高考中对函数单调性的考查分析

有关函数单调性的问题 ,是中学数学教学中的重点 ,也是历届高考的热点 .本文例举高考中对函数单调性的考查特点 ,供同学们复习时参考 .1　着眼于函数单调性的定义和性质进行考查1.1　证明单调性例 1　 ( 1991年全国高考题 )证明函数 ｆ(ｘ) =-ｘ3 1,在 ( -∞ , ∞ )上是减函数 .证　设ｘ1 ,ｘ2 ∈ ( -∞ , ∞ ) ,且ｘ1 <ｘ2 ,则ｆ(ｘ2 ) - ｆ(ｘ1 ) =ｘ31 -ｘ32 =(ｘ1 -ｘ2 ) [(ｘ1 ｘ22 ) 2 3ｘ224 ] <0 ,因而 ｆ(ｘ1 ) >ｆ(ｘ2 ) ,即 ｆ(ｘ)在 ( -∞ , ∞ )上是减函数 .1.2　判断单调性例 2　 ( 1992年全国高考题 )函数 ｙ =ｅｘ-ｅ-ｘ2…     

数学高考题别解例谈

数学高考题好似一座蕴藏丰厚的宝库 ,寻觅其间 ,可获奇珍异宝 ,偶得别解三例 ,耐人寻味 .例 1　 (1 997年 理 2 4 )设二次函数ｆ(ｘ) =ａｘ2 ｂｘ ｃ(ａ>0 ) ,方程ｆ(ｘ) -ｘ=0的两个根ｘ1 ,ｘ2 ,满足 0 <ｘ1 <ｘ2 <1ａ.(Ⅰ )当ｘ∈ (0 ,ｘ1 )时 ,证明ｘ <ｆ(ｘ) <ｘ1 ;(Ⅱ )设函数ｆ(ｘ)的图象关于直线ｘ =ｘ0 对称 ,证明ｘ0 <ｘ1 2 .证明涉及到二次函数的不等式 ,比较自然的思路有求差比较法 ,或限定对称轴的位置 ,然后利用二次函数在相应区间上的单调性获解 .但许多考生在用求差比较法时 ,不能据“ｆ(ｘ) -ｘ=0的两个根是ｘ1 ,ｘ2 ”…     

利用函数单调性解竞赛题

本文谈谈利用函数单调性解竞赛题 .一、直接利用单调函数的概念、性质及定理解题纵观近年的各种高中数学竞赛题 ,发现许多问题可由函数的单调性定义和有关单调性的一些常见的定理直接解 .如函数单调性的一个性质 :函数 ｆ(ｘ) =ｘ + ｍｘ(ｍ >0 )在区间( 0 ,ｍ ]内单调递减 ;在区间 [ｍ ,+∞ )上单调递增 (考虑到该函数是奇函数 ,可得其对称区间上的单调性 )就是很有用的结论 .例 1　已知 0 <ａ <1 ,函数ｆ (ｘ) =-ｘ + 1ｘ + 1 ( 0 <ｘ≤ａ)的最大值是.( 2 0 0 2年《通讯杯》高中数学综合应用能力竞赛题第 7题 )解　由于函数ｘ + 1ｘ在区间…     

单调函数及其应用

设 f为定义在D上的函数 ,若对于D中任意两个数x1,x2 ,当x1f(x2 )时 ,称 f为D上严格递减函数 .递增函数和递减函数统称为单调函数 ,函数的单调性是函数的重要性质之一 ,利用函数的单调性 ,可以比较函数值的大小 ,证明一些不等式以及解决某些方程问题和函数极值问题 .例 1　证明 |x1+x2 +… +xn|1+|x1+x2 +… +xn|≤ |x1|1+|x1|+|x2 …     

函数的单调性在解题中的应用

函数的单调性是函数的重要性质之一 ,本文介绍它在解某些类型的数学题中的应用 .1　在方程问题中的应用例 1　 (北京市高一数学竞赛 ,1998年初赛 )试确定方程3ｘ2 -9 4ｘ2 -16 5ｘ2 -2 5 =12 0ｘ的解集 .解　记 ｆ(ｘ) =3 ｘ2 -9 4ｘ2 -16 5ｘ2 -2 5 ,　　　 ｇ(ｘ) =12 0ｘ .显然有ｘ >0 ,且有ｆ( 5 ) =ｇ( 5 ) ,即 5是方程ｆ(ｘ) =ｇ(ｘ)的一个根 .下面我们证明 5是方程ｆ(ｘ) =ｇ(ｘ)的唯一的一个根 .容易证明 ｆ(ｘ)在 ( 0 , ∞ )是增函数 ,ｇ(ｘ) 在 ( 0 , ∞ )是减函数 .若方程 ｆ(ｘ) =ｇ(ｘ)除了 5以外还有另一根ｘ0 ,当ｘ0 >5时 ,…     

