第四章 多面体和旋转体

1 棱柱、棱锥、棱台一、选择题 1.下列命题中正确的有( )。 (1)底面是正多边形的棱锥是正棱锥 (2)侧棱与底面所成角都相等的棱锥是正棱锥 (3)侧棱都相等,底面是正多边形的棱锥是正棱锥 (4)侧棱都相等,侧面与底面所成角都相等的棱锥是正棱锥 (A)0个(B)1个(C)2个(D)3个 2.设M={正四棱柱},N={长方体},P={直四棱柱},Q={正方体}则这些集合     

多面体和旋转体

一、判断下列命题的正误(对的在括号内填 .了,,不对的城.x’) 1.有两个侧面垂直于底面的四棱柱是直四棱柱.,() 2.底面是正多边形的梭锥是正棱锥.() 3.有两个面是三角形且互相平行.汀臼J妻余点个面都是梯形的五面体是三棱台.() 4.圆锥侧面展开图扇形的半径等于圆锥底面半径.():5     

新题征展(46)

A　题组新编1 .( 1 )定义集合 A与 B的运算 :A○* B ={x| x∈ A,x∈ B,且 x A∩ B},则( A○* B)○* A =;( 2 )定义集合 A与 B的运算 :A* B ={x| x∈ A,且 x B}.写出含有集合符号“*”、“∩”、“∪”对集合 A和 B都成立的一个等式 .2 .( 1 )设 f ( x) =max{2 - x,2 x - 4,12 x},求 fmin( x) ;( 2 )设 g( x) =min{x2 + 2 ,32 ( x + 2 ) ,2 - x},求 gmax( x) .(第 1、2题由孙大志供题并作答 )3.( 1 )侧棱长等于底面边长的正棱锥不可能是 (　　 ) .( A)正三棱锥　　 ( B)正四棱锥( C)正五棱锥　　 ( D)正六棱锥( 2 )正三棱锥相邻…     

多面体和球

1．本单元重、难点分析 本单元的重点：1）了解多面体和凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、球等几何概念；2）掌握一般棱柱、直棱柱、正棱柱的区别和联系，正棱锥和球的性质，球的表面积和体积公式；3）会解决棱柱的对角面以及平行于底面的截面的有关问题．     

数学解题中的“动”与“静”

动中有静 ,静中有动 .在解决数学问题时 ,如能将这种观点运用其中 ,则有利于加深对概念的认识 ,揭示本质 ,发现规律 .一、“静中有动”例 1　在正ｎ棱锥中 ,相邻两侧面所成的二面角的取值范围是 (　　 ) .( 1 994年全国高中数学联赛试题 )(Ａ) ( ｎ -2ｎ π ,π)　 (Ｂ) ( ｎ -1ｎ π ,π)(Ｃ) ( 0 ,π2 ) (Ｄ) ( ｎ -2ｎ π ,ｎ -1ｎ π)解　通常是针对一个“静止”的正ｎ棱锥计算 ,由于ｎ不确定 ,不容易得出结论 .如果从运动的观点出发 :让正ｎ棱锥的底面“静止” ,顶点由底面正ｎ边形的中心向上沿着垂直于底面的方向“运动”直到无穷远处…     

立体几何是非题一组

1.有两个面相互平行,而其余各面是平行四边形的多面体,则一定是棱柱。(对/错) 2.已知三棱锥底面是正三角形,侧面都是等腰三角形,则三棱锥一定是正棱锥。(对/错) 3.有两个面是三角形且互相平行,而其余三个面都是梯形的五面体,必是三棱台。(对/错) 4.直棱柱的侧面展开图是矩形,而斜棱柱的侧面展开图是平行四边形。(对/错) 5.和圆台的轴平行的截面是等腰梯形。(对/错) 6.已知圆的顶角是120°,则轴截面是过     

談談正棱柱、正棱錐、正棱台直观图的合理画法

画好正棱柱、正棱锥、正棱台的直观图,关键之一是怎样画好在水平平面的底面。而画好这个底面正多边形,又取决于底面上的轴测轴Ox,Oy的选择。一般地,在底上选取Ox轴,Oy轴的方法有三种: (1) 以底面正多边形的一边或与这边平行的对角线所在的直线为Ox轴,而以这边上的垂线为Oy轴(图1中的<2>,<5>)。 (2) 以一边上的垂线为Ox轴,而以这边或与这边平行的对角线所在的直线为Oy轴(图1中的<1>,<4>,<6>)。 (3) 正方形还可以以两条对角线所在的直线分别为Ox轴和Oy轴(图1中的<3>)。选定了轴测轴后,由正多边形的各顶点向Ox轴,Oy轴引垂线,得到一些横线段和纵线段,然后按照直观图的画法原则,就可以得到这些正多边形在水平平面内的绘象(图2)。对应于上面的底的绘象,所画出的正棱柱、正棱     

