生活中的椭圆

经过多年的对大量经验数据的研究,德国天文学家约翰尼斯·开普勒创立了描述太阳系行星运动规律的三大定律.其中第一大定律表明太阳系行星的运动轨道是以太阳为一焦点的椭圆.这些椭圆的离心率与0很接近,因此近似于一个圆.拿地球来说,其离心率e=0.017,火星的离心率e=0.093.天王星的离心率e=0.046.水星与冥王星的轨道相对稍扁一点,其离心率分别为0.206和0.249.     

如何发现开普勒第三定律

文献 [1 ]谈到求解应用题时 ,在模型形式固定的前提下 ,求所研究问题解的几种思路和方法 ,若干读者认为很受启发 .建议对 [1 ]中讨论一节所提出的 ,在模型形式不固定的前提下 ,怎样找到较好的模型作一些介绍 .为此 ,本文从拟合角度研究一个著名的应用问题 :从一组观测资料出发 ,如何发现开普勒 (Ｋｅｐｌｅｒ,1 5 71 -1 63 0 )第三定律 .1　模型的建立开普勒三定律第一定律 :行星绕太阳运行的轨道是椭圆 ,太阳位于椭圆的一个焦点上 .第二定律 :连接行星与太阳的向径 ,在相等的时间内扫过的面积相等 .第三定律 :行星在其轨道上运行周期的平方…     

例析圆锥曲线离心率范围问题的求解

离心率是圆锥曲线的一个重要性质 .椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要数据 ,双曲线的离心率是描述双曲线“张口”大小的一个重要数据 ,而抛物线离心率为特殊值 .圆锥曲线的统一定义是按离心率范围不同 ,而确定圆锥曲线中的椭圆、双曲线、抛物线的类型 .高考试题对离心率的求值多次相继出现 ,受其启发 ,本文现对圆锥曲线离心率变化范围进行探究 ,对常见相关习题进行归纳 .1　由曲线图形的性质求离心率的范围从曲线的方程和性质 ,结合图形特定形状 ,求解离心率的范围 .例 1　过双曲线x2a2 - y2b2 =1　 (a >0 ,b>0 )的右焦点 F作双曲…     

用圆锥曲线的定义搭桥铺路

解析几何中某些问题 ,若能灵活运用圆锥曲线定义搭桥铺路 ,便能使解题过程简洁明快 ,收到事半功倍的效果 .1　求圆锥曲线的离心率例 1　 (2 0 0 1年全国高考理 (7)题 )若椭圆经过原点 ,且焦点为Ｆ1(1,0 ) ,Ｆ2 (3,0 ) ,则其离心率为(　　 )(Ａ) 34 .　 (Ｂ) 23.　 (Ｃ) 12 .　 (Ｄ) 14.分析 :∵ 2ｃ=|Ｆ1Ｆ2 |=2 ,∴ｃ =1,又∵椭圆经过原点 ,根据椭圆第一定义 ,∴ 2ａ =|ＯＦ1| |ＯＦ2 |=1 3=4,∴ａ=2 ,∴ｅ=ｃａ =12 ,故应选 (Ｃ) .例 2　 (1999年全国高考理 (15 )题 )设椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ>0 )的右焦点为Ｆ1,右准线为ｌ1,若过Ｆ…     

例谈离心率范围

离心率作为描述圆锥曲线的重要参量,在解析几何中尤显重要,在历年的高考中几乎每年都出现.求离心率的范围必须结合圆锥曲线的性质、不等式、函数等知识,要求离心率范围就必须建立不等关系,通过什么途径呢?本文就几种常规求法通过例题展现给读者. 例1 已知F1,F2是椭圆的两个焦点,点P在椭圆上,且∠F1PF2=60°,求椭圆离心率的取值范围.     

椭圆、双曲线另一组离心率公式及其应用

求椭圆、双曲线离心率一般涉及到解析几何、平面几何、代数等多个知识点,综合性强方法灵活,解题关键是挖掘题中的隐含条件,可先找出含a,b,c的等式关系,再求离心率·在教学过程中,笔者发现椭圆、双曲线另一组离心率公式给我们解决某一类离心率问题会带来意想不到的“神奇”效果!现用定理的形式叙述并证明·1离心率公式定理1(如图1)设椭圆x2a2+yb22=1(a>b>0)的两个焦点为F1、F2,P是椭圆上异于长轴端点的任意一点,在△PF1F2中,记∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,∠F1PF2=γ,e是椭圆的离心率,则有sinαsin+γsinβ=e·图1图2证明在△PF1F2中,|sPinFα2|=|sPinFβ1|=|Fsi1nFγ2|,则|PF2|+|PF1|sinα+sinβ=|Fsi1nFγ2|,∴sinα2+asinβ=si2ncγsinαsin+γsinβ=22ac=e·定理2(如图2)设双曲线ax22-by22=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,P是双曲线上异于实轴端点的任意一点,在△PF1F2中,记∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,∠F1PF2=γ,e是双曲线的离心率,则有|sinαsin...     

