,也是偶函数 .(Ｄ)ｙ =ｆ(ｘ)既不是奇函数 ,也不是偶函数 .解　由 ｙ =ｆ- 1(-ｘ)得 ｆ(ｙ) =-ｘ ,故 ｙ =- ｆ(ｘ) 是 ｙ =ｆ- 1(-ｘ)的反函数 ,即 - ｆ(ｘ) =ｆ(-ｘ) ,ｙ =ｆ(ｘ)是奇函数 ,选 (Ａ) .注　也可以先求得 ｙ =ｆ(-ｘ) 的反函数为 ｙ =-ｆ- 1(ｘ) .进而知ｙ =ｆ- 1(ｘ)是奇函数 ,故ｙ =ｆ(ｘ) 是奇函数 .图 1　…     

2007年第6届女子数学奥林匹克概况、试题和解

作为一名高中生，通过数学竞赛，我把数学作为一项运动来享受，通过解答巧妙设计的数学趣味题和寻找好的“窍门”来开启其中的奥秘。     

世界各地数学奥林匹克试题选登

1 找到所有映射f：R→R，满足，f（f（x）＋y）=f（x^2-y）＋4f（x）y。     

莫斯科大学“攀登高峰——2010”数学奥林匹克试题及解答

第1卷1.（3分）彼加有2个不同的圆柱形玻璃杯,他看到,一罐果汁可以这样倒入这2个杯,使第1个杯内的水平高度是12cm,第2个杯内的水平高度是10cm,或者使第1个杯内的水平高度是8cm,第2个杯内的水平高度是12cm.如果把果汁平分地倒入这2个杯,每个     

世界各地数学奥林匹克试题摘编

1　 (意大利 1995年数学奥林匹克 )求出所有正整数ｘ ,ｙ ,使得ｘ2 615=2 ｙ ( 1)解　对于非负整数ｋ ,2 2ｋ 1=4 ｋ·2≡ ( - 1) ｋ·2≡ 2或 3(ｍｏｄ 5) ,又∵ｘ2 ≡ 0或 1或 4 (ｍｏｄ 5) ,∴ ｙ必须是偶数 .令 ｙ =2ｚ ,代入 ( 1)得( 2 ｚ-ｘ) ( 2 ｚ ｘ) =615=3× 5× 4 1∴　　　 2 ｚ ｘ =6152 ｚ-ｘ =1( 2 )　　或　　　 2 ｚ ｘ =2 0 52 ｚ-ｘ =3 ( 3)　　或　　　 2 ｚ ｘ =12 32 ｚ-ｘ =5( 4 )　　或　　　 2 ｚ ｘ =4 12 ｚ-ｘ =15( 5)显然 ,方程组 ( 2 ) ,( 3) ,( 5)无正整数解 .由方程组 ( 4 )得 :2 ｚ=64,∴ｚ =6,ｘ =59,…     

世界各地数学奥林匹克试题选登

1 求证：对任意实数a3，a4，…，a85，方程a85x^85 a84x^84 … a3x^3 3x^2 2x 1=0的根不全为实数．     

世界各地数学奥林匹克试题选析

1　是否存在一个这样的函数 ｆ(ｘ) ,它不是多项式且对任意实数ｘ有(ｘ - 1 ) ｆ(ｘ + 1 ) - (ｘ + 1 ) ｆ(ｘ - 1 ) =4ｘ(ｘ2 - 1 ) ?解　答案是肯定的 .任取函数 ｆ(ｘ) =ｘ3 +ｘｋ(ｘ) ,这里ｋ(ｘ)是定义在Ｒ上的一个有界的、非常数、周期为 2的函数 (例 ,ｋ(ｘ) =ｓｉｎ(πｘ) ,ｋ(ｘ) =ｘ - [ｘ],… ) ,对这样的ｆ(ｘ) 和任意实数ｘ有　 (ｘ - 1 ) ｆ(ｘ + 1 ) - (ｘ + 1 ) ｆ(ｘ - 1 )=(ｘ - 1 ) (ｘ + 1 ) 3 - (ｘ + 1 ) (ｘ - 1 ) 3 +(ｘ2 - 1 ) (ｋ(ｘ + 1 ) -ｋ(ｘ - 1 ) )=4ｘ(ｘ2 - 1 ) + 0　 (因为ｋ(ｘ)的周期为 2 ) .2　 (圣…     

世界各地数学奥林匹克试题摘编

1（2000年俄罗斯数学奥林匹克）求证：存在10个不同的实数a1，a2，…，a10使得方程（x-a1）（x-a2）…（x-a10）=（x＋a1）（x＋n2）…（x＋a10）（1）     

一道数学奥林匹克试题的再推广

2005年全国高中数学联赛加试第二大题的等价问题．     

一道东南数学奥林匹克试题的推广

题目(第三届(2006年)东南数学奥林匹克第6题):求最小的实数m,使不等式m(a3 b3 c3)≥6(a2 b2 c2) 1(1)对满足a b c=1的任意正实数a,b,c恒成立.本文给出此题的一个推广.推广设ai>0,i=1,2,…,n,n≥2,∑ni=1ai=1,B>0,A>-Bn,求最小的实数m,使不等式m∑ni=1ai3≥A∑ni=1ai2 B(2)恒成立.注:在推广中取n=3,A=6,B=1即得上述东南竞赛题.解ai=1n,i=1,2,…,n,得m≥An Bn2.下面证明,当ai>0,i=1,2,…,n,n≥2,∑ni=1ai=1,B>0,A>-Bn时,有(An Bn2)∑ni=1ai3≥A∑ni=1ai2 B(3)下面证明(3)式成立.不妨设a1≥a2≥…≥an,则a12≥a22≥…≥an2,由切比雪夫不…     

世界各地数学奥林匹克试题选登

1 能否将集合{1，2，…，33}等分为11个互不相容的子集合，每个子集合含3个元素，使得每个子集合中一个元素是另两个元素之和?     

2008年中国西部数学奥林匹克试题评析

由中国数学会奥林匹克委员会主办的第8届中国西部数学奥林匹克（CWMO）于2008年10月30日至11月4日在贵州省贵阳市贵州师范大学附中举行．     

一道新加坡数学奥林匹克试题的新证

2008年新加坡数学奥林匹克（第二轮）高年级试题中有一题如下：题目设a、b、c≥0．证明：