平面闭折线的有向面积及其应用

读了贵刊文 [1 ],得益匪浅 .在该文的启发下 ,本文建立一般平面闭折线的有向面积概念 ,并略述其应用 .我们约定 :符号Ａ(ｎ)表示复平面内的任意一条闭折线Ａ1Ａ2 Ａ3…ＡｎＡ1;Ａｉ 表示复平面内任意一点的字母 ,同时也表示这个点所对应的复数 .定义 1　式子12 Ｉｍ∑ｎｉ=1ＡｉＡｉ+1(其中Ａｎ+1为Ａ1)的值 ,称为闭折线Ａ(ｎ)的有向面积 ,记作△Ａ(ｎ) ,即△Ａ(ｎ) =12 Ｉｍ∑ｎｉ =1ＡｉＡｉ+1,其中Ａｎ+1为Ａ1.定义 2　闭折线Ａ(ｎ)的有向面积的绝对值 ,称为闭折线Ａ(ｎ)的面积 ,记作ＳＡ(ｎ) ,即ＳＡ(ｎ) =｜△Ａ(ｎ) ｜ .不难验证 ,当…     

圆内接闭折线重心的一个性质及应用

1、定理及引理 圆内接闭折线的重心具有下面的性质：定理设闭折线A1A2…AnA1内接于圆O，其重心为G，AiG的延长线交圆O于点Bi，     

空间折线与其中点折线周长间的一个关系

我们知道,依次连接三角形各边中点所得三角形的周长是原三角形周长的一半．一般地,依次连接折线各边中点所得的折线称为中点折线．那么,任意一条封闭折线（不一定是平面的）,它的中点折线的周长与原折线的周长之间有什么关系呢？先给出如下引理引理１　△ＡＢＣ中,ＡＢ＋ＡＣ≤ＢＣ·ｃｓｃＡ２．其中当且仅当ＡＢ＝ＡＣ时取等号．证　在△ＡＢＣ中,ＢＣ２＝ＡＢ２＋ＡＣ２－２·ＡＢ·ＡＣ·ｃｏｓＡ＝（ＡＢ＋ＡＣ）２ｓｉｎ２Ａ２＋（ＡＢ－ＡＣ）２ｃｏｓ２Ａ２≥（ＡＢ＋ＡＣ）２ｓｉｎ２Ａ２,∴ＡＢ＋ＡＣ≤ＢＣ·ｃｓｃＡ２．…     

闭折线一条性质的应用

易证 ,对于一组闭折线A1A2 A3 …An,总有A1A2 +A2 A3 +A3 A4+… +An -1An+AnA1=0 .这条性质简明 ,应用却很广泛 .1　简化向量式例 1　化简AB -AC +BD -CD .解　原式 =AB +CA +BD +DC =AB +BD +DC +CA =0 .例 2　如图 1,在△ABC中 ,A′ ,B′ ,C′分别为BC ,CA ,AB的中点 ,O为△ABC所在平面内任一点 ,求证 :OA +OB +OC =OA′+OB′+OC′ .图 1　例 2图解　易知 ,B′A =12CA ,C′B =12 AB ,A′C =12BC .∵OB′ +B′A =OB′ +12 CA =OA ,OC′ +C′B =OC′ +12 AB =OB ,OA′ +A′C =OA′ +12 BC =OC …     

关于圆外切闭折线的几个不等式

设△ABC的边长为a ,b,c,其内切圆为⊙ (I,r)即“圆心为I,半径为r” ,则有下面的不等式成立 (证略 ) :AI2 +BI2 +CI2 ≥ 14(a2 +b2 +c2 ) + 3r2( 1 )文献 [1 ]中还有以下不等式 :AI+BI+CI≥ 6r ( 2 )( 1 )、( 2 )中等号成立当且仅当a=b=c.本文将推广这两个不等式 ,证明关于圆外切闭折线的几个不等式 .定理 1　设平面闭折线A1 A2 A3…AnA1 的内切圆为⊙ (I,r) ,其边长为 ｜AiAi+1 ｜=ai(i=1 ,2 ,… ,n ,且An+1 为A1 ) ,则有∑ni=1AiI2 ≥ 14∑ni=1a2 i+nr2 ( 3)当且仅当a1 =a2 =… =an 时取等号 .证明　设已知闭折线的边AiAi- 1 …     