关于函数f(x)=(ax b)～(1/2) (cx d)～(1/2)值域的一个定理

对于函数ｆ(ｘ) =ａｘ ｂ ｃｘ ｄ的值域 ,当ａ ,ｃ同号时 ,显然可以用函数的单调性求解 ;当ａ ,ｃ异号时 ,不能用函数单调性求解 ,近几年各数学刊物介绍了许多好的解法 .本文试给出一个求函数ｆ(ｘ)值域的定理 ,从根本上解决这种函数的值域求解问题 .为了叙述方便 ,设ｆ(ｘ) =ａｘ ｂ ｄ-ｃｘ(ａ>0 ,ｃ>0 ) .下面先给出一个引理 .引理　设ｆ1 (ｘ) =ａｘ ｂ ,ｆ2 (ｘ) =ｄ -ｃｘ(ａ>0 ,ｃ>0 ) ,则ｆ1ｄｃ ｆ2 - ｂａ =ｆ1ｄｃ ｆ2 (ｘ) ｆ2 - ｂａ ｆ1 (ｘ) .证明　因为ｆ1ｄｃ ｆ2 - ｂａ =ａｄｃ ｂｄ ｂｃａ =(ａｄ ｂｃ) 2ａｃ ,…     

抽象函数的解法

一般常见的初等函数有解析式 ,把未给出解析式的函数称为抽象函数 .1　定义法　对于抽象函数及其应用的研究 ,常有如下方法 .从函数的单调性、奇偶性、周期性等定义出发来研究函数的性质 .例 1　已知ｘ ,ｙ∈Ｒ 时 ,ｆ(ｘｙ) =ｆ(ｘ) ｆ(ｙ) ,当ｘ >1时 ,ｆ(ｘ) >0 ,求证 :ｆ(ｘ) 在Ｒ 上为增函数 .分析 :从增函数的定义着手 ,结合关系式 ｆ(ｘｙ)=ｆ(ｘ) ｆ(ｙ) 及已知条件导出结论 .证　在Ｒ 上任取ｘ1,ｘ2 ,且 0 <ｘ1<ｘ2 ,则 ｘ2ｘ1>1.∵ｘ >1,ｆ(ｘ) >0 ,ｆ(ｘｙ) =ｆ(ｘ) ｆ(ｙ) (1)∴ ｆ(ｘ2ｘ1) =ｆ(ｘ2 ·1ｘ1) =ｆ(ｘ2 ) …     

探求法确定函数单调区间的技巧

探求法确定函数单调区间 ,是指用定义法求函数单调区间过程中 ,因无法直接确定因式的正负号而利用解不等式的方法求得单调区间的方法 .作为推理证明的一种补充手段 ,它对于学生而言比较容易接受 ,而且不改变思维的延续性与整体性 .下文通过一些典型的例题来剖析探求法的解题实质与运用技巧 .例 1　已知函数 ｆ(ｘ) =ｘ2 - 3ｘ ,ｘ∈Ｒ ,1 )判断函数的单调性并证明 ;2 )求 ｆ(ｘ)在 [- 2 ,2 ]上的最大值 ,并指出何时取到最大值 .解　 1 )设ｘ1<ｘ2 ,则　ｆ(ｘ1) - ｆ(ｘ2 )=ｘ3 1-ｘ3 2 - 3ｘ1+ 3ｘ2=(ｘ1-ｘ2 ) (ｘ21+ｘ1ｘ2 +ｘ22 - 3) ,图…     