三个共轴等离心率椭圆的有趣性质

我们知道,椭圆x2/a2＋y2/b2=λ1（λ1〉0）与椭圆x2/a2＋y2/b2=λ2（λ2〉0,λ2≠λ1）有相同的对称轴（x轴和y轴）和相等的离心率e=（（2a-b2）/a）~（1/2）,下面我们给出关联三个共轴等离心率椭圆的两个有趣性质.定理1给定两个共轴等离心率椭圆C1：     

求圆锥曲线离心率“四法”

离心率是圆锥曲线的一个重要的参数 ,下面例析几种常用求法 .一·估算法即利用圆锥曲线的离心率的范围来解题 ,有时可用椭圆的离心率ｅ∈ ( 0 ,1 ) ,双曲线的离心率ｅ>1 ,抛物线的离心率ｅ =1来解决 .例 1　 ( 2 0 0 2年全国高考题 )设θ∈0 ,π4,则二次曲线ｘ2 ｃｏｔθ -ｙ2 ｔａｎθ =1的离心率的取值范围为 (　　 ) .(Ａ) 0 ,12 　　　 (Ｂ) 12 ,22(Ｃ) 22 ,2 (Ｄ) ( 2 ,+∞ )解　由θ∈ 0 ,π4,故有ｃｏｔθ >0 ,ｔａｎθ >0 ,因此所给的二次曲线是双曲线 .由双曲线的离心率ｅ>1知 ,排除 (Ａ) (Ｂ) (Ｃ) ,而选 (Ｄ) .二·公式法已知圆…     

三个共轴等离心率椭圆的有趣性质

我们知道,椭圆x2/a2+y2/b2=λ1（λ1>0）与椭圆x2/a2+y2/b2=λ2（λ2>0,λ2≠λ1）有相同的对称轴（x轴和y轴）和相等的离心率e=（（2a-b2）/a）^1/2,下面我们给出关联三个共轴等离心率椭圆的两个有趣性质.定理1给定两个共轴等离心率椭圆C1:     

关于曲线的离心率

1　求离心率的值对于求曲线的离心率的值的题目 ,应从曲线的性质入手 ,通过距离之间的关系 ,来求离心率 .例 1　 ( 1999年全国高考题 )设椭圆 ｘ2ａ2 ｙ2ｂ2 =1(ａ >ｂ >0 )的右焦点为Ｆ1 ,右准线为ｌ1 .若过Ｆ1 且垂直于ｘ轴的弦的长等于点Ｆ1 到ｌ1 的距离 ,则椭圆的离心率是 .解　设Ｆ1 (ｃ ,0 ) ,则右准线为ｌ1 :ｙ =ａ2ｃ ,将ｘ =ｃ代入椭圆方程 ,得ｙ =±ｂ· ａ2 -ｃ2ａ2 =± ｂ2ａ .即过Ｆ1 的弦长为 2 |ｙ| =2ｂ2ａ .∴ ａ2ｃ -ｃ =ａ2 -ｃ2ｃ =2·ｂ2ａ=2·ａ2 -ｃ2ａ .故　ｅ=ｃａ =12 .例 2　根据下列条件分别求出各圆锥曲线…     

从一道轨迹问题看三种圆锥曲线

从一道轨迹问题看三种圆锥曲线董升伟（陕西咸阳市教研室７１２０００）椭圆、抛物线和双曲线按其各自的初等性质来说，虽系三种不同的曲线，但作为直圆锥的截线又显示出它们的统一性．从天体（卫星、行星、慧星等）运行的轨道看，同样可归结为这三种曲线，从离心率的角度...     

一道课本复习题的解后探讨

题目　如图1,从椭圆上一点Ｐ向ｘ轴作垂线,图1　题目图恰好通过椭圆的一个焦点,这时椭圆的长轴端点Ａ与短轴端点Ｂ的连线平行于ＯＰ,求椭圆的离心率.(高中课本《解析几何》复习参考题二第12题,以下称原题)这是求离心率问题的一个典型例子,故值得我们深入研究,为此,本文先给出几种具有代表性的解法,然后再对它进行探讨.解法1　设椭圆方程为ｂ2ｘ2 ａ2ｙ2=ａ2ｂ2(ａ>ｂ>0),半焦距为ｃ,由题设知ｘＰ=-ｃ,代入椭圆方程解得ｙＰ=ｂ2ａ.∵ｋＯＰ=ｋＡＢ,∴-ｂ2ａｃ=-ｂａ,∴ｂ=ｃ,∴ａ2=2ｃ2,∴ｅ=22.解法2　∵ｋＯＰ=ｋＡＢ=-ｂａ,∴ＯＰ的方程为…     

一个换算公式的启示

文 [2 ]在文 [1 ]的基础上给出如下一个换算公式 .定理　ＡＢ是过圆锥曲线焦点Ｆ的弦 ,其长度为ｄ ,ＡＢ相对于焦点所在对称轴的倾角为θ(θ≠90°) ,ｔａｎθ=ｋ ,ｅ为离心率 ,ｐ为焦点到相应准线的距离 ,则有ｄ与ｋ的关系式 :ｄ=2ｅｐ(1 +ｋ2 )｜ 1 +ｋ2 -ｅ2 ｜ 或ｋ2 =ｅ2 ｄｄ± 2ｅｐ- 1 .在该定理的启示下 ,笔者进一步探究 ,得到一个类似的公式 ,现说明如下 .ＡＢ是经过横向型圆锥曲线顶点 (指的是抛物线的顶点、椭圆长轴顶点、双曲线实轴顶点 )Ａ的弦 ,其长度为ｄ ,斜率为ｋ ,ｅ为离心率 ,ｐ为焦点到相应准线的距离 ,则有ｄ=2ｅｐ 1…     

