非线性弹性杆中孤波的演变

1.基本方程非线性弹性杆内的纵向应变波的广义Korteweg-de Vries-Burgers方程为(1·1)为了明确起见,本文研究n=2的硬非线性材料(软非线性材料μ<0仿此处理)情形,此时μ>0.作变换x→(6μ)~(1/2)x,t→6(6μ)~(1/2)t,u→-u,(1·1)变为(1·2)其中ε=(6/μ)~(1/2)δ,方程(1·1)与(1·2)右端项为粘弹性阻尼的贡献,右端第三项来自横向惯性所引起的应力.当忽略耗散时,ε=0,(1·2)就是通常的KdV方程,此时杆内有纵向传播的稳定孤波.本文研究当耗散较小(ε<<1),但不可忽略时,它对应变孤波运动的影响,此时(1·2)看作是含微扰的KdV方程.     

如何求串并联电路正常工作的概率

在中学数学教材必修本概率这一章节中涉及到求串并联电路正常工作的概率问题 ,大多数学生显得比较困难 ,在此与大家一起探讨几种解题方法 .例 1　如图 1,设每个电子元件能正常工作的概率为 ｐ ,求电路正常工作的概率 .图 1　例 1图解法 1　所求概率为Ｐ(Ａ1·Ａ2 ·Ａ3+Ａ1·Ａ2 ·Ａ3+·Ａ1·Ａ2 ·Ａ3+Ａ1·Ａ2·Ａ3+Ａ1·Ａ2 ·Ａ3)=Ｐ(Ａ1·Ａ2 ·Ａ3) +Ｐ(Ａ1·Ａ2 ·Ａ3) +Ｐ(Ａ1·Ａ2·Ａ3) +Ｐ(Ａ1·Ａ2 ·Ａ3) +Ｐ(Ａ1·Ａ2 ·Ａ3)=Ｐ(Ａ1)Ｐ(Ａ2 )Ｐ(Ａ3) +Ｐ(Ａ1)Ｐ(Ａ2 )Ｐ(Ａ3)+Ｐ(Ａ1)Ｐ (Ａ2 )Ｐ (Ａ3) +Ｐ (Ａ1)Ｐ (Ａ2 )Ｐ…     

数学诡辩

解方程1/(x-10)+1/(x-6)=1/(x-7)+1/(x-9)。解:两边分别通分,得2x-16/(x~2-16x+60)=2x-16/(x~2-16x+63)因分子相等,则分母相等:x~2-16x+60=x~2-16x+63。60=63.不可能,所以原方程无解。另一方面,当x=8时,方程左边=1/(x-10)+1/(x-6)=-1/2+1/2=0方程右边=1/(x-7)+1/(x-9)=1-1=0可见x=8是原方程的一个根。那么这个根     

争鸣

问题　　 问题 72 　两名战士在一次射击比赛中 ,战士甲得 1分、2分、3分的概率分别为 0 .4 ,0 .1,0 .5 ;战士乙得 1分、2分、3分的概率分别为 0 .1,0 .6 ,0 .3,那么两名战士得胜希望大的是 .解 1　甲的期望Eξ1=1× 0 .4 + 2× 0 .3+ 3× 0 .5=2 .5 ,乙的期望Eξ2 =1× 0 .2 + 2× 0 .6 + 3× 0 .3=2 .2 ,所以甲胜的希望大 .解 2　记事件A ,B ,C分别为在这次射击比赛中 ,“甲胜”、“乙胜”、“甲乙得分相等” ,事件A1,A2 ,A3 分别为“甲得 2分 ,乙得 1分”、“甲得 3分 ,乙得 1分”、“甲得 3分 ,乙得 2分” ,显然P(A) =P(A1) +P(A2…     

关于2^m的末位数字问题的探讨

1　问题的由来本人曾于 1 998年在贵刊第 1 0期提出数学问题 1 1 56题并解答 ,其中利用了“2 ｋ· 2 50 0 ≡ 2 ｋ,及(2 50 0 ) ｍ ≡ 2 50 0 ≡ 9376(ｍｏｄ1 0 4 )”这个结论 .现研究探讨发现下面的更一般的结论 .2　定理定理　当 2 ｍ 具有 2 4 ×5ｎ 的形式时 (ｍ ,ｎ为正整数 ) ,则 (2 4 ×5ｎ- 1 )·2 ｋ ≡ 0 ,即 2 4 ×5ｎ· 2 ｋ ≡ 2 ｋ 及(2 4×5ｎ) ｔ ≡ 2 4×5ｎ(ｍｏｄ1 0 ｎ 1 ,ｋ≥ｎ 1 ,ｋ ,ｔ为正整数 )证明(1 )当ｎ=1时 ,2 2 0 =(2 1 0 ) 2 =(1 0 3 2 4 ) 2 ≡2 4 2 ≡ 76∴ (2 2 0 - 1 ) · 2 ｋ ≡ 3× 52 · 2 ｋ …     