两类易混淆的含参问题辨析

说明 :解中 2 )和 3)用到一个基本原理 :若函数ｆ(ｘ) 在其定义域Ｄ上有最小值ｆ1和最大值 ｆ2 ,则ｆ(ｘ) <ｇ( ｙ) 在Ｄ上恒成立的充要条件是ｆ2 <ｇ( ｙ) ;ｆ(ｘ) >ｇ( ｙ)在Ｄ上恒成立的充要条件是ｆ1>ｇ( ｙ) .而要运用这一原理解决问题 ,关键在于要先分离变量 ,即将主变元与参数分离 ,化Ｆ(ｘ ,ｙ) >0型为ｆ(ｘ) >ｇ( ｙ) 或ｆ(ｘ) <ｇ( ｙ) 型 ,犹如例 1解中化原不等式为ｍ <2ｘ - 1ｘ2 - 1 或ｍ >2ｘ - 1ｘ2 - 1一样 .例 2　已知ｆ(ｘ) =- 3ｘ2 ｍ( 6 -ｍ)ｘ ｎ ,且ｆ(ｘ) =0的一根大于 1而另一根小于 1 .当常数ｎ >- 6时 ,求ｍ的取…     

构造函数比较大小

构造函数解题是数学中比较常用的一种方法 ,比较常用的函数有一次函数、二次函数、分式函数、指数函数等 ,但我们还可以构造其它类型的函数来解决问题 .例题　比较大小ｌｏｇ2 0 0 0 2 0 0 1与ｌｏｇ2 0 0 1 2 0 0 2 .分析　此题看似复杂 ,但如果我们能构造出函数ｆ(ｘ) =ｌｏｇｘ(ｘ + 1 ) (ｘ >1 )并证明其单调性 ,就可迎刃而解 .因而题目便转化到证明ｙ =ｌｏｇｘ(ｘ + 1 )的单调性上 .解　构造 ｙ =ｌｏｇｘ(ｘ + 1 )　 (ｘ >1 ) ,∵　ｆ(ｘ) =ｙ =ｌｏｇｘ(ｘ + 1 ) ,∴　ｘｙ =ｘ + 1 ,　∴　ｘｙ - 1 =1 + 1ｘ .设ｘ1 ,ｘ2 ∈ ( 1 ,+…     

讨论a^x=x根的另一途径

文 [1 ]就方程ａｘ =ｘ根的分布情形作了讨论 ,本文把方程ａｘ =ｘ变形为ａ=ｘ1 ｘ(ｘ>0 ) ,通过函数ｆ(ｘ) =ｘ1ｘ 性质的讨论也可得出方程ａｘ=ｘ根的分布规律 .函数ｆ(ｘ) =ｘ1ｘ(ｘ>0 )有如下性质 :( 1 )当 0 <ｘ<ｅ时 ,ｆ(ｘ)递增 ;当ｘ>ｅ时ｆ(ｘ)递减 .( 2 )在ｘ =ｅ处ｆ(ｘ)取最大值ｅ1ｅ.( 3)ｌｉｍｘ ∞ｆ(ｘ) =1 ,ｌｉｍｘ 0 ｆ(ｘ) =0 ,证　 ( 1 )因为ｆ′(ｘ) =ｘ1ｘ1 -ｌｎｘｘ2 ,显然0 <ｘ <ｅ时 ,ｆ′(ｘ) >0 ,ｆ′(ｘ) >ｅ时 ,ｆ′(ｘ) <0 .所以当 0 <ｘ <ｅ时 ,ｆ(ｘ)递增 ,ｘ>ｅ时 ,ｆ(ｘ)递减 .( 2 )据 ( 1 )的结…     

一道高考题的错解·正解·启示

设函数 ｆ(ｘ) =ｘ2 1 -ａｘ ,其中ａ>0 .1 )解不等式ｆ(ｘ) ≤ 1 ;2 )求ａ的取值范围 ,使函数ｆ(ｘ) 在区间 [0 , ∞ )上是单调函数 .这是 2 0 0 0年理科数学高考第 1 9题 ,我参加了本题的阅卷工作 .众多试卷上的错解、妙解给人许多启迪 .对于 1 ) ,有下面典型性错解 :解原不等式 ,即解不等式　ｘ2 1≤ 1 ａｘ (ｉ) 1 ｘ2 ≤ (1 ａｘ) 2 (ｉｉ) ｘ≤ 0 ,(ａ2 - 1 )ｘ 2ａ≤ 0 (1 )或　 ｘ≥ 0(ａ2 - 1 )ｘ 2ａ≥ 0 (2 )(1 )的解为ｘ≤ 2ａ1 -ａ2 (ａ >1 ) ;(2 )的解为 :当ａ≥ 1时 ,ｘ≥ 0 ;当 0 <ａ<1时 ,0≤ｘ≤ 2ａ1 -ａ2 .…     

