分割棱台求体积的新想法

预备定理　设斜截三棱柱ＥＦ ＡＢＣＤ中 ,ＥＦＡＢ=λ,ＤＣＡＢ=ｍ ,底面ＡＢＣＤ的面积为Ｓ ,ＥＦ与面ＡＢＣＤ的距离为ｈ ,(如图 1)则斜截三棱柱的体积为Ｖ =(λ +ｍ + 1)3(ｍ + 1) ·Ｓ·ｈ .该定理证明见文 [1],从略 .已知棱台Ａ′Ｂ′Ｃ′ ＡＢＣ中 ,设Ｓ△Ａ′Ｂ′Ｃ′ =Ｓ1,Ｓ△ＡＢＣ=Ｓ2 ,高为ｈ ,试推导三棱台的体积公式 .图 2　棱台解　如图 2 ,作Ａ′Ｄ∥ＢＢ′ ,Ｃ′Ｅ∥ＢＢ′分别交ＡＢ ,ＣＢ于Ｄ ,Ｅ .其中Ａ′Ｂ′Ｃ′ ＤＢＥ为三棱柱 ,值得注意的是几何体Ａ′Ｃ′ ＡＤＥＣ即为上文所提到的斜截三棱柱 ,对其应用定理 :λ…     

一个几何恒等式的推广及其应用

关于几何恒等式有好多 ,不胜枚举 .今介绍如下一个几何恒等式 ,并给出它的应用 .定理 1　设△ＡＢＣ的三边ａ、ｂ、ｃ上的高分别为ｈａ、ｈｂ、ｈｃ,Ｐ为△ＡＢＣ内部的任意一点 ,过Ｐ向三边作垂线段ＰＤ =ｒａ,ＰＥ=ｒｂ,ＰＦ =ｒｃ,若设△ＡＢＣ、△ＤＥＦ的面积为△与△′ ,则有　 4△△′ =ｒａｒｂｈａｈｂ ｒｂｒｃｈｂｈｃ ｒｃｒａｈｃｈａ. ( 1)证明　如图 1,因为ＰＤ⊥ＢＣ ,ＰＥ ⊥ＣＡ ,ＰＦ ⊥ＡＢ ,故　∠Ａ ∠ＥＰＦ =π ,∠Ｂ ∠ＦＰＤ =π ,∠Ｃ ∠ＤＰＥ =π .由三角形的面积公式可得　△′ =Ｓ△ＥＰＦ Ｓ△ＦＰＤ …     

2002年中国数学奥林匹克试题解答

1　△ＡＢＣ的三边长分别为ａ ,ｂ ,ｃ ,ｂ <ｃ,ＡＤ是∠Ａ的平分线 ,点Ｄ在边ＢＣ上 ,1)求在线段ＡＢ ,ＡＣ内分别存在点Ｅ ,Ｆ(不是顶点 )满足ＢＥ =ＣＦ和∠ＢＤＥ =∠ＣＤＦ的充要条件(用角Ａ ,Ｂ ,Ｃ表示 ) ;图 1　题 1图2 )在点Ｅ和Ｆ存在的情况下 ,用ａ ,ｂ ,ｃ表示ＢＥ的长 .解　 1)设∠ＦＤＣ =∠ＥＤＢ =α ,则在△ＤＦＣ中 ,由正弦定理得ＣＦｓｉｎα =ＣＤｓｉｎ∠ＤＦＣ =ＣＤｓｉｎ(α +Ｃ) .即　　ＣＦ =ＣＤｓｉｎαｓｉｎ(Ｃ +α) (1)在△ＤＥＢ中 ,同理有　　　ＢＥ =ＤＢｓｉｎαｓｉｎ(Ｂ +α) (2 )由 (1) ,(2 )及ＢＥ …     