概率

选择题1 .从装有白球 3个、红球 4个的箱子中 ,把球一个接一个地取出来 ,到第五个恰好把白球全部取出的概率是 (　　 )(Ａ) 435.　 (Ｂ) 17.　 (Ｃ) 635.　 (Ｄ) 27.2 .现有甲、乙两颗骰子 ,从 1点到 6点出现的概率都是 16 ,掷甲、乙两颗骰子 ,设分别出现的点数为ａ ,ｂ时 ,则满足ａ <|ｂ2 -2ａ| <1 0ａ的概率为 (　　 )(Ａ) 11 8.　 (Ｂ) 11 2 .　 (Ｃ) 19.　 (Ｄ) 16 .3.两人投一枚硬币 ,掷出正面者为胜 ,但这个硬币不太均匀 ,以致出现正面的概率Ｐ1与出现反面的概率Ｐ2 不相等 ,已知出现正面与出现反面是两个对立的事件 .设两人各掷一次…     

数列、排列、组合、概率、统计——系列讲座(三)

【热点透视】1.等差数列和等比数列的判定和性质 (如 2 0 0 3年高考·北京春季卷·理科第 (2 1)题 ,2 0 0 4年高考·四川、吉林、黑龙江、云南、贵州卷·理科第 (19)题等 ) .2 .等差数列和等比数列的基本运算 (如 2 0 0 3年高考·北京卷·理科第 (16 )题 ,2 0 0 4年高考·浙江卷·理科第 (3)题等 ) .3.等差数列和等比数列的综合、实际应用 (如2 0 0 3年高考·全国卷·理科第 (7)题 ,2 0 0 4年高考·重庆卷·理科第 (2 2 )题等 ) .4 .利用数列的递推关系求通项公式 (如 2 0 0 4年高考·安徽春季卷·第 (18)题 ,2 0 0 3年高考·江苏卷第 (2 2 …     

一道三角题的三种解法

题目　方程 3ｓｉｎｘ ｃｏｓｘ =ｍ在 ( 0 ,π)内有两个不相等的实数解 ,求实数ｍ的范围 .图 1　解法 1图解法 1　 (数形结合思想 )原方程可变为ｓｉｎ(ｘ π6) =ｍ2 .设 ｙ1=ｓｉｎ(ｘ π6) ,ｘ∈ ( 0 ,π) ,ｙ2 =ｍ2 .在同一直角坐标系中作出其图象 (如图 ) .原方程在 ( 0 ,π)内有两个不相等的实数解等价于两函数的图象有两个交点 .则有 12 <ｍ2 <1,∴ 1<ｍ <2 .解法 2　 (函数思想 )设ｃｏｓｘ =ｔ,∵ｘ∈ ( 0 ,π) ,∴ｔ =ｃｏｓｘ∈ ( - 1,1) ,ｓｉｎｘ =1-ｃｏｓ2 ｘ =1-ｔ2 .原方程变为 3· 1-ｔ2 ｔ=ｍ .∴ 3( 1-ｔ2 ) =ｍ -…     

即时定义——高考型应用题的突破口

由于高考的特定情境 ,高考型应用题不可能是社会生活中实际问题的原型 ,只能是经过一定“加工”了的“准实际问题” .尽管如此 ,近几年的高考应用题得分率却总上不去 .问题在哪呢 !关键是学生不能从这些“准实际问题”中寻找出求解问题的突破口 .　综观近年的高考型试题 ,我们发现 :对于某些专业术语作专门解释的“即时定义” ,可作为解决问题的突破口 .例 1　 ( 2 0 0 0年全国春季高考题 )某地区上年度电价为 0 .8元 /ｋｗ·ｈ ,年用电量为ａｋｗ·ｈ .本年度计划将电价降到 0 .55元 /ｋｗ·ｈ至 0 .75元 /ｋｗ·ｈ之间 ,而用户期望电价为 …     