圆外切闭折线的奈格尔点定理

美国数学家R.A.约翰逊在其名著[1]中,介绍了定义三角形"奈格尔点"的定理如下:……     

平面自治系统闭轨的存在性

本文研究一般平面自治系统ｄｘ/ｄｔ＝Ｐ（ｘ，ｙ），ｄｙ/ｄｔ＝Ｑ（ｘ，ｙ）的闭轨的存在性，所得结果不仅较大地推广和改进了已有的结果，而且还可以初步估计闭轨的存在位置．     

平面直角坐标系中凸n边形的面积

在高中平面解析几何教学中,经常遇到已知平面直角坐标系中三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),求△ABC的面积的问题.     

一类具两条不连续相交线的平面系统的闭轨

研究了一类具两条不连续相交线的平面系统的闭轨.利用微分包含理论和点变换的方法,获得了一些有趣的结果,包括滑模解,同宿解和闭轨的存在性.同时给出了闭轨存在的必要条件.     

谈函数与图象以及曲线与方程之间的关系

在函数内容的学习中，我们知道，二次函数y=ax^2＋bx＋c（a≠0）的图象是抛物线．抛物线具有明确的几何特征：即平面内与一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹．在解析几何中，我们常常由图形的几何特征，借助平面直角坐标系，建立曲线的方程，由方程研究曲线．下面借助二次函数来说明函数与图象以及曲线与方程之间的关系．     

用矩阵的秩判断两空间直线及直线与平面的位置关系

空间两直线的位置关系可分为两大类:异面、共面;在同一平面内又分为:平行、相交和重合;直线与平面相对位置可分为:平面与直线平行、直线与平面相交、直线在平面上。这里介绍用矩阵的秩来判断两空间直线及直线与平面的位置关系。引理1非齐次线性方程组a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1,a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2,………………am1x1+am2x2+…+amnxn=bm,有解的充要条件是:系数矩阵A与增广矩阵B的秩RA=RB;且RA=RB=n时有唯一解。引理2设向量βi=(Ai,Bi,Ci)(i=1,2,3),则(β1×β2)·β3=A1B1C1A2B2C2A3B3C3=0三向量共面。定理1设两空间直线L1∶A1…     

闭排队网络中性能势与无穷小实现因子之间的关系

In this paper,the concept of the infinitesimal realization factor is extended to the parameter-dependent performance functions in closed queueing networks. Then the concepts of realization matrix (its elements are called realization factors) and performance potential are introduced,and the relations between infinitesimal realization factors and these two quantities are discussed. This provides a united framework for both IPA and non IPA approaches. Finally,another physical meaning of the service rate is given.     

点、直线、平面之间的位置关系

1．本单元重、难点分析 重点：空间点、线、面间的位置关系;直线、平面平行的判定及性质;直线、平面垂直的判定及性质;异面直线所成角,直线与平面所成角,两平面所成角;点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离．     

点、直线、平面之间的位置关系

1。本单元重、难点分析 本单元的重点：确定平面的依据;直线和直线位置关系中的异面直线关系;异面直线所成角;直线和平面位置关系中的平行、垂直的判定及性质;直线和平面所成的角;平面和平面位置关系中的平行、垂直的判定及性质;二面角。     

点、直线、平面之间的位置关系

1.本单元重、难点分析本单元的重点:四个公理,空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,直线与平面平行的判定及性质,直线与平面垂直的判定及性质,平面与平面平行的判定及性质,平面与平面垂直的判定及性质,两异面直线所成的角,空间直线与平     

“空间点、直线、平面之间的位置关系”研究型小单元教学

为有效培养学生的数学学科核心素养,在深度分析学习内容和学生认知的基础上,依据“五环十步”研究型教学模式对“空间点、直线、平面之间的位置关系”进行小单元整体教学设计.