推导台体体积公式有新法

立几教材中推导台体体积公式的方法不是唯一的 ,因为用体积的割法可求出三棱台的体积 ,因此任意台体体积即可获解 .题 1　已知棱台Ａ′Ｂ′Ｃ′ ＡＢＣ中 ,设Ｓ△Ａ′Ｂ′Ｃ′=图 1　方法 1图Ｓ1 ,Ｓ△ＡＢＣ =Ｓ2 ,高为ｈ .试推导三棱台的体积公式 .解　 [方法 1]如图 1,连结ＡＣ′ ,ＡＢ′ ,ＣＢ′ .Ｖ台 =ＶＡ Ａ′Ｂ′Ｃ′ ＶＢ′ ＡＢＣ　 ＶＡ Ｂ′Ｃ′Ｃ=13Ｓ1 ｈ 13Ｓ2 ｈ　 ＶＡ Ｂ′Ｃ′Ｃ.ＶＡ Ｂ′Ｃ′ＣＶＢ′ ＡＢＣ=ＶＡ Ｂ′Ｃ′ＣＶＡ ＢＢ′Ｃ′=Ｓ△Ｂ′Ｃ′ＣＳ△ＢＢ′Ｃ=Ｂ′Ｃ′ＢＣ ,ＶＡ Ｂ′Ｃ′ＣＶＡ Ａ′…     

周界中点三角形又一有趣的性质

若三角形一边上的一点和这边所对的顶点将三角形的周长二等分 ,则称这一点为三角形的周界中点 ,并将以三个周界中点为顶点的三角形称为周界中点三角形 .文 [1]、文 [2 ]得到了与周界中点三角形有关的三角形外接圆半径、面积之间的三个不等式 .本文再给出一个更有趣的性质 .定理 1　设Ｄ ,Ｅ ,Ｆ分别为△ＡＢＣ的边ＢＣ ,ＣＡ ,ＡＢ上的周界中点 ,且ＢＣ =ａ ,ＣＡ =ｂ ,ＡＢ =ｃ,Ｓ =12 (ａ +ｂ +ｃ) ,△ＡＢＣ的外接圆半径和面积分别为Ｒ ,△ ,△ＤＥＦ的外接圆半径为Ｒ0 ,则有 :Ｒ·Ｒ0 ≥2 39△ .为证明此不等式 ,先看如下引理 :图 1　引…     

数学问题解答

20 0 2年 4月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 366　如图 ,⊙Ｏ1 和⊙Ｏ2 是△ＡＢＣ的边ＡＢ、ＡＣ外的两个旁切圆 ,Ｅ、Ｊ、Ｇ和Ｆ、Ｋ、Ｈ是切点 ,直线ＥＧ、ＦＨ交于Ｐ点 ,直线ＥＪ、ＦＫ交于Ｉ点 ,ＡＤ ⊥ＢＣ于Ｄ ,求证 :Ｐ、Ａ、Ｉ、Ｄ四点共线 .(江苏省苏州市第十中学　沈建平　 2 1 5 0 0 6)证明　设ＢＣ=ａ ,ＣＡ=ｂ,ＡＢ =ｃ ,Ｒ是△ＡＢＣ外接圆半径 ,直线ＥＧ、ＡＤ交于Ｐ′ ,直线ＦＨ、ＡＤ交于Ｐ″,下面设法证明Ｐ、Ｐ′、Ｐ″是同一点 .因为ｃ+ＡＨ=ａ+ＣＦ ,所以ｃ + (ｂ-ＣＦ) =ａ +ＣＦ ,ＣＦ =ｂ+ｃ-ａ2 .在Ｒｔ△…     