Stirling公式在一个乘积不等式中的应用

定理　令Ｐｎ =1 +11 1 +131 +15 … 1 +12ｎ- 1 ,则πｎ - 16πｎ ≤Ｐｎ≤πｎ +16πｎ为此我们引入Ｓｔｉｒｌｉｎｇ公式 :1 · 2 · 3·… ·ｎ=2πｎｎｎｅ-ｎ+θ1 2ｎ　 (0 <θ <1 )现在我们来给出定理的证明 :因Ｐｎ =1 +11 1 +13 1 +15 … 1 +12ｎ - 1=2· 4· 6 ·… · 2ｎ1 · 3· 5 ·… · (2ｎ- 1 )=(2 ｎ· 1· 2 · 3 ·… ·ｎ) 21 · 2 · 3· 4·… · 2ｎ=2 ｎ· 2πｎｎｎｅ-ｎ+θ1 1 2ｎ 24πｎ(2ｎ) ｎｅ- 2ｎ+θ22 4ｎ(0 <θ1 <1 ,0 <θ2 <1 )=πｎｅ11 2ｎ θ1 -θ22记ｔ=11 2ｎ θ1 - θ22 则 ｜ｔ｜ <1则 :Ｐｎ-…     

九年级数学(华东师大版)第一学期期末自测题

一、选择题1 .下列运算正确的是 (　　 ) .A .x10 ÷x5=x2 　　　B .x6÷x5=xC .(x-1 ) 0 =1D .( -12 ) -2 =142 .下列说法 :①垂直于半径的直线是圆的切线 ;②有两角和夹边分别对应相等的两个三角形全等 ;③相等的圆心角所对的弧相等 ;④若两圆相切 ,则圆心距等于半径和 .其中错误的有 (　　 )个 .A .1　　　B .2　　　C .3　　　D .43 .△ABC中 ,AB =AC =1 0 ,BC =1 6,则以A为圆心 ,6为半径的⊙A与BC的关系是 (　　 ) .A .相切　　　　B .相交C .相离　　　　D .不能确定4.若直角三角形的斜边长为 1 0 ,其内切圆的半径为 2 ,则…     

读者信箱

(一 )　　 2 0 0 0年第 9期数学问题的第 1 2 67题是 :试确定ａ0 的取值范围 ,使由递推式ａｎ 1 =- 3ａｎ 2 ｎ(ｎ=0 ,1 ,2 ,… )给出的数列是严格增数列 .该题提供者给出的解答有误 ,原解答是ａ0 >16 .为说明ａ0 >16 不正确 ,只要举个反例即可 ,例如当ａ0 =1时 ,数列 {ａｎ}是 1 ,- 2 ,… ,足见不是增数列 .如何求ａ0 的范围 ?可先解出ａｎ,一种解法是 :ａｎ 1 =- 3ａｎ 2 ｎ ａｎ 1 - 2 ｎ 15 =(- 3) (ａｎ- 2 ｎ5)∴ａｎ- 2 ｎ5 =(ａ0 - 15) · (- 3) ｎ,ａｎ =2 ｎ (- 1 ) ｎ 1 3ｎ5 (- 1 ) ｎ· 3ｎ·ａ0考查△ｎ =ａｎ-ａｎ - 1…     

對於數π的瓦理斯公式,萊布尼茲公式和歐拉公式的初等推導

在高等數學中,推得了許多把數π表爲無窮級數或無窮乘積的公式,這些公式中最著名的是瓦理斯公式2/1·(2/3)·(1/5)·(1/5)·(5/6)·(6/7)·=π/2 (1)萊布尼茲公式 1-(1/3)+(1/5)-(1/7)+…=π/4 (2)歐拉公式 1+(1/2~2)+(1/5~2)+(1/4~2)+…=π/6~2 (3) 在高等學校裏,這些公式普通是在研究積分學(瓦理斯公式),研究函數展為冪級數(萊布尼茲公式)和展為三角級數(歐拉公式)的理論時被證明的,我們認為,對於大學裏的高等代數教師,特別,對於師範大學的高等代數教師來說,下面的一個這些公式的簡單推導,它只基於複數的運算法則和多項式代數的基礎,可能引起興趣;實際上,這個推導甚至對於中學生來說,都是可以理解的。     

综合题新编选登

题1 0 6 　有A ,B二人,按下列规则掷骰子,第一次,如果出1点,下一次还由同一人继续掷;如果出现其他点数,下一次由另一人掷.第一次是A掷,设第n次是A掷的概率为pn.1)用pn 表示pn + 1;2 )求limn→∞pn.解　1)设第n次是A ,B投掷的概率记做pn,qn,第n - 1次是A ,B投掷的概率是pn -1,qn -1,不是A ,B投掷的概率分别为1-pn -1,1-qn -1.则pn=pn -1·16 +qn -1·56 .又pn+qn=1,将上两式相结合可知pn=- 23pn -1+ 56 ,从而pn + 1=- 23pn+ 56 .2 )由pn + 1=- 23pn+ 56得pn + 1- 12 =- 23(pn- 12 )从而pn- 12 =(- 23) n -1(p1- 12 ) ,又p1=1,limn→∞(pn…     