用平面简单示意图代替多面体的直观图

在解答与棱锥、棱台底面平行的截面有关的问题时 ,用平面简单示意图代替直观图 ,既能省去画直观图的麻烦 ,又能起到想象出它们构造特点的作用 .再利用相似比 ,能顺利地解答这方面的问题 .例 1　已知三棱锥Ｐ ＡＢＣ的侧面积为Ｑ ,Ｍ为高ＰＯ上一点 ,且ＰＭ =13ＰＯ ,过Ｍ作平行于底面的截面 ,求截面与棱锥底面之间棱台部分的侧面积 .图 1　例 1图解　如图 1,设过Ｍ且平行于底面的截面为底的小棱锥的侧面积为Ｓ0 ,棱锥的高为 3ｈ ,则小棱锥的高为ｈ ,由相似比得Ｓ0Ｑ =( ｈ3ｈ) 2 =19,得Ｓ0 =19Ｑ .故所求棱台部分的侧面积为Ｑ -Ｓ0 =Ｑ - 19…     

向量共线和不共线

预备知识 :方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 .规定 0 → 与任一向量平行 .任一组平行向量都可移到同一条直线上 ,因此平行向量也叫做共线向量 .由预备知识易证定理 1.定理 1　一组平行向量共线 ,0→ 与任一向量共线 .定理 2　向量ｂ→ 与非零向量ａ→ 共线的充要条件是有且只有一个实数λ ,使得ｂ→ =λａ→ .(参见新教材高一《数学》第一册下第 10 4页 )定理 3　ａ→ ,ｂ→ 具备下列情况中的任何一种情况 ,都可以说ａ→ ,ｂ→ 共线 .1)ａ→ ,ｂ→ 中至少有一个为 0 → ;2 )ａ→ ,ｂ→ 都不为 0 → ,存在一个实数λ ,使得ｂ→=λａ→ …     

利用等积变换求三棱锥体积的几种技巧

在求三棱锥的体积时 ,当棱锥的底面面积或高较难直接求 ,甚至不能求时 ,这就要求我们将三棱锥的底面或高进行变换 ,利用等积变换来求其体积 .利用等积变换求三棱锥的体积时 ,常有如下几种技巧 :图 1(1)1　换顶点 ,换底面例 1　如图 1 (1 )所示 ,正方形ABCD的边长为 1 ,点E ,F是BC ,CD的中点 ,现沿AE ,EF ,AF折成一个三棱锥 ,使B ,C ,D三点重合 ,记作S如图 1 (2 ) ,求所得三棱锥S -AEF的体积 .分析　此三棱锥体积直接求解难点在于选择AEF为底面 ,较难求出其锥体的高 ,这时 ,我们若将此锥体的底面与顶点换一下 ,换成以点A为顶点 ,…     

斜高相等的棱锥顶点在底面的射影问题

斜高相等的棱锥顶点在底面的射影问题,不少书刊作了不同的论述。但并没有得出正确的结论。例如。 1.《立体几何》课本第52页第18题(2):平面ABC外一点P到△ABC三边的距离相等,O是△ABC的内心。求证:OP⊥平面ABC。 2.《数学通报》1984年第一期《关于三棱锥顶点在底面上射影的位置》一文中给出:当三棱锥的三条侧高相等时,顶点在底面上的射影为底面的内心。 3.一九八五年上海市高考数学试卷理科及文科第二大题(4)小题:若一个棱锥的底面是边数大于3的凸多边形。它的顶点到底面各边的距离都相等。     

等积转化在求棱锥体积中的妙用

所谓等积转化,即将欲求棱锥转化为与其等体积的新棱锥求解;“等积法”对求棱锥体积既具有灵活性,又具有规律性;本文介绍四种技巧;１　顶点替换法;三棱锥顶点相互替换后而等积;利用该特性是求三棱锥体积的常用方法;例１　已知四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ的底面是面积为２３的菱形,侧面ＰＡＤ是等边三角形且与底面垂直,Ｅ为侧棱ＰＣ的中点（如图）;求三棱锥Ｃ－ＡＤＥ的体积;ＢＣＥＰＤＦＡ解　过Ｐ作ＰＦ⊥ＡＤ于Ｆ,则ＰＦ⊥底面ＡＢＣＤ;由题意可求得ＰＦ＝３,∴ＶＣ－ＡＤＥ＝ＶＥ－ＡＣＤ＝１３·Ｓ△ＡＣＤ·１２ＰＦ＝１３·３·…     