一道代数命题的几何证法

命题　两个正数ａ、ｂ的几何平均数 ,等于这两个数的算术平均数与调和平均数的比例中项 .正数ａ和ｂ的三个平均数的意义 :几何平均数Ｇ =(ａｂ) 1 2 ,算术平均数Ａ =ａ ｂ2 ,调和平均数Ｈ =2ａｂａ ｂ.求证 :Ｇ2 =Ａ·Ｈ证明　画线段ＢＣ使ＢＣ =ＢＥ ＥＣ ,其中ＢＥ =ａ ,ＥＣ =ｂ .以ＢＣ为直径画半圆 ,设圆心为Ｏ ,过点Ｅ作ＢＣ的垂线交半圆于Ｄ ,连结ＯＤ ,过点Ｅ作ＥＦ ⊥ＯＤ ,垂足为Ｆ .如图所示 ;于是ＯＤ =ａ ｂ2 =Ａ　　∵ＤＥ2 =ＢＥ·ＥＣ即ＤＥ =(ＢＥ·ＥＣ) 12 =(ａｂ) 1 2 =Ｇ ;由Ｒｔ△ＯＥＤ∽Ｒｔ△ＥＦＤ得ＤＦ∶ＥＤ…     

斜截三棱柱的一个体积公式

用与底面不平行的平面去截三棱柱,截面与底面间的几何体,称之为斜截三棱柱.如图1的斜截三棱柱记作斜截三棱柱ＥＦＡＢＣＤ,并约定平面ＡＢＣＤ为底面,ＥＦ到底面ＡＢＣＤ的距离为高.引理　设三棱柱的一个侧面面积为Ｓ,与相对侧棱之间的距离为ｈ,则三棱柱的体积为Ｖ=12Ｓ·ｈ.该引理的证明见文[1],从略.定理　设斜截三棱柱ＥＦＡＢＣＤ中,ＥＦＡＢ=λ,ＤＣＡＢ=ｍ,底面ＡＢＣＤ的面积为Ｓ,ＥＦ与面ＡＢＣＤ的距离为ｈ(如图2),则斜截三棱柱的体积为Ｖ=图2　定理图ｍ λ 13(ｍ 1)Ｓ·ｈ.证　如图2,过Ｆ作面ＦＭＮ∥面ＡＤＥ,由引理知ＶＡＤＥＭ…     

上期课外练习解答

高一年级1 .在ＡＢ上取一点Ｄ ,使ＤＢ =ＣＢ ,设Ｅ为Ｄ关于ＡＣ的对称点 .连ＥＡ ,ＥＢ ,ＥＤ ,ＣＤ .易证△ＤＣＥ为正三角形 .ＢＥ为ＤＣ的中垂线 ,ＡＣ为ＤＥ的中垂线 ,有 :∠ＥＢＡ =4 0° =∠ＥＡＢ ,ＥＢ =ＥＡ =ＡＤ =ｂ -ａ .在△ＡＢＥ中 ,ｃｏｓ∠ＡＥＢ =2 (ｂ-ａ) 2 -ｂ22 (ｂ -ａ) 2 ;在△ＡＢＣ中 ,ｃｏｓ∠ＡＢＣ =ａ2 +ｂ2 -ｂ22ａｂ ;由ｃｏｓ∠ＡＥＢ =-ｃｏｓ∠ＡＢＣ ,得2 (ｂ-ａ) 2 -ｂ22 (ｂ-ａ) 2 =- ａ2ｂ.整理 ,得　ａ3+ｂ3=3ａｂ2 .2 .ｙ=1 -ｓｉｎｘｃｏｓｘ1 +ｓｉｎｘｃｏｓｘ=212 ｓｉｎ2ｘ + 1- 1 .∵　 π…     