二项式定理的应用

二项式定理既是初中代数有关乘法公式的推广,又是学习概率知识的必要基础,该节内容在新教材中的地位较旧教材有所加强,成为排列组合及概率统计的交汇点.该节的教学要求是掌握二项式定理和二项展开式的性质,并能用它们计算和证明一些简单的问题.本文立足于把该内容作为一个新的知识交汇点,结合相关高考试题就其应用力图作一些分析和归类.1　概率统计问题中的应用例1　( 2 0 0 0·天津·理·1 3)某厂生产电子元件,其产品的次品率为5,现从一批产品中任意地连续取出2件,其中次品数ε的概率分布是怎样的?ε0 1 2p分析　n次独立重复试验中所体现…     

面积法解题举隅

对于一些涉及三角形的解析几何题 ,灵活地引用三角形面积公式 ,可以优化解题过程 ,请看下面的例图 1子 .例 1　在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ= 6 0° ,Ｓ△ＡＢＣ=8,试求ＢＣ边的中点Ｍ的轨迹方程 .解　以Ａ为原点 ,直线ＡＣ为ｘ轴 ,建立如图 1所示的直角坐标系 ,设Ｍ (ｘ,ｙ)(ｘ>0 ,ｙ >0 ) ,则　ＡＣ =2 (ｘ - 33ｙ) ,　ＡＢ =2·2 33ｙ ,∵　Ｓ△ＡＢＣ=12 ·ＡＣ·ＡＢ·ｓｉｎ∠ＢＡＣ =8,∴　 12 ·2 (ｘ - 33ｙ)·2·2 33ｙ·ｓｉｎ6 0°=8.故点Ｍ的轨迹方程是ｘｙ - 33ｙ2 =4　 (ｘ≥4 42 73,轨迹是双曲线在第一象限内的一支 ) .图 2例 2　如…     

高階等差級数

1+1+1+…+1=n,1+2+3+…+n=(1/2)n(n+1),1+3+6+…+(1/2)n(n+1)==(1/1·2·3)n(n+1)(n+2)1+4+10+…+(1/1·2·3)n(n+1)(n+2)==(1/1·2·3·4)n(n+1)(n+2)(n+3),…………………要証明这些式子是不困难的。例如:因为     

"全能数学家"——昂利·庞加莱

18 5 4年 4月 2 9日 ,昂利·庞加莱 (又译昂利·彭加莱 )出生在法国南锡 ,其父莱昂 ·庞加莱是一位一流的生理学家兼医生、南锡医科大学教授 ,他因精湛的医术和高尚的医德博得了人们的尊敬和爱戴 ;叔父安托万·庞加莱 ,曾为国家道路桥梁部的检查官 ,安托万有两个儿子———雷蒙·庞加莱和吕西安·庞加莱 ,雷蒙曾于 1 91 2年、1 92 2年和 1 92 6年几度组阁 ,出任总理兼外交部长 ,1 91 3年 1月至 1 92 0年初 ,荣任法兰西第三共和国第九届总统 ,而吕西安是中等教育局局长 ,并在大学担任高级行政职务 .昂利·庞加莱就是这个显赫家族中的一员 .1…     

排列、组合、二项式定理

选择题 :本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 6 0分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .1.用五种不同的颜色给图中各部分涂色 ,相邻图 1　第 1题图(有公共边 )部分涂不同色 ,则不同的涂色方法有 (　　 )(Ａ) 2 6 0种 .　 (Ｂ) 2 4 0种 .(Ｃ) 180种 .　 (Ｄ) 12 0种 .2 .用 1,2 ,3,4 ,5 ,7这 6个数字排成无重复数字的六位数 ,其中偶数数字不相邻的排法有 (　　 )(Ａ)Ｐ66-Ｐ55种 .　　　 (Ｂ)Ｐ66-Ｐ4 4 ·Ｐ22 种 .(Ｃ)Ｐ12 ·Ｐ15·Ｐ14 种 .　　 (Ｄ)Ｐ4 4 ·Ｐ25种 .3.6个人并排站成一排 ,乙必须站在甲的右方 ,丙必…     

图的点可区别Ⅳ-全色数的一个上界

δ和△分别表示图G的最小度和最大度,利用概率方法研究点可区别IV-全色数的上界,证得如果δ≥2,δ≥61n△,n≤([16Δ(Δ-1)]~(δ-1))/(96π·δ~(δ+2)·(Δ+1)),那么x_(vt)~(iv)(G)≤16Δ(Δ-1).