向量在立体几何中的应用举例

在立体几何中,证明平行与垂直时,使用空间 向量往往比较方便,通常也不需要添加辅助线。 例1 如图1,四 棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形, 侧棱PA垂直于底面,点E,F分别是AB与 PC的中点．     

空间向量,夹角与距离

1.本单元重、难点分析本单元的重点是:空间向量的概念和运算,空间向量的坐标运算,直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念,两种角(斜线与平面所成的角,二面角)的概念和计算,两个平面垂直的判定和性质,空间四种距离的定义和计算.本单元的难点是:对概念的准确理解和掌握,运用向量工具研究空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,计算有关角和距离.2.典型例题选讲图1例题图例题已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC=21AB=1,M是PB的中点.(Ⅰ)证明:面PAD⊥面…     

立体几何复习(续)

例3.正六棱锥V—ABGDEF的侧棱VA为10cm,底面边长为8cm,平行于它的底面截面面积为32(3~1/ 2)/3(cm~2),求①截面与底面间的距离,②棱锥V—ABCDEF的侧面积, 略解:①从顶点V作VO⊥面ABC,交截面于O_1,则O_1V也垂直于这截面,     

0被“双规”以后的话题

高中数学新教材 [1 ]第一册 (下 )第五章“平面向量”在给出定义“长度为 0的向量叫做零向量 ,记作 0”后 ,先后对它作了下面两个“规定”(本文简称“双规”) :“0与任一向量平行”(第 95页 )以及“零向量与任一向量的数量积为 0”(第 1 1 6页 ) ,并且接着在给出“a⊥b a·b=0”的前面明确指出“a、b都是非零向量”(第 1 1 7页 ) .这也就是说 ,新教材把平面向量集内的零元——— 0与其他元素的关系只归入共线而回避垂直 :当a·b=0时当且仅当a、b都不是零向量时 ,有a⊥b ;若a或b中有零向量时 ,未说a⊥b是否成立 .两向量的共线和垂直是两向量…     

反例·证明·怪论

有如下一道立体几何判断题 :底面是正三角形 ,相邻两侧面所成二面角都相等的三棱锥是正三棱锥吗 ?甲同学给出了否定的回答 ,并构造了如下“反例” :图 1　甲同学所举反例示意图如图 1 ,Ｐ -ＢＣＥ为正三棱锥 ,在ＰＥ上取一点Ａ ,使ＡＢ =ＢＥ ,连ＡＢ ,ＡＣ .推知ＡＢ =ＢＣ =ＣＡ ,即△ＡＢＣ为正三角形 ,从而三棱锥Ｐ -ＡＢＣ的底面为正三角形 ,相邻两侧面所成的二面角都相等 ,而非正三棱锥 .图 2　乙同学证明用图但 ,乙同学不同意甲的判断 ,并给出了如下“证明” :如图 2 ,设三棱锥Ｐ -ＡＢＣ满足所设条件 .作ＡＨ⊥面ＰＢＣ ,垂足为Ｈ ,…     

向量求角

新教材引入向量,为用“数”的方法,研究 立体几何“形”的问题,建立了崭新的平台．运 用向量运算,降低了思维量,减少构造辅助图 形,使画面清晰易于想象． 例1 (2005年高考题)如图1,在四棱锥 P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥ 底面ABCD,AB=3~(1/2),BC=1,PA=2,求直线 AC与PB所成角的余弦值．     

正n棱锥的一个有趣性质

性质 点P是正n棱锥底面内的任一点,（n≥3,n∈N^＊）,过点P引底面的垂线与正n棱锥的n个侧面所在平面交于B1,B2,…Bn,若正n棱锥的高为h（定值）,则PB1＋PB2＋…＋PBn为定值。     

解决立体几何问题的金钥匙——中点

<正>中点是立体几何中的重要概念,它与平行、垂直有着密切联系,是联系平行和垂直的纽带和桥梁.可以说中点在立体几何中就代表平行和垂直.平行和垂直又是立体几何的核心内容,在解题时抓住了中点就抓住了解决问题的方向.中点不够用再找再作,中点是解决立体几何问题的金钥匙.下面以例题来说明,供参考.如图1,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是菱形,SA⊥底面ABCD,M为SA的中点,N为CD的中点.(Ⅰ)证明:直线MN∥平面SBC;