一道选择题的错解与分析

题目　ＡＤ为△ＡＢＣ的高线 ,ＢＤ =ａ ,ＤＣ =ｂ(ａ <ｂ) ,将△ＡＢＣ沿ＡＤ折叠成二面角Ｂ ＡＤ Ｃ ,其平面角为θ ,若ｃｏｓθ =ａｂ,则四面体Ａ ＢＣＤ的侧面ＡＢＣ是 (　　 ) .(Ａ)锐角三角形　 (Ｂ)钝角三角形(Ｃ)直角三角形　 (Ｄ)由ａ、ｂ的值确定错解　首先考察θ为直角时 ,ＤＡ ,ＤＢ ,ＤＣ两两垂直 ,易证△ＡＢＣ的三个角均为锐角(可用公式ｃｏｓθ =ｃｏｓθ1 ·ｃｏｓθ2 ) ,即△ＡＢＣ为锐角三角形 .因ｃｏｓθ =ａｂ >0 ,θ为锐角 (上述情形可看作θ的一个极端状态 ) ,即二面角Ｂ ＡＤ Ｃ由直二面角连续折叠成了锐二面角 .…     

延展平面 完善图形 突破难点

20 0 1年全国高考立体几何题如下 :高考题　如图 1,在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ -ＡＢＣＤ中 ,∠ＡＢＣ =90° ,ＳＡ⊥面ＡＢＣＤ ,ＳＡ =ＡＢ =ＢＣ =1,ＡＤ =12 .1)求四棱锥Ｓ -ＡＢＣＤ的体积 ;2 )求面ＳＣＤ与面ＳＢＡ所成的二面角的正切值 .笔者参加了安徽省 2 0 0 1年高考阅卷工作 ,发现不少学生在解答本题第二问时 ,采用了如下解法 .图 1　高考题图解法 1:先证△ＳＡＢ是△ＳＤＣ在面ＳＡＢ上的射影 ,再求出△ＳＡＢ ,△ＳＤＣ的面积 ,利用射影面积公式ｃｏｓθ =Ｓ△ＳＡＢＳ△ＳＤＣ,求得ｃｏｓθ ,最后求出正切值 .图 2　高考题解…     

一道不等式的几何证法

题 1　在锐角三角形ＡＢＣ中 ,求证 :ｓｉｎＡ ｓｉｎＢ ｓｉｎＣ >ｃｏｓＡ ｃｏｓＢ ｃｏｓＣ .这是一道三角不等式 ,证明的方法比较多 ,下面给出二种几何证法 .图 1　证法 1图证 [方法 1]　设△ＡＢＣ的外接圆圆心为Ｏ(由于△ＡＢＣ为锐角三角形 ,Ｏ在△ＡＢＣ内部 ) ,设其直径为 1,连结ＡＯ ,ＢＯ ,ＣＯ并延长交⊙Ｏ分别于Ｄ ,Ｅ ,Ｆ .顺次连结Ａ ,Ｆ ,Ｂ ,Ｄ ,Ｃ ,Ｅ ,Ａ .设△ＡＢＣ三边长分别为ａ ,ｂ ,ｃ.∠ＢＡＣ ,∠ＡＢＣ ,∠ＡＣＢ简记为∠Ａ ,∠Ｂ ,∠Ｃ .∵∠Ａ =∠ＢＥＣ ,在Ｒｔ△ＢＥＣ中 ,ｓｉｎ∠ＢＥＣ =ａ ,ｃｏｓ…     

三角形的一个命题及其推论

在三角形 ,有以下一个有趣的命题 :命题　设Ｅ、Ｆ分别为△ＡＢＣ的边ＢＣ上的两点 ,记 ＢＥＥＣ =α1 、ＢＦＦＣ =α2 ,且 0 <α1 <α2 ,若任一直线分别与ＡＢ、ＡＥ、ＡＦ、ＡＣ或其延长线交于点Ｍ、Ｇ、Ｈ、Ｄ ,则不论直线的位置如何 ,总有 ＧＨＭＤ ≤α2 - α1α2 α1.为使证明简洁明了 ,首先给出如下引理 :引理　设Ｅ、Ｄ分别为△ＡＢＣ的边ＢＣ、ＣＡ上的两点 ,记 ＢＥＥＣ =α、ＣＤＤＡ =β ,ＢＤ与ＡＥ交于点Ｇ ,则 ＢＧＧＤ =α(1 β) .证明　如图 1所示 ,在△ＢＣＤ中 ,由梅涅劳斯 (Ｍｅｎｅｌａｕｓ)定理得　 ＢＥＥＣ· Ｃ…     