从两道试题谈条件功能的挖掘

问题 1　已知函数ｆ(ｘ) =ｌｏｇａｘ -2ｘ 2 (ａ >0 ,ａ≠ 1) .1)求 ｆ(ｘ) 的定义域 ,并判定ｆ(ｘ) 在定义域内的单调性 ;2 )若ｘ∈ [ｍ ,ｎ] (ｎ >ｍ )时 ,ｆ(ｘ) 的值域为 [1 ｌｏｇａ(ｎ -1) ,1 ｌｏｇａ(ｍ -1) ] ,求ｍ和ａ的取值范围 .分析 :1)定义域为 (-∞ ,-2 )∪ (2 , ∞ ) ;当ａ∈ (0 ,1)时 ,ｆ(ｘ)分别在 (-∞ ,-2 )和 (2 , ∞ )上单调递减 ;当ａ∈ (1, ∞ )时 ,ｆ(ｘ)分别在 (-∞ ,-2 )和 (2 , ∞ )上单调递增 .2 )先由条件中的对数表达式ｌｏｇａ(ｍ -1)和ｌｏｇａ(ｎ -1)有意义知ｍ >1,ｎ >1,又由[ｍ ,ｎ] (-∞ ,-2 )∪…     

反函数的性质及应用

反函数是高中数学的重要知识点 ,也是难点 .本文主要系统介绍反函数的性质 ,并巧妙运用这些性质去解答相关的问题 .性质 1　函数 ｙ =ｆ(ｘ) 的定义域 ,正好是它的反函数 ｙ =ｆ- 1(ｘ)的值域 ;函数 ｙ =ｆ(ｘ) 的值域 ,正好是它的反函数 ｙ =ｆ- 1(ｘ)的定义域 .性质 2　函数 ｙ =ｆ(ｘ) 的图象和它的反函数 ｙ=ｆ- 1(ｘ)的图象关于直线 ｙ =ｘ对称 .性质 3　若单调函数 ｙ =ｆ(ｘ) 和 ｙ =ｇ(ｘ) 的图象关于直线 ｙ =ｘ对称 ,则函数 ｙ =ｆ(ｘ) 和 ｙ =ｇ(ｘ) 互为反函数 .性质 4　函数 ｙ =ｆ(ｘ) 若是单调函数 ,则它的反函数 ｙ =ｆ- 1(…     

一道课本习题的变式与引申

新教材 (试验修订本必修 )第一册 (上 )第10 7页第 3题为 :证明 :(1)若ｆ(ｘ) =ａｘ +ｂ ,则ｆ(ｘ1 +ｘ22 ) =ｆ(ｘ1 ) +ｆ(ｘ2 )2 ;(2 )若ｆ(ｘ) =ｘ2 +ａｘ +ｂ ,则ｆ(ｘ1 +ｘ22 )≤ｆ(ｘ1 ) +ｆ(ｘ2 )2 ①该题实际上揭示了函数的一条重要性质———凹凸性 .函数的凹凸性是高等数学的研究内容 ,但对于一些基本函数的凹凸性也可以采用初等方法研究 ,因而成为高等数学与初等数学的结合点 .多年来 ,以函数凹凸性为背景的试题在高考试卷中多次出现 ,题型新颖 ,区分度好 ,具有较好的选拔功能 .该题在新教材中出现 ,对函数凹凸性进行了渗透 ,培…     

应用二次函数图象特点解题探索

二次函数是高中数学的重要内容之一 ,图象的直观特点常被数学竞赛命题者青睐 .设ｆ(ｘ) =ａｘ2 ｂｘ ｃ(ａ≠ 0 )性质 1 )　当ａ>0时 ,ｆ(ｘ)的图象特点是下凸的 ,则有 :ｆ(ｘ1 ) ｆ(ｘ2 ) … ｆ(ｘｎ)ｎ≥ｆ(ｘ1 ｘ2 … ｘｎｎ ) .当ａ<0时 ,ｆ(ｘ)的图象特点是上凸的 ,则有 :ｆ(ｘ1 ) ｆ(ｘ2 ) … ｆ(ｘｎ)ｎ≤ｆ(ｘ1 ｘ2 … ｘｎｎ ) .性质 2 )　若ｆ(ｘ) ≥ 0时 ,ｘ∈Ｒ恒成立 ,则ｆ(ｘ)的图象开口向上 ,且图像全在ｘ轴上方 (含ｘ轴上 ) ,这等价于ａ>0△ ≤ 0若ｆ(ｘ) ≤ 0时 ,ｘ∈Ｒ恒成立 ,类似有ａ <0△ ≤ 0性质 3)　…     