2012年福建省高考数学试题一对姊妹题的探究

题1(2012年福建理19)椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1,右焦点为F2,离心率e=12.过F1的直线交椭圆于A,B两点,且△ABF2的周长为8.(1)求椭圆方程.(2)设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.试探     

《通讯杯》高中数学综合应用能力竞赛训练题(二)

一、选择题 :本大题共 6小题 ,每小题 5分 ,共30分 .每小题所给的 4个选项中 ,有且仅有一个符合题目要求 .1.已知椭圆的两焦点是Ｆ1(0 ,0 ) ,Ｆ2 (6 ,0 ) ,点Ｐ(6 ,8)在此椭圆上 ,则此椭圆的离心率ｅ =(　　 )(Ａ) 13.　 (Ｂ) 16 .　 (Ｃ) 34.　 (Ｄ) 35 .图 1　第 2题图2 .函数 ｙ =ａｘ,ｙ =ｂｘ,ｙ =ｃｘ 的图象如右图所示 ,则一定有 (　　 )(Ａ )ｌｏｇａｃ <ｌｏｇｂａ <ｌｏｇｃｂ .(Ｂ )ｌｏｇｃｂ <ｌｏｇｂａ <ｌｏｇａｃ.(Ｃ)ｌｏｇｃｂ <ｌｏｇｂａ ,ｌｏｇａｃ<ｌｏｇｂａ .(Ｄ)ｌｏｇｂａ <ｌｏｇｃｂ ,ｌｏｇａｃ<ｌｏｇｃｂ …     

斜率与离心率的一个有趣性质

本文介绍椭圆双曲线离心率与其有关斜率的一个有趣关系式 ,并说明它的应用 ,供读者参考 .定理　l1是过椭圆 x2a2 + y2b2 =1 (a >b >0 )焦点F且与x轴垂直的直线 ,A ,l2 是与F相对应的顶点和准线 ,经过椭圆中心O作斜率为k的直线l与l1,l2 分别交于P ,Q两点 ,则AP⊥AQ的充要条件是k2 + 2 =e +1e(e是离心率 ) .证明　由对称性 ,不妨设F是左焦点 ,则l1,l2 的方程分别是x =-c和x =- a2c.又知l的方程为y =kx ,分别与l1,l2 的方程联立解得点P( -c ,-kc)和Q( - a2c,ka2c) .又知点A( -a ,0 ) ,所以AP⊥AQ kAPkAQ=- 1 - kca -c·- ka2ca - a2…     

椭圆和双曲线的两种新的统一方程

根据圆锥曲线的统一定义所建立的椭圆、双曲线的统一方程为我们所熟知 ,笔者将椭圆、双曲线与直线进行类比得到它们的另外两种统一方程 ,现介绍如下 ,供同学们学习参考 .一、椭圆、双曲线的点离式方程与直线的点斜式方程 y -y1 =k(x -x1 )相类比 ,可以建立由椭圆、双曲线的离心率e及其上一点P(x1 ,y1 )所确定的方程 ,这种形式的方程称为椭圆、双曲线的点离式方程 .命题 1　若点P(x1 ,y1 )是离心率为e,且中心在坐标原点 ,焦点在坐标轴上的椭圆 (或双曲线 )上一点 ,则(1)当焦点在x轴上时 ,方程为y2 -y21 =(e2 -1) (x2 -x21 ) ;(2 )当焦点在y…     

例谈椭圆的离心率问题的解法

<正>1.求椭圆离心率的方法(1)利用椭圆的定义求解椭圆的定义中已经包含了基本量a、c,a的几何意义是半长轴或者是特征三角形(即顺次连接坐标原点、焦点、短轴顶点的三角形)的斜边,c的几何意义是半焦距.利用椭圆的定义往往可以很容易求椭圆的离心率.例1如图1所示,设F1、F2分别是椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左、右焦点,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P     

考点23 椭圆

1.(广东卷,5)若焦点在x轴上的椭圆x22+my2=1的离心率为12,则m=().(A)3(B)23(C)38(D)322.(全国卷,10)设椭圆的两个焦点分别为F1、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为().(A)22(B)22-1(C)2-2(D)2-13.(江苏卷,11)点P(-3,1)在椭圆ax22+y2b2=1(a>b>0)的左准线上.过点P且方向为a=(2,-5)的光线,经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为().(A)33(B)31(C)22(D)21第4题图4.(浙江卷,17)如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点F1、F2在x轴上,长轴A1A2的长为4,左准线l与x轴的交点为M,…     

2008年全国各地高考试题汇编（7）——圆锥曲线方程

1．（江西，7）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1·MF2=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）