2002年第四期初中数学问题解答

一、已知ａ <0 ,-1 <ｂ <0 ,则ａ ,ａｂ ,ａｂ2 之间的大小关系如何 ?解 :∵ -1 <ｂ <0 ,∴ｂ<ｂ2 <1 .又ａ<0 ,　∴ａｂ >ａｂ2 >ａ .二、如果二次不等式ａｘ2 +8ａｘ+2 1 <0的解是 -7<ｘ <-1 ,求ａ的值 .解 :考虑二次函数ｙ =ａｘ2 +8ａｘ +2 1的图象 ,由已知条件可知它与Ｏｘ轴的两个交点为 (-1 ,0 ) ,(-7,0 ) ,故由韦达定理知 (-7)× (-1 ) =2 1ａ .∴ａ=3 .答 :略 .三、在△ＡＢＣ中 ,∠ＣＢＡ =72° ,Ｅ是边ＡＣ的中点 ,Ｄ在ＢＣ边上且 2ＢＤ =ＤＣ ,ＡＤ与ＢＥ交于Ｆ ,求△ＢＤＦ和四边形ＦＤＣＥ的面积之比 .解 :过Ｅ作ＥＧ∥ＡＤ交…     

一个等比分割问题的推广

文 [1]给出了如下结论 :如图 1,在矩形ＡＢＣＤ中 ,ＡＢ =2ａ ,ＡＤ =2ｂ ,Ｐ是上半平面上一点 ,ＰＤ ,ＰＣ与线段ＡＢ分别交于Ｄ1,Ｃ1,若ＡＤ1,Ｄ1Ｃ1,Ｃ1Ｂ图 1成等比数列 ,则Ｐ点的轨迹为椭圆 (上半部分 ) .本文将考虑该问题的逆问题 ,并将该结论进行推广 .结论 1　如图 2 ,Ｐ(ｘ ,ｙ)是椭圆 ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ)上一点 ,ｙ >0 ,以长轴ＡＢ为边作矩形ＡＢＣＤ ,ＡＤ =2ｂ ,ＰＤ ,ＰＣ分别交ＡＢ于Ｄ1,Ｃ1,则ＡＤ1,Ｄ1Ｃ1,Ｃ1Ｂ成等比数列 .图 2　结论 1图证　过Ｐ作ＥＦ∥ＡＢ交ＤＡ的延长线于Ｅ ,交ＣＢ的延长线于Ｆ ,则ＰＥ =ａ…     

涉及三角形折中点的一个性质

设Ｆｘ为△ＡＢＣ的三边ａ,ｂ,ｃ中除ｘ边的另两边所在折线的中点,称Ｆｘ为相对于ｘ边的折中点．对于△ＡＢＣ的折中点,有如下 定理 如图 １,设Ｆｘ是△ＡＢＣ的折中点,Ｉｘ是△ＡＢＣ中ｘ边对角的平分线与ｘ边的交点,ｘ∈｛ａ,ｂ,ｃ｝,ａ≥ｂ≥ｃ,则ＦａＩａ、ＦｂＩｂ、ＦｃＩｃ三线共点的充要条件是ａ＝ｂ或ｂ＝ｃ． 定理的证明需用到如下引理： 引理 １ 条件同定理,则ＩａＩｂ／／ＦａＦｂ且 证明 如图１,由内角平分线性质得 从而同理有于是,且有 引理 ２ 如图２,Ｐ,Ｑ为△ＡＢＣ边ＡＢ,ＡＣ上的点,ＰＱ ／／ ＢＣＪ…     