关于函数图象对称问题的相关命题研究

函数是高中数学的重点内容之一 ,函数问题的多变体现了函数的特点 .研究函数图象的对称特点 ,对更进一步理解函数的性质是十分重要的 .1　图象关于点对称问题的相关命题定理　奇函数ｙ=ｆ(ｘ) ,ｘ∈Ｒ的图象关于原点对称 .(证明见教材 ,略 .)奇函数满足ｆ(-ｘ)= -ｆ(ｘ)可写为ｆ(0 +ｘ) +ｆ(0 -ｘ) =0 ,ｘ∈Ｒ .由以上关系式拓展得如下命题 .命题 1　若一个函数ｙ =ｆ(ｘ)对任意ｘ∈Ｒ满足ｆ(ａ -ｘ) +ｆ(ａ+ｘ) =2ｂ,当且仅当它的图象关于点 (ａ,ｂ)成对称图形 .证明　设点Ｍ(ｍ ,ｎ)为函数ｆ(ｘ)图象上任意一点 ,它关于点 (ａ ,ｂ)的对称…     

幂函数

本单元知识点及重要方法1)ｎ次根式的概念和性质 ;分数指数幂的概念和运算法则 .2 )幂函数的概念、图象和性质 .3)增函数、减函数、函数单调区间的定义 ,用定义证明给出函数的单调性 .4 )奇函数、偶函数的定义 ,奇偶函数定义域的特征 ;根据奇偶函数的定义或等价形式 ,判定函数的奇偶性 .5)反函数的定义 ,反函数与原函数定义域和值域间的关系 ,反函数与原函数图象的对称性 .本单元的重要方法 :定义法 ,数形结合法 .练　习选择题1　若函数 ｆ(ｘ) =ｘｍ2 ｍ -2 在第一象限的函数值随ｘ的增大而减少 ,则 (　　 )(Ａ)ｍ <- 2或ｍ >1.　　 (Ｂ) …     

求函数值域时的常见错误分析

函数值域是函数的三大要素之一 (另两个为定义域和对应法则 ) ,求值域的问题 ,能综合地体现出学生运用函数性质、运用不等式等数学知识的能力 ,同时更能促进学生对函数概念的理解 ,所以它成为练习和考试的热点之一 .在求值域时 ,最容易出现下列的错误 .1　草率代入例 1　求函数 ｆ(ｘ) =ｘ2 - 2ｘ + 2 ,ｘ∈ [0 ,3]的值域 .错解 :代入得 ｆ(0 ) =2 ,ｆ(3) =5 ,故值域为 [2 ,5 ].分析 :没有考虑在所给区间 [0 ,3]上函数是否单调 .事实上只有当ｆ(ｘ)在定义域 [α ,β]上单调递增时 ,才可以说值域是 [ｆ(α) ,ｆ(β) ],递减时值域为[ｆ(β) ,…     

一道求字母范围例题的错解辨析

例　ｍ是什么实数时 ,关于ｘ的方程ｘ2 (ｍ - 2 )ｘ (5 -ｍ) =0的二不等根均大于 2 .错解　分离出ｍ =ｘ2 - 2ｘ 51 -ｘ ,即ｍ=- [(ｘ - 1 ) 4ｘ - 1 ](ｘ >2 ) ,问题转化成求关于ｘ的函数ｍ的值域 .∵ (ｘ - 1 ) 4ｘ - 1 ≥ 4(当且仅当ｘ =3时取“ =”) ,∴ｍ≤ - 4 .图 1　例题图辨析　为研究的方便 ,需用到一个重要函数 ｆ(ｕ) =ｕ ａｕ (ａ >0 ,ａ为常数 )的单调性 :ｆ(ｕ) 在 (0 ,ａ]上递减 ,在 [ａ , ∞ )上递增 (用单调性定义易证 ) .本题设ｕ =ｘ - 1 ,∵ｘ >2 ,∴ｕ >1 .设 ｙ1=ｍ ,ｙ2=- (ｕ 4ｕ) (ｕ >1 ) ,于是题目中的…