等腰梯形的一个优美特性

如果称椭圆ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1与双曲线 ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2=1为一对等轴圆锥曲线 ,那么 ,笔者经研究发现 ,等腰梯形具有下面的优美性质 :定理　等腰梯形底上的两对顶点在一对等轴圆锥曲线上 ,且其对角线的交点为等轴圆锥曲线的一个公共顶点 .证明　如图 ,设梯形ＡＢＣＤ的两腰与两条对角线分别相交于点Ｅ、Ｆ ,以ＥＦ中点为原点 ,ＥＦ所在直线为ｘ轴建立直角坐标系 ,则Ａ与Ｂ、Ｃ与Ｄ均关于ｘ轴对称设经过点Ａ ,Ｅ ,Ｂ ,Ｆ的椭圆方程为ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ >0 ) ,Ａ (ｘ1 ,ｙ1 ) ,Ｂ(ｘ1 ,-ｙ1 ) ,由Ｆ(ａ ,0 ) ,Ｅ(-ａ ,0 )得直线ＢＤ、…     

例说用补形法求多面体的体积

所谓补形法 ,即以已知的几何体为基础 ,将其补形成为更好利用已知条件的几何体 ,从而使问题获解的方法 .这种方法在求多面体体积时经常用到 .1　将锥体补成锥体例 1　已知两条异面直线段的长分别为ａ ,ｂ ,夹角为θ,距离为ｈ ,求以此两条异面直线段为对棱的四面体的体积 .解　如图 1,四面体ＡＢＣＤ中 ,ＡＢ =ａ ,ＣＤ =ｂ ,ＡＢ与ＣＤ的夹角为θ ,距离为ｈ ,过Ｂ作ＢＥ∥ＤＣ ,过Ｃ作ＣＥ∥ＤＢ交ＢＥ于Ｅ ,连ＡＥ ,则∠ＡＢＥ =θ或π -θ .因为ＣＤ∥平面ＡＢＥ ,图 1　例 1解答用图∴ＡＢ与ＣＤ的距离为ｈ ,即点Ｃ到平面ＡＢＥ的距离为…     

数学问题解答

20 0 1年 1 1月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 4 1　锐角三角形ＡＢＣ中有内接△ＤＥＦ ,且ＦＤ⊥ＢＣ于Ｄ ,ＤＥ ⊥ＡＣ于Ｅ ,ＥＦ ⊥ＡＢ于Ｆ ,求证 :Ｓ△ＡＢＣ ≥ 3Ｓ△ＤＥＦ.(武汉华中理工大学西十四舍 5号　黄元兵　 43 0 0 74)证　△ＡＢＣ三边分别与△ＤＥＦ三边垂直 ,又△ＡＢＣ为锐角三角形 ,有∠Ａ =∠ＤＥＦ ,∠Ｂ =∠ＥＦＤ ,∠Ｃ =∠ＦＤＥ即有△ＡＢＣ ∽△ＤＥＦ .又公比ｑ=ＢＣＤＦ =ＢＤＤＦ ＣＤＤＦ=ｃｏｔＢ ＤＥＤＦｓｉｎＣ=ｃｏｔＢ ｓｉｎＢｓｉｎＡｓｉｎＣ =ｃｏｔＢ ｓｉｎ(Ａ Ｃ)ｓｉｎＡｓｉｎＣ=…     

数学问题解答

数学问题解答１９９６年８月号问题解答（解答由问题提供人给出）１０２６设Ｐ为△ＡＢＣ内一点，ＡＰ，ＢＰ，ＣＰ的延长线交面△ＡＢＣ的三边于Ｄ，Ｅ，Ｆ．若Ｓ△ＡＰＦ＝Ｓ△ＢＰＤ＝Ｓ△ＣＰＥ，则Ｐ为△ＡＢＣ的重心证明不妨设Ｓ△ＡＰＦ＝Ｓ△ＢＰＤ＝Ｓ△ＣＰＥ＝...